应用统计案例库封面

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一、案例背景与数据介绍1

案例背景：职工平均工资水平不仅衡量一国家或地区人们生活水平的高低，而且一定程度上也体现了该地区或国家经济发展水平的高低。它是关系到人们生活水平的最基本的经济指标，也为评价衡量居民的生活水平，当地经济发展程度提供了重要尺度。对实际工资的研究,在理论和实践上都具有重要意义。我们通过对长春市工资水平的综合分析，了解长春市工资水平受哪些经济因素的影响，以期为进一步发展长春市经济，提高居民收入提供一些理论依据。

样本数据的选取：一般地，影响工资水平决定的因素是多方面的，其中主要包括经济的发展状况，政府投资，外资投资，职工数量，职工素质如教育程度，地区的经济发展水平，科技水平，劳动生产率水平，劳动力的供求状况等。这些因素，与经济因素交织在一起共同影响工资水平。根据这些影响因素，列出下面影响职工平均工资水平的变量：

Y 职工平均工资（元）；

x1 人均生产总值（元）（人均GDP）；

x2 每一工业职工创造产值（万元）；

x3 每一工业职工实现利税（元）；

x4 固定资产投资总额（万元）；

x5 职工人数（万人）；

x6 高等学校在校学生数/总人口（%）；

x7 全市科技成果（项）；

x8 居民消费价格指数 (% )。

其中，x1 为地区的经济发展水平的影响；x2，x3反映职工创造产值方面的影响；x4反映政府投资方面的影响；x6为教育方面的影响；x7为科技方面的影响；x8为物价的影响。具体数据来自长春市统计年鉴和吉林省统计年鉴。

1本例选自长春工业大学2005级本科生宋芹的优秀本科毕业论文部分节选，指导教师王纯杰做了适当修改。

二、分析过程

1. 本文在最小二乘估计（Ordinary Least Square Estimation，OLSE）[1]的基础上研究工资水平受哪些经济因素的影响，如何受这些经济因素的影响。

首先，做相关分析，在SAS环境中，求得相关系数，一方面可以得出职工平均工资（y）与当地经济发展水平（x1），工业职工创造产值（万元）（x2），每一工业职工实现利税（元）（x3），投资（万元）（x4），教育程度（x6），科技水平（x7 ）有较大的正相关关系；与职工数量（x5）和物价水平存在负相关关系。这是符合经济意义的，当教育程度，科技水平，当地经济发展水平越高时，职工平均工资越高；而当职工数量越多，居民消费价格指数越高时，职工平均工资越低。另一方面除居民消费价格指数与工资的相关性不大，其余变量与工资的相关性都较大。至于变量之间的相关性，除x8与其他的变量的相关系数的绝对值在0.5左右，其余变量间的相关性都较大。

1.1普通最小二乘回归下的工资水平分析

在SAS环境[2]中，依据最小二乘理论，进行回归分析，考察工资如何受当地经济发展水平，投资，教育，科技发展水平的影响。

由方差分析表可知，F统计量的值为485.02，F检验的P值〈0001，说明模型总体拟和效果很好。复决定系数R-Square 为0.9982，调整的复决定系数Adj R-Sq 为0.9961，说明该模型对原始数据的模拟效果很好。通过方差分析表，证明长春市职工工资水平受地区生产总值，固定投资，教育等经济因素的影响。

由回归系数的参数估计及其回归系数的t检验表可知，自变量x2,x3,x7，x8的t检验的p值均>0.05，这些变量不显著。x2每一工业职工创造产值，x8职工数量与职工平均工资在经济意义上是有影响的，一般而言，职工数量越多，劳动力数量供大于求时，根据价值规律，职工工资会下降。而现在回归结果不符合经济意义，出现这种情况，有可能是存在多重共线性的缘故。

