微积分作业 对外经济贸易大学远程教育

一、导数的运算

1， 已知2

211

x x y +-=，则y '=（ ）。

A, )1(22x x + B, 2)1(4x x + C, 22)1(2x x + D, 2

2)1(4x x

+

解 2

2)1(4x x

+=

。

2 x

x y cos 22

=，则y '=（ ）。

A, x x x x x cos sin 2cos 42+ B, x x x x x 2

cos sin 2cos 4+ C, x x x x x 22cos sin 2cos 4+ D, x

x

x x 22cos sin 2cos 4+

解 )cos /2(2

'='x x y

x

x

x x x 22cos sin 2cos 4+=。

3 2

sin x y =，则y '=（ ）。

A, 2

cos x B, 2

cos 2x x C, 2

cos 2x D, x x cos 2 令 2x u =，则u y sin =，

u y u

cos ='， x u x 2='，

所以 x u x u y y ''='

2

cos 2x x =。

4 )1ln(2x x y ++=，则y '=（ ）。

A,

2

11x

+ B,

2

11x

x ++ C,

2

12x

x + D,

2

12x

x ++

令 y=lnu ，21

v x

u +=，v=1+x 2

则 u y u 1='， 121

2

11-+='v u v ，x v x 2='

所以 x v u x

v u y y '''='

2

11x

+=

。

今后可约定y y x '='，省略下x 标。

5 3

)sin(ln x y =，则y '=（ ）。 A, 2

3

)(ln )cos(ln x x ? B, ?3

)cos(ln x C,

)(ln )cos(ln 33x x x ?? D, 23)(ln )cos(ln 3

x x x

?? 令 v y

sin =, 3u v =, x u ln =，，

则 x u v u v y y '?'?'='

23)(ln )cos(ln 3

x x x

??=

。 6：x

y 2sin 3

=,则y '=（ ）。

A, x

x 2sin 32cos 2? B, 3ln 2cos 2?x

C, 3ln 32cos 22sin x

x ? D, 3ln 32cos 2sin x x ?

解 3ln 22cos 3

2sin ??='x y x

3ln 32cos 22sin x

x ?=。

7, 设函数)

2arccos(x e

y =，则dx

dy

等于（ ）

A ．2

)2arccos(41x

e x --

B ． 2

)2arccos(412x

e x -- C ．2

)2arccos(212x

e x --

D ．2

)

2arccos(12x

e x --

解答：)()

2arccos('='x e

y =])2[arccos()2arccos('x e x

=)2(412

)2arccos('--

x x

e x =2

)2arccos(412x

e x --

8，导数是3

1x 的函数是( )

A ，3212+-x

B ，2414

+-x

C ，1414+x

D ，4212+x 解答: )321(2'+-

x =)(2

12

'--x =x -3

9，函数

31

x

的导数是( ) A ， 2

3x - B ，4

3x C ，2

3x D ， 4

3x -

解答: )

1(

3

'x =)(3

'-x =-3x -4 10,设x y 2

sin =，则y '=（ ）。

A, 2x 2sin B, 2xdx 2sin C, x 2sin D, xdx 2sin 11, 设x y ln 1+=，则 y ' =（ ）

A,

x

x ln 11+ B,

x

x ln 121+

C, x

ln 11+ D,

x

ln 12+

12, bx e y ax

sin -=，则y ' =（ ）

A, )sin cos (bx a bx b e

ax

-- B, )sin cos (bx a bx b e ax +-

C, )sin cos (bx a bx b e ax

- D, )sin cos (bx a bx b e ax

+

bx bx d e ax sin )(sin +=-·ax de -

ax

e

-=·bx bx bxd sin )(cos +·)(ax d e

ax

--

dx bx a bx b e

ax

)sin cos (-=-。

13，)(2

1

'-

x

=（ ）,

A, 2121-x B, 2121--x C, 2321-x D,2

3

2

1--x

14,)(2'-x

e

=（ ）

A, x

e 2-- B, x

e

2- C, x

e

22-- D, dx e

x

22-

15,)(log 2'x =（ ）

A,

e x 2log 2 B, e x 2log 1 C, dx x 1 D, x

1 16,)5('x

=（ ）

A, 5ln 5x B, x 5 C, dx x

5 D, 5ln 5 17,)2(ln 'x =（ ）

A, Lnx B,

x 2 C, x 21 D,x

1 18,设y=sin7x , 则y ' =（ ）

A,-7cos7x B, 7cosx C, 7cos7x D, cos7x 19,设y = xcos(-x) ,则y '=（ ）

A, cos(-x) - xsin （x ） B, cos(-x)+ xsin(-x) C, cos(-x)+ sin(x) D, cos(-x)- sin(-x) 20,)8('-tgx =（ ）

