2020-2021高三数学上期中试卷含答案

2020-2021高三数学上期中试卷含答案

一、选择题

1．如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则

A ．111A

B

C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形

C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形

D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形

2．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1

n

n n

a b a +=

．若10112b b =，则21a =（ ）

A ．92

B ．102

C ．112

D ．122

3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸

B ．二尺五寸

C ．三尺五寸

D ．四尺五寸

4．已知数列{}n a 满足11a =，12n

n n a a +=+，则10a =（ ）

A ．1024

B ．2048

C ．1023

D ．2047

5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*1

1

n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S

D ．n S 的最小值是7S

6．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，

D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距

6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，

接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）

A ．120km

B ．606km

C ．605km

D ．3km

7．已知x ，y 满足条件0

{20

x y x

x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则

k ＝( ) A ．－16

B ．－6

C ．-83

D ．6

8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9

B ．22

C ．36

D ．66

9．在数列{}n a 中，12a =，11

ln(1)n n a a n +=++，则n a =

A ．2ln n +

B ．2(1)ln n n +-

C ．2ln n n +

D ．1ln n n ++

10．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8

B ．-8

C ．1

D ．-1

11．已知{}n a 是等比数列，22a =，51

4

a =，则12231n n a a a a a a +++???+=（ ） A ．()1614

n

--

B ．()1612

n

--

C ．

()32123n

-- D ．()32143n -- 12．已知正项数列{}n a

*(1)

()2

n n n N +=

∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）

A ．n a n =

B ．2

n a n =

C ．2

n n

a =

D ．2

2n n a =

二、填空题

13．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2

7

4sin

cos 222

A B C +-=

，且5,a b c +==，则ab 为 ．

14．设不等式组30,

{230,1

x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线

20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．

15．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a

使得

1=，则

14

m n

+的最小值为__________． 16．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使

()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.

17．在ABC ?中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c

，cos

23

C =

，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ?面积的最大值为 ．

18．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则

n

a n 的最小值为__________. 19．（理）设函数2

()1f x x =-，对任意3,2

x ??∈+∞????

，

2()4()(1)4()x

f m f x f x f m m

-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.

三、解答题

21．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L （*n N ∈）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列12n n a -??

?

???

的前n 项和n S .

22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，

11a =-，11b =，222a b +=.

（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S

23．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.

（1）求{}n a 的通项公式； （2）设1

1n n n b a a +=

，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，2

4n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.

24．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=． （1）求证：A B =； （2）若6

A π

=

，ABC V

，求ABC V 的周长．

25．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本

y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002

y x x =-+，且每处

理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

26．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知

2223

,3

3

A b c abc a π

=

+-

=． （1）求a 的值；

（2）若1b =，求ABC ?的面积．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ?是锐角三角形，若222A B C ?是锐角三角

形，由

，得21

2121

2

{2

2

A A

B B

C C πππ=

-=

-=

-，那么，2222

A B C π

++=，矛

盾，所以222A B C ?是钝角三角形，故选D.

2．B

解析：B 【解析】 【分析】

由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】

数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1

n n n

a b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝

，＝4312341233

a

a b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=?=∴=?=????=Q ，

，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】

本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．

3．B

解析：B 【解析】 【分析】

从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】

由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，

n S 是其前n 项和，则()19959985.52

a a S a +=

==尺，

所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。 故选:B . 【点睛】

本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.

4．C

解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】

因为12n n n a a +=+，所以12n

n n a a +-=，

因此10

9

8

1010921198122221102312

a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.

【点睛】

本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.

5．D

解析：D 【解析】 【分析】

将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由

870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.

【详解】

由已知，得()11n n n S nS ++<，

所以

1

1

n n S S n n +<+， 所以()()()

()

1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，

所以等差数列{}n a 为递增数列.

又870a a +<，即8

7

1a a <-， 所以80a >，70a <，

即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】

本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.

6．D

解析：D 【解析】 【分析】

先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得

cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】

取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.

因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以

60DE km =,60ADE ∠=o ,

在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,

因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =

+=+?=km ,

所以6033

cos 2404

BD BDC CD ∠===

, 因为1

360904

DF km =?

=, 所以在三角形BDF 中,

2222232cos (603)90260390BF BD DF BD DF BDF =+-??∠=+-???

g 10800=,

所以603BF =km .

故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D . 【点睛】

本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.

7．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3

z

，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，

因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.

8．D

解析：D 【解析】

分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=，

所以可得113151856a d a d +=?+=， 所以11S =()111511666a d +=?=，故选D.

点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.

9．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +??-=+

???

112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+??????+-+

12ln

ln ln 2121n n n n -=++??????++-- 12

ln(

)2121

n n n n -=????????+-- ln 2n =+ 故选A. 10．D 解析：D 【解析】 【分析】

利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】

由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-?-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，

因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2

111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.

