江西省景德镇市体育中学2020年高三数学理上学期期末试题

江西省景德镇市体育中学2020年高三数学理上学期期

末试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 设函数，的零点分别为，则( )

A． B． C． D．

参考答案：

B

略

2. 设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n

C．m⊥α，n?β，m⊥n，则α⊥βD．m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β

参考答案：

B

【考点】平面与平面垂直的性质．

【专题】证明题；空间位置关系与距离．

【分析】对于A、由面面平行的判定定理，得A是假命题

对于B、由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m 或n都平行的平面，

则所得平面与α、β都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论．

对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；

对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可．

【解答】解：对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；

对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知

α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，

且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，

故命题B正确．

对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n?β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能

α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正确；

对于D，若“m?α，n?α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．

故选B．

【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目．

3. 古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）

A．6天B．7天C．8天D．9天

参考答案：

C

4. 集合，集合Q=，则P与Q的关系是（）

P=Q B．P Q C． D．

参考答案：

C

5. 已知其导函数的图象如右图，则函数的极小值是

A． B． C．

D．c

参考答案：

D

由导函数的图象知当时，，当时，，所以函数的极小值为，选D.

6. 如果实数x、y满足条件那么z=4x·2-y的最大值为

A．1 B．2 C． D．

参考答案：

7. 已知向量，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D. 既不充分也不必要条件

参考答案：

B

8. 已知满足约束条件，则的最大值为

（A）0 （B）5 （C） 3 （D）17

参考答案：

C

9. 已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（）

A. B. C. D.

参考答案：

C

10. 设，，，则（）

A． B． C． D．

参考答案：

D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 已知双曲线，（，）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则C的离心率为_______．

参考答案：

如图，

，

∵，∴，

∴

又∵，∴，解得

∴

12. 若的展开式中含的系数为，则．

参考答案：

13. （5分）双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点．设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为．

参考答案：

1+

【考点】：双曲线的简单性质．

【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】：求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．

解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，

因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，

由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，

c2=a2+b2=1，解得a=﹣1，双曲线的离心率e==1+．

故答案为：1+．

【点评】：本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

14. 已知集合，，则

________．

参考答案：

略

15. 若二次函数满足，且，则实数的取值范围是__________。

参考答案：

；

16. 已知函数,设a∈R,若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是___________.

参考答案：

17. 设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数（如[2.32]=2，[﹣4.76]=﹣5），对于给定的

n∈N*，定义C=，其中x∈[1，+∞），则当时，函数f（x）=C的值域是．

参考答案：

【考点】57：函数与方程的综合运用．

【分析】分类讨论，根据定义化简C x n，求出C x10的表达式，再利用函数的单调性求出C x10的值域．

【解答】解：当x∈[，2）时，[x]=1，∴f（x）=C=，

当x∈[，2）时，f（x）是减函数，∴f（x）∈（5，）；

当x∈[2，3）时，[x]=2，∴f（x）=C=，

当x∈[2，3）时，f（x）是减函数，∴f（x）∈（15，45]；

∴当时，函数f（x）=C的值域是，

故答案为：．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. 如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．

（Ⅰ）求cos∠CAD的值；

（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．

参考答案：

【考点】解三角形的实际应用．

【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．

（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．

【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．

（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，

∴sin∠BAD==，

∵cos∠CAD=，

∴sin∠CAD==

∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣

cos∠BADsin∠CAD=×+×=，

∴由正弦定理知=，

∴BC=?sin∠BAC=×=3

19. （本小题满分12分）已知函数．

(I)求函数的单调区间；

(Ⅱ)函数在区间[1，2]上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由；

(Ⅲ)若任意的∈(1，2)且≠，证明：(注：

参考答案：

.（Ⅰ）

. ……………2分

，，在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是. …………4分（Ⅱ）先求在的最大值.由（Ⅰ）可知，

当时，在上单调递增，在上单调递减，故.………………6分

由可知，，，

所以，，，故不存在符合条件的，使得

. (8)

分

（Ⅲ）当时，在上单调递增，在上单调递减，

只需证明，都成立，

也可得证命题成立．………………10分

设，，

在上是减函数，

设，

在上是增函数，

综上述命题成立. ………………12分

另解:当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

，，

，，.………10分由导数的几何意义有对任意，

．…………12分

20. 已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．

（1）求f（）的值；

（2）求f（x）的递减区间．

参考答案：

考点：三角函数中的恒等变换应用．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：（1）首先利用三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．

（2）根据（1）的结论，利用整体思想求单调区间．

解答：解：（1）f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+2=

所以：

+2=

（2）令：（k∈Z）

（k∈Z）

所以f（x）的单调减区间是

点评：本题考查的知识要点：三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出函数的值，利用整体思想求单调区间．

21. ( 本小题满分12分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知c sin A= a cos C．（1）求C;

（2）若c=，且，求△ABC的面积.

参考答案：

解:(1)由正弦定理,得,

因为解得. ……6分

(2)由得,

若,, ……8分若,

由余弦定理,得,解得a=1,b=3.

.综上, △ABC的面积为或. ……12分

22. （12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n＞0，a n+1是函数f（x）

=x3+的极小值点．

（1）证明数列{a n}为等比数列，并求出通项公式a n；

（2）设b n=na n2，数列{b n}的前n项和为S n，求证：．

参考答案：

（1）求导函数可得=

∵a n＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）、（，+∞）上递增，在（﹣1，）上递减

∴f（x）的极小值点为，∴（4分）

∵a1=1，∴数列{a n}为首项为1，公比为的等比数列，

∴通项公式a n=；（6分）

（2）b n=na n2=

∴S n=①

∴S n=②

①﹣②：

S n==

（8分

∴S n=＜．（12分）