根据回归诊断表知DW检验, DW=2.186,因此不存在序列相关。根据学生化残差和库克距

离公式，所有残差的绝对值均小于3，因此不存在异常值问题。

通过SAS软件得到共线性诊断结果，其中最大的特征值是7.94979，最小的特征值是0.00083761。计算出的条件数最大的是97.42177，当条件数>10时就存在较强的多重共线性，说明本文数据存在较强的多重共线性，从本文开头相关系数中也可以看出。

文中由于影响工资水平的各个经济变量也相互影响,因此存在多重共线性也是合理的.比如, 经济繁荣时期，地区生产总值和每一职工创造产值都趋于增长；而经济衰退时期，它们又同时趋于下降.

1.2工资水平的岭回归分析

处理多重共线性的方法有逐步回归，主成分回归，岭回归，偏最小二乘回归等方法.目前,岭回归是最有影响的一种新的估计方法.因此本文采用岭回归分析方法.

当出现多重共线性时,普通最小二乘回归将明显变坏, A.E.Hoerl(霍尔)在1962年首先提出一种改进最小二乘估计的方法,叫岭估计(Ridge Estimate),后来Hoerl 和Kennard(肯纳德)于1970年给予了详细讨论. [1]

用岭回归方法解决多重共线性的问题，其实质是一种自变量选元的过程。在SAS中应用岭回归消除多重共线性，进行自变量选元，岭迹图如图1：

图1 岭迹图

岭回归系数表给出了当岭参数k取从0到1之间的不同值时，各个自变量的回归系数。岭迹图1对此更直观的用图形表示出来。从图1可以看出，x8的系数极小，一直很平稳的

在0附近，因此x8很自然应该是被剔除的；剔除x8后按同样的方法重新作岭回归。依次将x3，x5，x2，x7剔除。从整体上看，当k达到0.15—0.25之间时，各个系数已大体上趋于稳定，因此在这一区间上取一个k值作岭回归可能得到较好的效果。最后，当仅剩下x1，x4，x6时，重新作岭回归。用x1，x4，x6重新作岭回归，岭迹图如图2：

图2 岭迹图

根据输出结果和岭迹图2，可以看出至此所有剩余变量的岭迹图都已经很好了。当岭参数k为0.2时，所有变量的系数都已经基本稳定。因此，取岭参数k=0.21，标准化后回归方程为：

y= -1.5965E-16+ 0.36655 x + 0.31704x+0.24929 x

146

可见，地区生产总值与固定资产投资对工资水平有几乎同样重要的作用，回归系数分别为0.36655和0.31704。教育对工资水平也具有显著的正相关关系，其回归系数为0.24929，说明当地经济总量和投资对工资水平的影响较教育对工资的影响程度更大。如果一个地方的经济发展水平高，那么该地的各种经济因素就相对较高，这样受经济因素影响较大的职工的平均工资水平相应会较高。要提高长春市的职工工资水平，首先政府应致力于发展该地的经济，教育，增加投资，扩大吸引外资。其次，还应注意收入分配制度的合理性，避免收入差距过大，实现公正，合理的收入分配制度。调节过高收入，补贴较低收入。

另外，由于影响工资水平的因素是很复杂的，劳动生产率的高低、劳动力市场的供求关系以及影响劳动力市场的制度性因素等都会影响工资水平，本模型并没有包括这些因素，因此本模型仅供参考。通过实际措施来提高工资水平时，除应考虑本模型中所考虑的因素外，

还应该考虑物价，劳动生产率，劳动力供求，劳动力市场制度等因素。 2 职工工资水平的分位数回归分析 2.1分位数回归模型

从理论上说,经典线性回归是拟合y 的条件均值与自变量x 之间的线性关系,而分位数回归是通过估计被解释变量（因变量）在0～1之间的不同分位数值,对特定分布的数据进行估计。另外,最小二乘法与分位数回归的回归系数在解释含义上有所不同,最小二乘法估计式是自变量对因变量的平均边际效果,而分位数回归估计式则是自变量对因变量的某个特定分位数的边际效果。最小二乘法只能提供一个平均数,而分位数回归却能提供许多不同分位数的估计结果。对分位数回归而言,被解释变量y 的г分位数函数Q(τ)可以定义为(李育安, 2006)