A,

x 2cos 1

B, x

2cos 1- C, x cos 1 D, x cos 1-

一、导数的运算答案

1,( D ) 2, ( C ) 3, ( B ) 4, ( A )

5, ( D ) 6, ( C ) 7, ( B ) 8, ( A ) 9, ( D ) 10, ( C ) 11, ( B ) 12, ( A ) 13, ( D ) 14, ( C ) 15, ( B ) 16, ( A ) 17, ( D ) 18, ( C ) 19, ( B ) 20, ( A )

二、函数的微分

1，2

1-

dx

=（ ）,

A, 21

21--x B, 21

21--x dx C, 23

21--x D,2

3

2

1--x dx

2,x

de

2- =（ ）

A, x

e 22-- B, x

e

2- C, dx e

x

22-- D, dx e x 22-

3,x d 2log =（ ）

A,

e x 2log 1 B, edx x 2log 1 C, dx x 1 D, x

1 4,x

d 5 =（ ）

A, dx x

5ln 5 B, 5ln 5x

C, dx x

5 D, x

5 5,x d 2ln =（ ）

A, Lnx dx B,

x 2 dx C, x 21dx D,x

1

dx 6,dsin7x=（ ）

A, 7cosxdx B, 7cosx C, 7cos7xdx D, 7cos7x 7,dcos(-x) =（ ）

A, -sinxdx B, sin(-x)dx C, sin(-x) D, -sin(-x)dx 8,)1(-tgx d =（ ）

A,

dx x 2cos 1 B, x

2

cos 1 C, dx x cos 1 D, x cos 1 9, )2(ctgx d =（ ）

A, x 2sin 2-

B, dx x 2sin 1- C, dx x 2sin 1 D,

dx x

2sin 2

- 10,x d 2arcsin =（ ）

A,

2

412x

- B,

,4122

dx x

+

C,

,4122

dx x

- D,

,4112

dx x

-

11,)1arccos(+x d =（ ）

A,

,)

1(112

dx x +- B, ,)1(112

dx x +--

C, ,112

dx x

--

D, 2

)

1(11

+--

x

12, 2

darctgx

=（ ）

A,

dx x x 412+ B, dx x 2

11

+ C, 412x x + D, 2

11

x +

13,x darcctg 3 =（ ）

A, 2913x +-

B, ,11

2

dx x +- C, ,9132dx x + D, ,913

2

dx x

+- 14,设x y 2

sin =，则 dy =（ ）

A, 2x 2sin B, 2xdx 2sin C, xdx 2sin D, x 2sin 15, 设x y ln 1+=，则 dy =（ ）

A, x

x dy ln 121+=

B, dx x

x dy ln 121+=

C, dx x

dy ln 121

+=

D, dx x

dy ln 11

+=

16, bx e y ax

sin -=，则 dy =（ ）

A, dx bx a bx b e

ax

)sin cos (-- B, dx bx a bx b e ax )sin cos (+- C, )sin cos (bx a bx b e

ax

-- D, )sin cos (bx a bx b e ax +-

bx bx d e ax sin )(sin +=-·ax de -

ax

e

-=·bx bx bxd sin )(cos +·)(ax d e

ax

--

dx bx a bx b e

ax

)sin cos (-=-。

17, 函数)5ln(tgx y =的微分是（ ）

A ，dx x tgx dy

cos 1=

B ， dx x dy )

2sin(1

=

C ，dx tgx

dy 5

= D ， dx x dy )2sin(2=

解答：)5ln(tgx d dy ==]5ln )[ln(+tgx d =5ln )ln(d tgx d +

=)ln(tgx d =

dtgx tgx 1=dx x tgx 2cos 11=dx x x cos sin 1=dx x )

2sin(2

18, 设)21ln(1)(x x

x f --= ，则=)('x f ( )。

（A ）

x x 21112-- （B ） x x

21112-+- （C ）x x 21212-+- （D ）x x 212

12--- 19, 设函数)2arccos(x y =，则

=x dx

dy

等于（ ）

A ．-1

B ．-2

C ．-3

D ．

-4

''09. ln

|( ).3311. . . .

