高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》知识点训练及答案
高中数学《平面向量》知识点归纳
一、选择题
1.已知平面向量a v ,b v 的夹角为3
π
,且||2a =v ,||1b =v ,则2a b -=v v ( )
A .4
B .2
C .1
D .
16
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的数量积和向量的模的运算,即可求解. 【详解】
由题意,可得222|2|||4||4444||||cos 43
a b a b a b a b π
-=+-?=+-?=r r r r r r r r ,
所以|2|2a b -=r r
,故选B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用,其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式,以及向量的模的运算公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
2.设a r ,b r 不共线,3AB a b =+u u u r r r ,2BC a b =+u u u
r r r ,3CD a mb =+u u u r r r ,若A ,C ,D 三点共线,则实数m 的值是( )
A .
23
B .
15
C .
72
D .
152
【答案】D 【解析】 【分析】
计算25AC a b =+u u u r r r
,得到()
253a b a mb λ+=+r r r r ,解得答案.
【详解】
∵3AB a b =+u u u r r r ,2BC a b =+u u u
r r r ,∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,
∵A ,C ,D 三点共线,∴AC CD λ=u u u r u u u r
,即()
253a b a mb λ+=+r r r r ,
∴235m λλ=??=?,解得23
152m λ?
=???
?=??
. 故选:D . 【点睛】
本题考查了根据向量共线求参数,意在考查学生的计算能力和转化能力.
3.已知,a r b r 是平面向量,满足||4a =r
,||1b ≤r 且|3|2b a -≤r
r
,则cos ,a b ??r
r 的最小值是
( ) A .
1116
B .
78
C .
158
D .
315
16
【答案】B 【解析】 【分析】
设OA a =u u u r r ,3OB b =u u u r r
,利用几何意义知B 既在以O 为圆心,半径为3的圆上及圆的内部,又在以A 为圆心,半径为2的圆上及圆的内部,结合图象即可得到答案. 【详解】
设OA a =u u u r r ,3OB b =u u u r r
,由题意,知B 在以O 为圆心,半径为3的圆上及圆的内部,
由|3|2b a -≤r r
,知B 在以A 为圆心,半径为2的圆上及圆的内部,如图所示
则B 只能在阴影部分区域,要cos ,a b ??r
r 最小,则,a b <>r r 应最大,
此时()
222222min
4327
cos ,cos 22438
OA OB AB a b BOA OA OB +-+-??
=∠===???r
r .
故选:B. 【点睛】
本题考查向量夹角的最值问题,本题采用数形结合的办法处理,更直观,是一道中档题.
4.在边长为2的等边三角形ABC 中,若1,3
AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,则BE AF ?=u u u v u u u v
( )
A .23
-
B .43
-
C .83
-
D .2-
【答案】D 【解析】 【分析】
运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值. 【详解】
在边长为2的等边三角形ABC 中,若13
AE AC =u u u r u u u r
,
则BE AF ?=u u u r u u u v (AE AB -u u u r u u u r )?12
(AC AB +u u u
r u u u r )
=(13AC AB -u u u r u u u r )?12
(AC AB +u u u
r u u u r )
1123AC =u u u r (2
AB -u u u r 223
AB -u u u r ?AC =u u u r )142142222332??--???=- ???
故选:D 【点睛】
本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质,向量的平方即为模的平方,考查运算能力,属于基础题.
5.在平面直角坐标系中,()1,2A -,(),1B a -,(),0C b -,,a b ∈R .当,,A B C 三点共线时,AB BC ?u u u r u u u r
的最小值是( )
A .0
B .1
C
D .2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-,根据数量积的坐标运算可知所求数量积为
()
2
11a -+,由二次函数性质可得结果.
【详解】
由题意得:()1,1AB a =-u u u r ,(),1BC b a =--u u u r
,
,,A B C Q 三点共线,()()111a b a ∴?-=?--,即12b a =-,()1,1BC a ∴=-u u u r
, ()2
111AB BC a ∴?=-+≥u u u r u u u r ,即AB BC ?u u u r u u u r 的最小值为1.
故选:B . 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算,涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式,属于基础题.
6.如图,圆O 是等边三角形ABC 的外接圆,点D 为劣弧AC 的中点,则OD =u u u r
( )
A .2133BA AC +u u
u r u u u r
B .2133BA A
C -u u
u r u u u r
C .1233BA AC +u u
u r u u u r
D .4233
BA AC +u u
u r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
连接BO ,易知B ,O ,D 三点共线,设OD 与AC 的交点为E ,列出相应式子得出结论. 【详解】
解:连接BO ,易知B ,O ,D 三点共线,设OD 与AC 的交点为E ,
则()()
221121332333
OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+=
++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r . 故选:A.
