离散数学-第七章二元关系课后练习习题及答案讲课教案

第七章作业

评分要求：

1. 合计100分

2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由).

3. 总得分在采分点1处正确设置.

1 设R={|x,y∈N且x+3y=12}.【本题合计10分】

(1) 求R的集合表达式(列元素法);

(2) 求domR, ranR;

(3) 求R?R;

(4) 求R?{2,3,4,6};

(5) 求R[{3}];

解

(1) R={<0,4>,<3,3>,<6,2>,<9,1>,<12,0>}【2分】

(2) domR={0,3,6,9,12}, ranR={0,1,2,3,4}【2分】

(3) R?R={<3,3>, <0,4>}【2分】

(4) R?{2,3,4,6}={<3,3>, <6,2>}【2分】

(5) R[{3}]={3}【2分】

2 设R,F,G为A上的二元关系. 证明:

(1)R?(F∪G)=R?F∪R?G

(2)R?(F∩G)?R?F∩R?G

(3)R?(F?G)=(R?F)?G.

【本题合计18分：每小题6分，证明格式正确得3分，错一步扣1分】证明

(1)?,

∈R?(F∪G)

??t (xRt∧t(F∪G)y) 复合定义

??t(xRt∧(tFy∨tGy) ∪定义

??t((xRt∧tFy)∨(xRt∧tGy)) ∧对∨分配律

??t(xRt∧tFy)∨?t(xRt∧tGy) ?对∨分配律

?x(R?F)y∨x(R?G)y 复合定义

?x(R?F∪R?G)y ∪定义

得证

(2)?,

x(R?(F∩G))y

??t(xRt∧t(F∩G)y) 复合定义

??t(xRt∧(tFy∧tGy)) ∩定义

??t((xRt∧tFy)∧(xRt∧tGy)) ∧幂等律, ∧交换律, ∧结合律

??t(xRt∧tFy)∧?t(xRt∧tGy) 补充的量词推理定律

?x(R?F)y∧x(R?G)y 复合定义

?x(R?F∪R?G)y ∪定义

得证

(3)?,

∈R?(F?G)

??s (∈R∧∈(F?G)) ?定义

??s (∈R∧?t (∈F∧∈G))) ?定义

??s?t(∈R∧∈F∧∈G) 辖域扩张公式

??t?s((∈R∧∈F)∧∈G) 存在量词交换

??t(?s(∈R∧∈F)∧∈G) 辖域收缩公式

??t(∈(R?F)∧∈G) 复合定义

?∈(R?F)?G 复合定义

得证

3 设F={|x－y+2>0∧x－y－2<0}是实数集R上的二元关系, 问F具有什么性质并说明理由.

【本题合计10分：每种性质2分----答对得1分，正确说明理由得1分】

解F={|x－y+2>0∧x－y－2<0}={|－2

自反性: ?x∈R, ∈F显然.

对称性: ?,

∈F?－2∈F.

不具有反自反性: 反例<2,2>∈F

不具有反对称性: 反例<2,3>,<3,2>∈F, 显然2≠3

不具有传递性: 反例<2,3.5>,<3.5,5>∈F, 但<2,5>不属于F.

4 设A={a,b,c}, R={,},

(1) 给出R的关系矩阵;

(2) 说明R具有的性质(用关系矩阵的判定方法说明理由)

【本题合计12分：第（1）小题2分；第（2）小题10分----答对性质得1分，说明理由得1分】

解

(1)R的关系矩阵M(R)为

0 1 1

0 0 0

0 0 0

(2)

不具有自反性: M(R)的主对角线不是全为1

是反自反的: M(R)的主对角线全为0

不具有对称性: M(R)不是对称的

是反对称的: M(R)对称的位置至多有一个1

是传递的: M(R2)如下

0 0 0

0 0 0

0 0 0

显然满足: 如果M(R2)任意位置为1, 则M(R)对应位置也为1

5 设A≠?, R?A×A, 证明

(1) r(R)=R∪I A

(2) s(R)=R∪R-1

【本题合计12分，每小题6分----证明格式正确得2分，过程错误一步扣1分】

证明

(1) 只要证明r(R)?R∪I A和R∪I A?r(R)即可

先证r(R)?R∪I A:

I A?R∪I A

?R∪I A自反(自反性的充要条件)

?r(R)?R∪I A (自反闭包的最小性)

再证R∪I A?r(R):

R?r(R)∧I A?r(R) (自反闭包的性质及自反性的充要条件)

?R∪I A?r(R)

得证

(2) 只要证明s(R)?R∪R-1及R∪R-1?s(R)即可

先证s(R)?R∪R-1:

(R∪R-1)-1=R∪R-1 (理由如下: ?,

∈(R∪R-1)-1

?∈R∪R-1 (逆运算定义)

?∈R∨∈R-1 (∪定义)

?∈R-1∨∈R (逆运算定义)

?∈R∪R-1 (∪定义, ∪交换律)

所以(R∪R-1)-1=R∪R-1 )