故选：D . 【点睛】

本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

11．D

解析：D 【解析】 【分析】

先求出3

1()2

n n a -=，再求出25

11()

2

n n n a a -+=，即得解.

【详解】 由题得

35211,82

a q q a ==∴=. 所以2

23211

2()()22

n n n n a a q

---==?=，

所以3

22511

11

()

()()222

n n n n n a a ---+=?=. 所以

111

4

n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++???+=18[1()]

4114

n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】

本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．B

解析：B 【解析】 【分析】

()()

1122

n n n n +-=

-

的表达式，可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】

(1)(1)

,(2)22

n n n n n n +-=

-=≥

1=

，所以2,(1),n n n a n =≥= ，选B.

【点睛】

给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1

{

,2

n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出

结果后，看看这两种情况能否整合在一起.

二、填空题

13．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理

解析：6 【解析】 试题分析：2

74sin

cos 222A B C +-=Q ，27

4sin cos 222

C C π-∴-=，2

74cos cos 222C C ∴-=，()7

2cos 1cos 22

C C ∴+-=，24cos 4cos 10C C ∴-+=，即()2

2cos 11C -=，解得1

cos 2

C =． 所以在ABC ?中60C =o ．

2222cos c a b ab C =+-Q ，()2

222cos60c a b ab ab ∴=+--o

，

()2

2

3c

a b ab ∴=+-，(

)2

2

257

633

a b c ab +--∴==

=．

考点：1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．

14．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区

【解析】

作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中

(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，

由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由

点到直线的距离公式有：d =

=

，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之

，即CD =

点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.

15．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故 解析：

116

【解析】 【分析】

由7652a a a =+求得2q =122m n a a a ?=可得5m n +=，结合,m n 为正整数，讨论四种情况可得14

m n

+的最小值. 【详解】

设等比数列的公比为q ,由7652a a a =+, 可得到6

662

a a q a q

=+, 由于0n a >,所以2

1q q

=+

,解得2q =或1q =-. 因为各项全为正,所以2q =.

由于存在两项,m n a a 122m n a a a ?=，

所以,2

18m n a a a ?=,

112211188m n m n a q a q a q --+-?=∴=，28m n q +-∴=,可得5m n +=.

当1,4m n ==时,

14

2m n

+=; 当2,3m n ==时，

14116

m n +=；

当3,2m n ==时,1473

m n +=; 当4,1m n ==时,

14174

m n +=; 综上可得 14

m n +的最小值为116,

故答案为

116

. 【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式和性质,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题. 分类讨论思想的常见类型

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.

16．【解析】试题分析：因为二次函数在区间内至少存在一个实数使的否定是：函数在区间内任意实数使所以即整理得解得或所以二次函数在区间内至少存在一个实数使的实数的取值范围是考点：一元二次方程的根与系数的关系【

解析：3

(3,)2

-

【解析】

试题分析：因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0

{

(1)0

f f ≤-≤，即

2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤，整理得22

2390{210

p p p p +-≥--≥，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是

3

(3,)2

-.

考点：一元二次方程的根与系数的关系.

【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.

17．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的

解析：

5 【解析】 试题分析：5cos

2C =

，21cos 2cos 129C C =-=，45sin C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为95

2sin c R C =

=

，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有951x x ??

-= ?

???

，解得5x =

，故最大面积为155

22S =??=

.

考点：解三角形．

【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.

18．【解析】【分析】先利用累加法求出an ＝33+n2﹣n 所以设f （n ）由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an ＝2n ∴当n≥2时an ＝（an ﹣an ﹣1）+（a 解析：

21

2

【解析】 【分析】

先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以

331n a n n n =+-，设f （n ）33

1n n

=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到n a

n

的最小值．

【详解】

解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33． 从而

33

1n a n n n

=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）233

10n

-=+＞，

则f （n ）在

)

+∞上是单调递增，在(0上是递减的，

因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值． 又因为55355a =，66321662

a ==， 所以

n a n 的最小值为62162

a = 故答案为 21

2

【点睛】

本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．

19．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析

解析：m ≤或m ≥ 【解析】 【分析】

先化简不等式，再变量分离转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值以及解不等式得结果. 【详解】

2()4()(1)4()x

f m f x f x f m m -≤-+Q

22222()14(1)(1)14(1)x

m x x m m

∴---≤--+- 即2

2

2

1(41)230m x x m +---≥ 即222123341,()2

m x m x x +-

≥+≥

因为当3

2

x ≥时223238

3932

4

x x +≤+=

所以2

2

21834134m m m +-

≥∴≥

∴2m ≤-

或2

m ≥

故答案为：2m ≤-

或2

m ≥ 【点睛】

本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

20．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求

解析：【解析】 【分析】

根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解 【详解】

Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，

则有()

()31613313926616362S a d S a d ??-=+=????-?=+=??

，解得112a d =??=?