【点睛】
本题考查向量的表示方法,结合几何特点,考查分析能力,属于中档题.
7.已知四边形ABCD 是平行四边形,点E 为边CD 的中点,则BE =u u u r
A .12A
B AD -+u u u
r u u u r
B .12AB AD -u u u
r u u u r
C .12
AB AD +u u u r u u u r
D .12
AB AD -u u u r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】
如图,过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法
则可知1.2
BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v
故选A. 【点睛】
本题考查平面向量的加法法则,属基础题.
8.在平行四边形ABCD 中,4AB =,2AD =,3
BAD π
∠=
,M 为DC 的中点,N 为
平面ABCD 内一点,若AB NB AM AN -=-u u u v u u u v u u u u v u u u v ,则AM AN ?=u u u u v u u u v
( )
A .16
B .12
C .8
D .6
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |=|MN u u u u r
|,再根据向量的数量积公式计算即可 【详解】
由|AB NB -u u u r u u u r |=|AM AN -u u u u r u u u r |,可得|AN u u u r |=|NM u u u u r
|, 取AM 的中点为O ,连接ON ,则ON ⊥AM ,
又12
AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r
,
所以AM u u u u r ?21122AN AM ==u u u r u u u u r (12AD AB +u u u r u u u r )212=(2214AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r ?AB u u u r )12=(414+
?16+2×41
2?)=6, 故选:D .
【点睛】
本题主要考查了平面向量的几何表示,数量积的几何意义,运算求解能力,属于中档题
9.在ABC V 中,D 为边AC 上的点,若2133
BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ,AD DC λ=u u u v u u u v
,则λ=
( )
A .
13
B .
12
C .3
D .2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据2133
BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ,将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()
BA BC u u u r u u u r ,表示,再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解.
【详解】
因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ,
所以1122,+3333
AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r ,
因为AD DC λ=u u u v u u u v ,
所以λ= 12
, 故选:B 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理,还考查运算求解的能力,属于中档题.
10.已知点1F ,2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左,右焦点,过原点O 且倾斜
角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ,且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
,则椭圆C
的离心率为( )
A 1
B .2
C .
1
2
D .
2
【答案】A 【解析】 【分析】
由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
两边平方,得120MF MF ?=u u u u r u u u u r ,在
12Rt MF F V 中,求出2MF ,1MF ,
,a c 的关系,求出离心率可得选项. 【详解】
将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
两边平方,得120MF MF ?=u u u u r u u u u r ,即
12121
||2
MF MF OM F F c ⊥=
=,.
又60MOF ∠=?,∴2MF c =,1MF =,∴2a c =+,∴1c
e a
=
=. 故选:A. 【点睛】
考查了向量的数量积,椭圆的定义,离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系,属于中档题.
11.平面向量a →与b →
的夹角为π3
,()2,0a →
=,1b →=,则2a b →→-=( )
A .B
C .0
D .2
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案. 【详解】
()2,0a →
=Q ,
||2a →
∴=
2
2
222(2)||4||444421cos 43
a b a b a b a b π
→
→→
→
∴-=-=+-?=+-???=r r r r ,
|2|2a b ∴-=r r
,
故选:D 【点睛】
本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算,属于中档题.
12.已知O 是平面上一定点,满足()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ,[0λ∈,)+∞,则P 的轨迹一定通过ABC ?的( ) A .外心 B .垂心
C .重心
D .内心
【答案】B 【解析】 【分析】
可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos AB
AC AB B AC C
λ+u u u r
u u u r
u u u
r u u u r 垂直,可得点P 在BC 的高线
上,从而得到结论.
【详解】
Q ()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ,
∴()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C λ-=+u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r , 即()||cos ||cos AB AC
AP AB B AC C
λ=+u u u r u u u r
u u u r u u u
r u u u r , Q cos BA BC B BA BC ?=u u u r u u u r u u
u r u u u r ,cos CA CB C CA CB
?=u u u r u u u r u u u r u u u r , ∴()0||cos ||cos AB AC
BC BC BC AB B AC C
?+=-+=u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r , ∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB AC
AB B AC C
λ+u u u r u u u r
u u u
r u u u r 垂直, 即AP BC ⊥uu u r uu u r
,
∴点P 在BC 的高线上,即P 的轨迹过ABC ?的垂心.
故选:B . 【点睛】
本题重点考查平面向量在几何图形中的应用,熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键,考查逻辑思维能力和转化能力,属于常考题.
13.下列命题为真命题的个数是( ) ①{
x x x ?∈是无理数},2x 是无理数;
②若0a b ?=r r
,则0a =r r 或0b =r r ;
③命题“若220x y +=,x ∈R ,y ∈R ,则0x y ==”的逆否命题为真命题;
④函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数.
