推荐-多元函数极值的判定

目录

摘要.................................................................... .. (1)

关键词.................................................................... .. (1)

Abstract............................................................. .. (1)

Keywords............................................................. .. (1)

引言.................................................................... . (1)

1定理中用到的定义................................................................ .. (2)

2函数极值的判定定理.............................................................. . . (5)

3多元函数极值判定定理的应用..................................................................

.7

参考文献.................................................................... (8)

多元函数极值的判定

摘要：通过引入多元函数的导数，给出了多种方法来判定多元函数的极

值.

关键词：极值；条件极值；偏导数；判定

The judgement of the extremum of the function of

many variables

Abstract：This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, and give several methods to judge the extremum of the function of many variables and the conditional extremum of the function of many

variables .

Keywords : extremum; conditional ;partial derivative

引言

在现行的数学分析教材中，关于多元函数的极值判定，一般只讲到二

元函数的极值判定，在参考文献[1]和[3]中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题，本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多元函数极值问题中去.

1 定理中用到的定义

定义 1.1[]1 函数f 在点000(,)P x y 的某领域0()U P 内有定义.若对于任何点0(,)()P x y U P ∈，成立不等式

0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥），

则称函数f 在点0P 取得极大值（或极小值），点0P 称为f 的极大值（或极小值）点.

定义1.2[]1 设函数(,)z f x y =， (,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且0(,)f x y 在0x 的某一领域内有定义，则当极限

0000000(,)(,)(,)

lim

x xf x y f x x y f x y x x

→+-= 存在时，称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记作

00(,)

x y f x

??.

定义1.3[]3 设n D R ?为开集，12(,,

,)n P x x x D ∈，00

0012

2(,,,)P x x x D ∈

:f D R →，若在某个矩阵A ，使当0()P U P ∈时，有

000

()()()

lim

P P f P f P A P P P P →----,

则称n 元函数12(,,

,)n f x x x 在点0P 可导.称A 为在点0P 处的导数，记为

0()f P '.

注1：01122(,,,)T n n P P x x x x x x '''-=---为n 维列向量.

注2

：0P P -=

注3：在导数存在的条件下，可求得：012

()(,,,

)n

f f f f P A x x x ???'==???,它是一个n 维向量函数.

定义 1.4[]3 （二阶导数）若n 元函数f 的一阶导数f '在D （或D 内某一点）上可微，则称f 在D （或D 内某一点）上二阶可微，并定义n 维向量函数()T f '的导数为f 的二阶导数，记作()f P ''，并可求得

22221211222221

22222

2

12()n n n

n

n f f f x x x x x f f f f P x x x x x f f f x x x x x ??

??? ?????? ? ?

???

?''=????? ? ? ? ?

???

????????

此矩阵为f 在P 点的Hesse 矩阵.在二阶混合偏导数连续的条件下，它是一个对称矩阵. n 元函数f 在点0P 的二阶Taylor 公式可简单地写成：

00000001

()()()()()()()()2

T n f P f P f P P P P P f P P P O P P '=+-+--+-.

2 函数极值的判定定理

对于二元函数的无条件极值的判定，先给出数学分析教材中有的相应的判定定理.

定理2.1[]1

（必要条件）若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某领域内偏

导数存在，切点00(,)x y 是是其极值点，则

0000(,)(,)

0f x y f x y x y

??==??. 定理2.2[]1

（充分条件）设点00(,)x y 是函数(,)z f x y =的驻点，且在点

00(,)x y 的某领域内有二阶连续偏导数存在.记

222200000022

(,)(,)(,),,,,f x y f x y f x y A B C AC B x x y y

???====-???? 则1）当0<时，点00(,)x y 不是函数的极值点;2）当0>是，若0A >,则点

00(,)x y 是函数的极小值点，若0A <,则点00(,)x y 是函数的极大指点；3)当

0=时，该方法不能判断其是不是极值点.

注3：对于二阶导数存在的二元函数的极值，这两个定理能解决绝大多数的我们碰到的问题（除了0=的情形）.

利用定义1.3和定义1.4，我们可以将这定理2.1和定理2.2推广到二元以上的函数中去.

定理2.3 （必要条件）设n D R ?为开集，n 元实值函数12(,,

,)

n y f x x x =在点0P D ?可微，且在该点取得极值，则0()0f P '=（此0表示n 维向量

(0,0,

,0)）.

证明 由费马定理知当f 在0P 点取得极值时，

012

()(

,,,

)0n

f f

f

f P x x x ???'==???. 定理2.4（充分条件）设n D R ?为开集，n 元实函数12(,,

,)n y f x x x =在

0()U P D ?上存在二阶连续偏导数，且0()0f P '=，则当0()n f P 为正定或半正

定时，f 在0P 点取得极小值，当0()n f P 为负定或半负定时，f 在0P 点取得极大值.

证明 0P ，P 点坐标分别满足00

12

(,,,)n x x x 与12(,,

,)n x x x ，且

0()P U P ?,0i i i x x x =-，当0()0f P '=时，由Taylor 公式，有

000000212012121211

()()()()()()

2

1(,,,)()(,,,)(())2(,,

,)()

T n n

T n

n n i i i n

n i i f f P f P P P f P P P O P P x x x f P x x x o x x g x x x o x ===-=--+-=+-=+∑∑

当0()U P 充分小时,只要0()P U P ?，则该式子的符号由12(,,,)n g x x x 确定.