78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=?+?=

故答案为45 【点睛】

本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。

三、解答题

21．（1）21n a n =-；（2）1

2362

n n -+-. 【解析】 【分析】 【详解】

（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()1212234,

{

12,

a a a a a a +=+++=

即12234,

{8,a a a a +=+=所以()()()

11114,{28,a a d a d a d ++=+++=解得11,{2,a d == 所以21n a n =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）得

1121

22n n n a n ---=，所以122135232112222

n

n n n n S ----=+++?++，① 23111352321

222222

n n n n n S ---=+++??++，② -①②得：

2211112123

113222222n n n n

n n S --+=++++?+-=- 所以46

62n n

n S +=-

． 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．(1)12n n b -=, (2)36s =-

【解析】 【分析】

（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于d 与q 的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可； （2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果. 【详解】

(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，

由22 2.a b +=得d+q=3，由335a b +=得2d+q 2=6, 解得d=1,q=2.

所以{}n b 的通项公式为1

2n n b -=；

（2）由131,21b T ==得q 2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4， 当q=4时，d=-1，则S 3=-6。 【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式与求和公式，正确理解与运用公式是解题的关键，注意对所求的结果进行正确的取舍.

23．(1) 21n a n =+ (2) 1a 2a ≤-≥或 【解析】

试题分析：（1）根据题目中所给的条件，用基本量来表示数列中的项，求出基本量，即可得到通项；（2）由第一问可得，11122121n b n n ??

=

- ?-+??

，进而裂项求和，得到

221n

a a n ≤-+恒成立，求左式的最大值即可． 解析：

（1）31239T a a a =++=Q ，13a d ∴+=

又125,,a a a Q 成等比数列2

215a a a ∴=

11a ∴=`,221n d a n =∴=-

（2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +??

=

==- ?-+-+??

1111111-++23352121n S n n ??∴=

-+???- ?-+?? 111-221n =+（） 21

n n =+ 对任意的*n N ∈,2

4n S a a ≤-恒成立

只需n S 的最大值小于或等于24a a

-，而12n S <

22a a ∴-≥

1a ∴≤-或2a ≥

24．（1）见解析（2

）4+ 【解析】 【分析】

（1）用余弦定理将条件cos cos a C c A a +=化为222222

22a b c b c a a c a ab bc

+-+-?+?=，

然后化简即可

（2）由6A π=得23

C π

=，由ABC V

a b =可推出2a b ==，然后用余

弦定理求出c 即可. 【详解】

（1）因为cos cos a C c A a +=

由余弦定理得222222

22a b c b c a a c a ab bc

+-+-?+?=，

整理得222b ab =， 所以a b =， 所以A B =． （2）因为6

A π

=

，由（1）知2()3

C A B π

=π-+=

， 又ABC V

所以

1

sin 2

ab C = 又a b =，

所以

2122

?= 所以2a b ==．

由余弦定理，得222

12cos 14222122c a b ab C ??=+-=+-???-= ???

，

所以c =，

所以ABC V 的周长为4+． 【点睛】

本题考查的是正余弦定理及三角形的面积公式，较为典型.

25．（1）该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨；（2）该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损． 【解析】 【分析】

（1）根据已知得平均处理成本为

y

x

，得到关系式后利用基本不等式求得平均处理成本的最小值，并根据基本不等式等号成立条件求得每月处理量；（2）获利

()2

130********

10x S x y =-=-

--，根据二次函数图象可求得[]80000,40000S ∈--，可知不获利，同时求得国家至少补贴40000元.

【详解】

（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为：

1800002002002002y x x x =+-≥= 当且仅当180000

2x x

=，即400x =时取等号 ∴月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨

（2）不获利

设该单位每月获利为S 元

()222110010020080000113008000030035000

222S x y x x x x x x ??

=-=--+ ?=-+-=---??

[]400,600x ∈Q []80000,40000S ∴∈--

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损 【点睛】

本题考查构造函数模型解决实际问题，主要涉及的内容是利用基本不等式求解函数的最值、利用二次函数图象求解最值的问题.

26．（12 【解析】

【分析】

（1）由222b c a +-=，利用余弦定理可得2cos bc A =,结合3A π=可得结

果；

（2）由正弦定理1sin 2B =，π6B =, 利用三角形内角和定理可得π

2

C =，由三角形面积公式可得结果. 【详解】

（1）由题意，得222b c a +-=. ∵2222cos b c a bc A +-=.

∴2cos bc A =,

∵π

3

A =

，∴a A ==

（2）∵a =

由正弦定理

sin sin a b A B =，可得1sin 2B =. ∵a>b ，∴π

6

B =

, ∴π

π2

C A B =--=.

∴1sin 2ABC S ab C ?==

【点睛】

本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟

记两种形式：（1）2

2

2

2cos a b c bc A =+-；（2）222

cos 2b c a A bc

+-=，同时还要熟练

掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住

30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.