?R∪R-1是对称的(对称性的充要条件)

?s(R)?R∪R-1 (对称闭包的最小性)

再证R∪R-1?s(R):

R?s(R) (闭包定义) ∧R-1?s(R) (后者理由如下:

?,

∈R-1

?∈R (逆运算定义)

?∈s(R)

?∈s(R) (s(R)是对称的)

所以R-1?s(R) )

?R∪R-1?s(R)

得证

6 设A={a,b,c,d}, R={,,,,,}, 用Warshall算法求t(R). 【本题合计8分】

解依次求出W0,W1,W2,W3,W4=t(R)【2分】

W0=M(R)= 0 0 0 1

1 0 1 0

1 0 0 1

0 0 1 0

【1分】

W1= 0 0 0 1

1 0 1 1

1 0 0 1

0 0 1 0

【1分】

W2= 0 0 0 1

1 0 1 1

1 0 0 1

0 0 1 0

【1分】

W3= 0 0 0 1

1 0 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

【1分】

W4= 1 0 1 1

1 0 1 1

1 0 1 1

1 0 1 1

【1分】

即t(R)={,,,,,,,,,,,}.【1分】

7 设R为A上的自反和传递的关系, 证明R∩R-1是A上的等价关系.

【本题合计10分】

证明

自反性: ?x∈A,

xRx∧xR-1x?x(R∩R-1)x【3分】

对称性: ?x,y∈A,

x(R∩R-1)y?xRy∧xR-1y?yR-1x∧yRx?y(R∩R-1)x【3分】

传递性: ?x,y,z∈A,

x(R∩R-1)y∧y(R∩R-1)z?xRy∧xR-1y∧yRz∧yR-1z

?(xRy∧yRz)∧(xR-1y∧yR-1z)?xRz∧xR-1z?x(R∩R-1)z【4分】

得证.

8 设A={1,2,3,4}, 在A×A上定义二元关系R,

?,∈A×A, R?u+y=v+x

(1)证明R是A×A上的等价关系;

(2)确定由R引起的对A×A的划分.

【本题合计10分】

解

(1)自反性: ?∈A×A, R显然成立.【2分】

对称性: ?,∈A×A,

R?x+v=y+u?u+y=v+x?R【2分】

传递性: ?,,∈A×A,

R∧R?x+v=y+u ∧u+t=v+s ?x+t=y+s ?R【2分】

因此R 是A×A 上的等价关系.

(2)根据R 的定义, R?x+v=y+u ?x －y=u －v, 因此

[]R={|∈A×A ∧u －v=x －y},【2分】 所以R 引起的划分如下:

{ { <1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>},

{<1,2>,<2,3>,<3,4>},

{<2,1>,<3,2>,<4,3>},

{<1,3>,<2,4>},

{<3,1>,<4,2>},

{<1, 4>},

{<4,1>} }【2分】

9 设R, S 是A={1,2,3,4}上的等价关系, 其关系矩阵分别为 【本题合计5分】

1100110000100001R M ?? ? ?= ? ???, 1000011001100001S M ?? ? ?= ? ???.

求包含R 与S 的最小的等价关系.

分析: 设包含R 与S 的最小等价关系为T ，则R ?T, S ?T, 所以R ?S ?T. 而T 是等价关系，根据等价关系的定义，T 应该具有自反性、对称性和传递性。由于R 与S 是等价关系，具有上述三个性质，由第四节关系运算与关系性质的关系知，R ?S 具有自反性、对称性，但不一定有传递性。为此，需要使R ?S 有传递性。又题目要求T 是包含R ?S 的最小等价关系，所以，T 应是包含R ?S 且具有传递性的最小关系，从而由传递闭包的定义，T 应是R ?S 的传递闭包，即T=t(R ?S)。如此，只需求出M T =M t(R ?S)即可。

求解过程：1100110000100001R M ?? ? ?= ? ???，1000011001100001S M ?? ? ?= ? ???

， 所以1100111001100

001R S R S M M M ??? ? ?=⊕= ? ???（⊕指对应元素逻辑或），【2分】 故由Warshall 算法，()

1110111011100001T t R S M M ??? ? ?== ? ???。【3分】

10 设R 是集合A 上的等价关系, |A|=n, |R|=r, |A/R|=t, 证明: rt ≥n 2. 【本题合计5分】 证 设A/R={B 1,B 2,…,B t }, |B 1|=x 1, |B 2|=x 2,…, |B t |=x t , 显然有1≤ x i ≤n, x i ∈N, 1≤i ≤t.

由于A/R 是A 的划分, 因此

x 1+x 2+…+x t = n, (1). 【1分】 根据Bi 是等价类, 对任意s,t ∈B i , 有∈R, 从而 x 12+x 22+…+x t 2 = r, (2) 【2分】 根据算术-均方根均值不等式有

t x x x t x x x t t 2222121+++≤+++ΛΛ 代入(1)(2)可得 rt ≥ n 2 , 得证. 【2分】