2222x y y A B C D ===--设则

二、函数的微分答案

1,( D ) 2, ( C ) 3, ( B ) 4, ( A )

5, ( D ) 6, ( C ) 7, ( B ) 8, ( A ) 9, ( D ) 10, ( C ) 11, ( B ) 12, ( A ) 13, ( D ) 14, ( C ) 15, ( B ) 16, ( A ) 17, ( D ) 18, ( C ) 19 ( B ) 20, ( A )

20,

三、隐函数的导数

1, y=f(x)由方程 0sin 2

=++y x y 决定，则x y '=（ ）。 A, y x y x cos 12--=

' B, y

x

y x

cos 1+=' C, y x y x cos 12+=

' D, y

x

y x

cos 12+-=' 解 将二元方程 两边对x 求导，得

0cos 2='?++'x x y y x y ，

由此解得

y

x

y x cos 12+-=

'。

2，已知x y xy x 222

2

=-+，则由此方程决定的隐函数)(x f y =的导数是（ ）。 A,

y x y x dx dy ++-=1 B, y x y

x dx dy ---=1 C,

y x y x dx dy +--=1 D, y

x y

x dx dy +-+=1 对方程两边取微分，

)2()2(2

2

x d y xy x d =-+， 即 dx y d xy d x d 2)()2()(2

2

=-+， 亦即 dx ydy ydx xdy xdx 22222=-++， 或 dx y x dy y x )222()22(--=-， 于是 y

x y

x dx dy y ---==

'1。 3，)(y x arctg y

+=，则y '等于（ ）

A ．)

(sin 12y x +-

B ， 2)(-+y x

C ，

)

(cos 12

y x + D ， 2)(11y x ++

解答：dy=darctg(x+y)=(dx+dy)/[1+(x+y)^2],即：dy=(dx+dy)/[1+(x+y)^2],

等式两边合并dy=2)(-+y x dx,故：y '=dy/dx=2)(-+y x

4，已知x 2

+ y 2

= 1，则由此方程决定的隐函数)(x f y =的导数是（ ）。 A ．y x -

B ， y x

C ，x y -

D ， x

y

5, 设方程2ln =+y

e xy 确定y 是x 的函数，则

=dx

dy

( )。 （A ）y e x y + （B ）x e y y

+- （C ）y

e

x y

+-21 （D ）y e x y +- '110. ln ln (),|( ).

. 1 . 1 . 1 . 1x x y y x y y x y A B e C D e ====--++设确定函数 则

解：两边取微分：

d(xlny)=d(ylnx) 然后按微分的乘法公式： lnydx+ xd(lny )=lnxdy+ y d( lnx) lnydx+ x/ydy =lnxdy+ y/x dx x/ydy- lnxdy = y/x dx- lnydx (x/y- lnx)dy =( y/x – lny)dx dy / dx =( y/x – lny)/ (x/y- lnx) 把x=1,y=1代入即可：dy / dx =1

四、高阶导数

1 求y ＝a

x 的2阶导数， A ．1

-='αax

y B ， a

x y )1(-=''αα C ，2

-=''a x

y α D ， 2

)1(--=''a x

y αα

2 求y ＝sinx 的2阶导数。

6,

A ． x y cos -=''

B ， x y cos =''

C ，x y sin -=''

D ， x y sin =''

3, 函数2

)12ln(-=x y 的二阶导数为：（ ）

A ． 2)12(4--=''x y

B 。2)12(8---=''x y

C ．2)12(4---=''x y

D 。2)12(8--=''x y

解答：])12[ln(2

'-='x y =])12[ln(2'-x =

)12()

12(2

'--x x

=

)