[5]

:

{}

:()()inf y F y Q r τ≥=

（3.1.1）

其中, 0<τ<1代表在回归线或回归平面以下的数据占全体数据的百分比,分位函数的

特点是,被解释变量y 的分布中存在比例为τ的部分小于分位数函数Q(τ),而(1-τ)的部分大于分位数函数Q(τ),y 的整个分布被τ分为两个部分[6]

。为了对分位数回归求解,首先定

义概率函数()u r ρ:

β

β

ρ'')1()(i x i y i x i y u

r ru u r ≤≥-=????

?当当 （3.1.2）

其中,u 为反映概率密度函数的参数,而()u r ρ则表示被解释变量y 的样本点处于τ分位以下和τ分位以上时的概率密度函数关系,假设分位数回归模型为:

x y Q Q Q βα+=∧

（3.1.3）

的分位数回归是寻求y 在Q 分位数下的绝对离差和最小,即:

iQ Q Q Q R

x y ρβα∑

--min （3.1.4）

为简单起见,在具体估计过程中可以假设u=1,则对于任何一个τ分位数回归而言,参数估计就是要使加权误差绝对值平方和最小(邢春冰, 2006):

'

'

'

'

()arg min

(1)i i i i i

i

i

i

y x y x r Y X Y X β

β

βτβτβ

≥≤=-+--∑∑ （3.1.5）

其中,i y 表示被解释变量的向量,i x 表示解释变量的向量,表示估计的分位数值,当τ在(0,1)上取不同的值时,就可以得到不同的参数估计值[7]

。 运用分位数回归模型,我们就可以分析不同工资阶段下，工资水平如何受各个变量的影响。 本文建立如下计量模型:

112233Qi oQi Qi Qi Qi y x x x ββββ=+++ （3.1.6）

其中, oQi β 代表当分位数为i Q 时回归方程的常数项，Qi 1β，Qi 2β，Qi 3β分别代表当分位数为i Q 时回归方程,1x 2x ，3x 的系数[8]

。注：为方便后面分析，通过前文岭回归得到的三个变量1x 为地区生产总值，4x 为固定资产投资总额，6x 为教育程度，现在分别用,1x 2x ，

3x 表示。

2.2 工资水平的分位数回归分析

在SAS 环境中进行分位数回归，首先对每个自变量进行分位数回归,得到图3-图5

图3 不同分位数时对1x 的分位数回归

图4 不同分位数对2x 的分位数回归

x的分位数回归

图5 不同分位数时对

3

观察图3-图5可知,对每个自变量而言, 在0.1,0.2,…,0.9不同分位数时, 得到的回归方程有明显差距.从这我们可以看出，分位数回归能更有效,更精确的表现数据信息,拟合的方程也更精确[9].

在SAS环境中进行分位数回归,将不同分位数时回归方程的参数估计结果放在同一表

表1 不同分位数时1x 2x 3x 的系数表

从分位数回归模型的结果来看,在影响工资水平的模型中,地区生产总值（X1）在10%-90%的分位数回归中均显著,且系数的大小呈现递增趋势,这表明当长春市经济发展水平较低时,长春市职工平均工资要低于平均水平,而对于处于条件分布高端的行业,外资企业对内资企业研发的促进作用相对较高，即地区发展水平对工资水平有正向影响。在90%分位数回归时，地区经济发展处于条件分布高端的系数值要明显大于处于条件分布低端的系数,比如在10%的分位水平上,其系数为0.6028,而在90%的分位水平,其系数为1.0878。充分说明工资水平较大时,当地经济发展水平对工资的边际贡献较大

[10]