A .1
B .2
C .3
D .4
【答案】B 【解析】 【分析】
利用特殊值法可判断①的正误;利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误;判断原命题的真假,利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误;利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于①中,当x =时,22x =为有理数,故①错误;
对于②中,若0a b ?=r ,可以有a b ⊥r r
,不一定要0a =r r 或0b =r r ,故②错误;
对于③中,命题“若22
0x y +=,x ∈R ,y ∈R ,则0x y ==”为真命题,
其逆否命题为真命题,故③正确;
对于④中,()()x x x x
e e e e
f x f x x x
-----===-,
且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ,定义域关于原点对称, 所以函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数,故④正确.
综上,真命题的个数是2. 故选:B. 【点睛】
本题考查命题真假的判断,涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断,考查推理能力,属于中等题.
14.如图,向量a b -r r
等于
A .1224e e --u r u u r
B .1242e e --u r u u r
C .123e e -r u u r
D .123e e -+r u u r
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r
,
15.向量1,tan 3a α??= ???r ,()cos ,1b α=r
,且//a b r r ,则cos 2πα??+= ???
( )
A .
13
B .22
C .2
D .13
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式,即可得出答案. 【详解】
//a b ∴r r
1
cos tan sin 3
ααα∴=?= 1cos sin 23παα??
∴+=-=- ???
故选:D 【点睛】
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用,属于中档题.
16.已知向量a v ,b v 满足a v
||1b =v ,且2b a +=v v ,则向量a v 与b v 的夹角的余弦值
为( )
A .
2
B .
3
C D 【答案】D 【解析】 【分析】
根据平方运算可求得12
a b ?=r r ,利用
cos ,a b a b a b ?<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】
由题意可知:222
2324b a b a b a a b +=+?+=+?=r r r r r r r r ,解得:12
a b ?=r r
cos ,
4a b a b a b ?∴<>===
r r r r
r r 本题正确选项:D 【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题,关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
17.三角形ABC 中,5BC =,G ,O 分别为三角形ABC 的重心和外心,且
5GO BC ?=u u u r u u u r
,则三角形ABC 的形状是( )
A .锐角三角形
B .钝角三角形
C .直角三角形
D .上述均不是
【答案】B 【解析】 【分析】
取BC 中点D ,利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r
代入计算,再利用向量的线性运算求解.
【详解】
如图,取BC 中点D ,连接,OD AD ,
则G 在AD 上,1
3
GD AD =
,OD BC ^, ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ?=+?=?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
221111()()()53326
GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =?=?=?+?-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ,
∴2223025AC AB BC -=>=,∴2220AB BC AC +-<, 由余弦定理得cos 0B <,即B 为钝角,三角形为钝角三角形. 故选:B . 【点睛】
本题考查平面向量的数量积,考查向量的线性表示,考查余弦定理.解题关键是取BC 中点D ,用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r
.
18.已知向量()1,3a =-v ,()3,b m =v ,若a b ⊥v v ,则2a b +v
v 等于( )
A .10
B .16
C .52
D .410【答案】C 【解析】 【分析】
先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值,得出向量b r 的坐标,并计算出向量2a b +r r
,
最后利用向量模的坐标运算得出结果. 【详解】
()1,3a =-r Q ,()3,b m =r ,a b ⊥r r
,则1330a b m ?=?-=r r ,得1m =,()3,1b ∴=r , 则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ,因此,()2
225552a b +=+-=r r C.
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算,意在考查学生对这些公式的理解掌握情况,考查运算求解能力,属于中等题.
19.在四边形ABCD 中,若12
DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r
|=|BC uuu r |,则这个四边形是( )
A .平行四边形
B .矩形
C .等腰梯形
D .菱形 【答案】C
【解析】
由12DC AB =u u u r u u u r 知DC ∥AB ,且|DC|=1
2
|AB|,因此四边形ABCD 是梯形.又因为|AD u u u r |=|BC uuu r |,
所以四边形ABCD 是等腰梯形. 选C
20.已知单位向量,a b r r
满足
3a b +=r r
,则a r 与b r 的夹角为
A .
6
π B .
4
π C .
3
π D .
2
π 【答案】C 【解析】
由3a b +=r r 22236913a b a a b b +=+?+=r r r r r r ,
又因为单位向量,a b r r ,所以1632
a b
a b ?=??=r r r r ,
所以向量,a b r r 的夹角为1cos ,2a b a b a b ???==?r r r r r r ,且,[0,]a b π??∈r r ,所以,3
a b π??∈r r ,故选C.