12(4-x =1

)12(4--x

])12[(41'-=''-x y =)12()12(42'----x x =2)12(8---x

4, 设)(u ?具有二阶导数，)(x x y ?=，则''y =( )。

（A ）)('2)(''x x x ??+ （B ）)(')(''x x x ??+ （C ）)(')(''x x x x ??+ （D ）)(x x y ?=

5, 函数1

2+=x e y 的二阶导数为：（ ）

A ．1

22+=''x e

y B.1

2)12(++=''x e

x y C ． 1

2)12(2++=''x e x y D. 1

24+=''x e

y

五、求函数的极限

1， 设

)(x f 6

4

22---=x x x 则有( )

A ，∞=-→)(lim 2

x f x B ， 0)(lim 2

=-→x f x

C ，5

4

)(lim 2

-

=-→x f x D ， 54)(lim 2=--→x f x

解答：22lim )(lim -→-→=x x x f 6422---x x x =2lim -→x )6()4(22'--'

-x x x =2lim

-→x 122-x x =5

4--=4/5

2，

=--→1

)1sin(lim

2

1

x x x （ ）

A.1

B.-1

C. -21

D. 2

1

解答：=--→1

)1sin(lim 21x x x ='-'

-→)1(])1[sin(lim 21x x x =--→x x x 2)1cos(lim 1=-20cos -21 3，x

x

x 3sin

lim

→ =（ ）

A.0

B.31

C. 2

1

D. 1

解 利用公式 1sin lim 0=→x

x

x ，有

4，20cos 1lim x

x x -→=（ ） A.

2

1

B.-1

C. -21

D. 0

解

5, 求2

31

lim 221+--→x x x x =（ ）

A.1

B.-1

C. -2

1

D. - 2

解 显然为

型问题 =)23()1(lim 221'

+-'

-→x x x x =3

22lim

1-→x x

x

=-2。

6, 1

ln lim

1-→x x

x =（ ）

A. -21

B.-1

C.1

D. 2

1

解 11

lim 1ln lim

1

11==-→→x x x x x

。 7 2

1lim

0x

x e

x -+→=（ ）

A.1

B. -21

C. -1

D. 2

1

解 2

1lim

0x

x e

x -+→

=x x e x

20

0(21lim

-+→·2·

)21x

=2

1-

。 8, x x x x x sin sin lim 20-→=( )

A.

61 B.-1 C. -2

1 D. 31

解 原式=)0

(cos sin 2cos 1lim

20x x x x x x +-→

=x x x x x x x x

x sin 2cos sin 4cos 6cos lim 20---→

=61

9,1

42lim 22-→x x

x =( ) A.1 B. -154 C. -1 D. 154

解

15

4)14(lim 2lim 142lim 22

2

22=-=-→→→x x x x x x x 。 10, 9

3

lim

2

3

--→x x x =( ) A.1 B. -61

C. 61

D. 154

解 因0999lim )9(lim 2

3

2

3

=-=-=-→→x x x x ，故不能应用商的极限定理，但对函数做适当变化后，

再用这个定理就可以了，由于3→x 但3≠x ，故有 3

1

)3)(3()3(932

+=-+-=--x x x x x x ， 所以 61

)3(lim 131lim 9

3lim

3

323

=+=+=--→→→x x x x x x x 。 11, 2

2312lim

4

---+→x x x =( )

A. 61

B.

322 C.- 61 D. -3

2

2

解

所以

12, 1

352

32lim 23424-+++-∞→x x x x x x =( )

A. 52

B. 32

C. 61

D. 3

1 解

13 6

21

2lim 232++-+∞→x x x x x =( )

A. 1

B.

3

2

C. 61

D. 0 解 对原式分子分母同时以3

x 除之得

三、隐函数的导数答案

1,( D ) 2, ( B ) 3, ( B ) 4, ( A ) 5, ( D ) 6, (C)

四、高阶导数答案

1,( D ) 2, ( C ) 3, ( B ) 4, ( A ) 5, ( D )

五、求函数的极限答案

1,( D ) 2, ( C ) 3, ( B ) 4, ( A ) 5, ( D ) 6, (C) 7, ( B ) 8, ( A )

9,( D ) 10, ( C ) 11, ( B ) 12, ( A ) 13,( D )