。

固定资产投资除了在70%分位数回归中系数的显著性结果为0.1351不显著，在其他分位数回归中都很显著说明固定资产投资对工资水平有显著影响。并且在10%—60%的分位数回归中系数均保持在0.0007水平，说明当工资水平处于低阶段时，增加一单位固定资产投资，工资水平都会增加0.0007个单位。而当工资水平升高到一定阶段时，固定资产投资对工资水平的影响则不稳定，比如70%，80%，90%的分位数回归系数分别为 0.0006，0.0011，0.0003。

观察不同分位数回归时教育程度的系数：发现其系数呈现递增的趋势。说明对处于条件分布高端的情况时,教育程度对工资水平的促进效应要明显大于处于低端的情况,即教育程度越高，其对工资水平的影响程度越高。 教育程度在10%、20%，30%及80%，90%的分位数回归中系数的显著性检验均<0.05显著性水平，而处于条件分布中端时40%，50%，60%，70%的分位数回归中系数的显著性检验均>0.05,没有通过显著性检验. 这说明在两端的情况，教育对工资的影响要大于中间的情况。即当工资水平较低和较高时，教育对工资的影响较大，而工资水平处于中等程度时，教育对工资的影响则小一些。

为了进一步分析在不同分位数时模型中各系数的变动趋势,绘制不同分位数时各系数的变化如下(见图6)：

图6 不同分位数时1x 2x 3x 的系数趋势图

在图 6 中我们绘制了不同分位数时地区生产总值，固定资产投资，教育对长春市职工平均工资的影响。从图中可知,地区经济发展有利于工资水平的提高,且随着地区经济的不断发展,当地经济对工资水平的促进作用越来越显著。自改革开放以来，长春市经济有了较大发展，当工资水平处于分布高端,经济发展对工资水平的正向影响最为显著。

当工资水平处于分布低端和中端时，固定资产投资对工资水平的提高有比较稳定的正促进作用。从图中可以看出，在0.6分位数以前的分位数回归中，固定资产投资的系数保持不变。随着工资水平由条件分布的低端向高端变动,固定资产投资对工资的正向影响先增后减。这是因为，当工资水平较低时，固定资产投资也处在较低水平，此时增加固定资产投资对工资水平的边际效用保持不变，而当固定资产投资积累到一定程度时，虽然增加固定资产投资仍然会使工资水平增加，但是工资水平增加的幅度将会减小。根据边际效用递减规律，固定资产投资对工资水平的促进作用将逐渐减小直至为0.因此，若仅考虑工资水平的增长问题的话，固定资产投资不应该越多越好，应该在保持效用最大化的原则下，增加固定资产投资。 三、总结

通过对长春市职工工资统计分析，可以看出， 经济社会中的很多因素都会影响职工平均水平。如果一个地方的经济发展水平高，那么该地的各种经济因素就相对较高，这样受经济因素影响较大的职工的平均工资水平相应会较高。要提高一个地方的职工工资水平，政府应致力于发展该地的经济，教育，增加投资，扩大吸引外资。受教育程度不同者的收入差距很小,这意味着教育投资导致的工资增长率非常低。根据经济发展状况和水平适当调整最低工资标准。通过加强对劳动者的教育和培训提高劳动力市场的需求水平等都可以提高职工工

资的平均水平。

四．指导教师评语

本案例应用经典多元线性回归模型建立了长春职工工资水平受诸多因素影响的统计分析，进一步的应用回归分析中回归诊断的理论有效的解决了多重共线性问题，应用岭回归的技术消除了多重共线性，其实，可以更进一步的考虑岭回归在变量选择中的应用。

另外，本案例中也应用了教材之外的更深入、更前沿的分位数回归分析方法来进一步的分析长春职工工资水平受其他因素影响模型，启发我们在学习书本知识的同时，更进一步的学习拓展知识的能力！

五、附此优秀本科毕业论文全文，其中包括数据及其SAS源程序。