当0()n f P 为正定时，二次型12(,,,)0n g x x x >，当0()n f P 为半正定时，二

次型12(,,

,)0n g x x x ≥.故当0()n f P 为正定或半正定时，

0()()0f f P f P =-≥，所以0()()f P f P ≥，故0P 点是f 的极小值点.同理可

证，当0()n f P 为负定或半负定时，0P 点是f 的极大值点.

定理 2.5[]1 设在条件12(,,,)0,1,2,

,()k n x x x k m m n ?==<的限制下，

求函数12(,,

,)n y f x x x =的极值问题，其中f 与(1,2,

,)k k m ?=在区域D 内

有连续的一阶偏导数.若D 的内点00

012(,,,)n P x x x 是上述问题的极值点，且雅可比

矩阵0

1

11

1

n m m n P x x x x ????????

?

?? ?

? ??? ? ?????的秩为m ，则存在m 个常数(0)(0)(0)

12,,,m λλλ，使得

00

(0)(0)(0)

1212(,,

,,,,

,)n m x x x λλλ为拉格朗日函数

121212121

(,,,,,,)(,,

,)(,,

,)m

n m n k k n k L x x x f x x x x x x λλλλ?==+∑

的稳定点，即00

(0)(0)(0)

1212(,,,,,,,)n m x x x λλλ为下述n m +个方程：

111111112120

(,,,)0(,,,)0

n m

m

x k k m

x k k n n

n m n f L x x f L x x

L x x x L x x x λλ?λ?λ??==???=+=????

?????=+=????

?==??

?==?∑∑ 的解.

此定理的证明可参阅文献[1]第二十三章的定理23.19的证明. 由定理5可见条件极值的问题都可以通过拉格朗日数乘法转化为无条件极值的形式来求解，即上述判定无条件极值的定理都可以用来判定条件极值.

除此之外，我们用二阶全微分的符号来判定其是极大值还是极小值.

定理 2.6[]2 设n D R ?为开集，n 元实值函数12(,,

,)n y L x x x =在

0()U P D ?存在二阶连续偏导数，且0()0L P '=,则当20()0d L P >时，12(,,

,)n y L x x x =在0P 点取得极小值；20()0d L P <时，12(,,,)n y L x x x =在0P 点

取得极大值.

证明 11

n n

L

L

dL dx dx x x ??=

++

??， 21212

2

2

2

121

2121

1

()(

)n n

n n L L L

d L d dL d

dx d dx d

dx x x x L L

L

dx dx dx dx x x x x x ???==+++??????=+++

?????

22212221222222122212()()n n n n n

n

L L L

dx dx dx dx x x x x x L L L

dx dx dx dx x x x x x ???++++++????????+++?????

222

11112221(,

,)n n n n n

L L x x x dx dx dx dx L L x x x ??

?? ?

?????

? ?

?= ? ? ??? ??? ??????

11(,

,)()n n dx dx dx f P dx ?? ?

''= ? ???

.

又因为0()0L P '=，固由定理4知当0()f P ''正定，即2

0()0d L P >时，0P 为L 的极小值点，当0()f P ''负定，即2

0()0d L P <时，0P 为L 的极小值点 .

3 多元函数极值判定定理的应用

由于函数的条件极值都可以通过定理5转化成无条件极值，也就是说在条件极值的判定中能充分体现无条件极值的判定.

例 3.1[]2

求三元函数(,,)22f x y z x y z =-+在受约束条件2221x y z ++=限

制下的极值.

解 设222(,,,)22(1)L x y z x y z x y z λλ=-++++-，由

0L L L L x y z λ

????====????有：当32λ=-时，122(,,)(,,)333x y z =-，当32λ=时，122

(,,)(,,)333

x y z =--，现

判断是极大值还是极小值 .

方法1：对函数(,,)22f x y z x y z =-+用定理2，其中z 视为,x y 的函数，即

(,)z z x y =，它由2221x y z ++=决定。可求得

,z x z y

x z y z

??=-=-??，然后，可求得：222222223232

2,2,2,f z x f z y f xy x z y z y x z ?+?+?=-=-=????当122

(,,)(,,)333

x y z =-时，222221515,6,1,61044f f f A C B x y y x ???==-==-==-=?->????，故122(,,)333

-是极大

值点.

同理可知，当122(,,)(,,)333x y z =--时，1504A =>26,1,0C B AC B ==-->，

其是极小植点所以：max 122(,,)3,333f -=min 122

(,,) 3.333

f --=-

注4：利用约束条件把其中的某些变量视为另一些变量的函数，对目标函数直接用极值的必要条件来判定.

方法2：用二阶微分的符号来判定，此时应视λ为常数，即把前面所求的λ的值代入，(21)(22)(22),dL x dx y dy z dz λλλ=++-++

2222()2()d L d dL dx dy dz λ==++

当32λ=-时，20d L <，该点是极大值点，max 122

(,,)3,333f -=

当32λ=时，20,d L >该点是极小值点，min 122

(,,) 3.333

f --=-

注5：利用拉格朗日函数的二阶全微分的符号来判定（其中λ应视为常数）. 方法3：利用Hesse 的正定或负定性来判定.