江苏省南通市2020-2021学年度高三年级高三上学期开学考试数学试题

江苏省南通市2021届高三上学期开学考试

数学试题

2020．9

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）

1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}2

16x x ≥，集合B ＝{}

22x x ≥，则U (A)

B ＝

A ．[4，+∞)

B ．(1，4]

C ．[1，4)

D ．(1，4)

C

解：∵集合A ＝{

}{}

2

1644x x x x x ≥=≥≤-或，

∴

{}U

A 44x x =-<<，又∵

B ＝{}

{}221x x x x ≥=≥，

∴U (A)

B ＝[1，4)，故选

C ．

2．已知5log 2a =，7log 2b =，2

0.5

a c -=，则a ，

b ，

c 的大小关系为

A ．b ＜a ＜c

B ．a ＜b ＜c

C ．c ＜b ＜a

D ．c ＜a ＜b A

解：∵5

55log 2log 1<=，∴1a <，∴21

0.50.52a -->=，∴2c >，

又57log 2log 2>，a b >，∴b ＜a ＜c ，故选A ． 3．若3cos()5αβ+=

，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2

π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665

- C

解：∵α，β∈(0，

2π

)，∴αβ+∈(0，π)，4πβ-∈(4π-，4

π)，

∴4sin()5αβ+=

，12

cos()413

πβ-=， ∴cos()cos[()()]cos()cos()sin()444

π

ππ

ααββαββαβ+

=+--=+-++ 3124556

sin()451351365

πβ-=?+?=，故选C ．

4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 B

解：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一

艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，2

1

2

2

535360C C C C +=，故选B ．

5．函数()2sin()f x x ω?=+(ω＞0，?＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2

π

，1)，B(π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像

A ．向右平移56π

B ．向左平移56π

C ．向左平移512π

D ．向右平移512

π C

解：由题意知

22T π=，T π=，∴ω＝2，2226k ππ?π?+=+，5

26

k ?ππ=-+， ∵?＜π，∴56?π=-

，∴55

()2sin(2)2sin 2()612

f x x x ππ=-=-，故选C ． 6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为

A ．18

B ．14

C ．38

D ．12

C

解：P ＝3

8

，故选C ．

7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22

221x y a b

-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222

x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于 A

B ．2 C

． D ．4 A

解：12

tan P F F 2bc a a b c

∠==，22

2b a =，223c a =

，e =A ． 8．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2x

f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 A ．(e ＋1，+∞) B ．(e ＋2，+∞) C ．(1e e +，+∞) D ．(2

e e

+，+∞) B

解：()e 2x

f x x =+是单调增函数，故e 2e 2a b a ka b kb

?+=??+=??，故a ，b 是方程e 2x x kx +=的两个根，令

()e (2)x g x k x =+-，()e (2)x g x k '=+-，当k ＞2，x ＝ln(2)k -时，()g x 有最小值为

(ln(2))2(2)ln(2)0g k k k k -=----<，解得k ＞e ＋2，故选B ．

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个

是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是

A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍

B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位

C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2

σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5

BD

解：选项A ，方差变为原来的a 2倍，故A 错误；线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越

强；线性相关系数r 的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C 错误，故选BD ． 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是

A ．点P 到抛物线焦点的距离为

32

B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为

532

C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0

D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 BCD

解：∵抛物线C ：2

2y px =过点P(1，1)，∴12p =

，∴2

y x =，故该抛物线焦点坐标为(14

，0)，准线方程为x ＝14-

，故点P 到抛物线焦点的距离为5

4

，故A 错误；△OPQ 的面积2

154

42sin 3225

p S θ===?，

故B 正确；设过点P 的直线方程为1y kx k =+-，与抛物线联立并化简得2

10ky y k -+-=，

14(1)0k k --=，解得k ＝1

2，故过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0，C 正确；设PM

的斜率为k ，则PN 的斜率为﹣k ，求得M(22(1)k k -，1k k -)，N(2

2(1)k k

+，1k k +-)，求得MN 的斜率为1

2

-

，D 正确，故选BCD ． 11．在△ABC 中，已知b cosC ＋c cosB ＝2b ，且

111

tan A tan B sin C

+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列

B ．sinA ：sinB ：sin

C ＝2：1

C ．若a ＝4，则S △ABC

D ．A ，B ，C 成等差数列

BC

解：由

111tan A tan B sin C +=得，cos cos 1sin sin sin A B A B C

+=，2

sin sin sin A B C =，故ab ＝c 2，故a ，c ，b 成等比数列，故A 错误；∵b cosC ＋c cosB ＝2b ，∴a ＝2b ，又ab ＝c 2，∴c

b ，∴a ：b ：

c ＝2：

1

，∴sinA ：sinB ：sinC ＝2：1

，故B 正确；cosC ＝

2224123

22214

a b c ab +-+-==??，sinC

＝

4，∴S ＝

11

sin 422

a b C ??=?

?24?=，故C 正确；cosB

＝

22228a c b ac +-==

，故B ≠60°，故D 错误，故选BC ． 12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是 A ．

1212

()()

0f x f x x x -<-

B ．1122()()x f x x f x +<+

C ．2112()()x f x x f x <

D ．当211

e

x x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ CD

解：首先注意到函数()ln f x x x =，在(0，

1e )单调递减，在(1

e

，+∞)单调递增，故A 错误，112221121112()()()()()[()()]0x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+?-->，故

D

正确；令

()()ln g x f x x x x x =+=+，不是单调函数，故B 错误；令()

()ln f x h x x x

=

=，是单调增函数，故C 正确，故选CD ．

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16

，而且三好学生中女生占一半．现

在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率

为 ．

18

解：P ＝

51408

=． 14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．

2y x =

解：ln 1y x x =++，1

1y x

'=

+，设切点横坐标为0x ，001121x x +=?=，所以切点(1，2)，故切线方

程为22(1)y x -=-，即2y x =．

15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ?的取值范围是 ． (﹣2，6)

解：点P 与点F 重合时，AP AB ?有最小值为﹣2，当点P 与点C 重合时，AP AB ?有最大值为6，故AP AB ?的取值范围是(﹣2，6)．

16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一

条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且2

2

123e e +的最小值为 ． 1

；解：设椭圆方程为2222111x y a b +=，双曲线方程为22

2222

1x y a b -=，则由直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，

得222222

2

121212222222

2221

1b b b b a c c a e c a c a c a e --=?=?=?=，∴12e e ＝1；

所以22

12123e e e +≥=

2122

3e e ?=???=?取等号．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）

已知函数2

()cos 2sin 1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；

（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4

π

，c ＝2，求△ABC 的面积．

解：（1）∵(

)2

21f x sin x =+-=x ﹣cos2x

＝2sin （2x 6

π

-

），

令2k π2

π

-

≤2x 6

π

-

≤2k π2

π

+

，k ∈Z ，解得k π6

π

-

≤x ≤k π3

π

+

，k ∈Z ，

∴函数f （x ）的单调递增区间为：[k π6

π

-

，k π3

π

+

]，k ∈Z ．

（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6

π

-

）＝2，

∴sin （2A 6

π

-

）＝1，

∵A ∈（0，π），2A 6

π

-

∈（6

π

-

，

116

π）， ∴2A 6

2

π

π

-=

，解得A 3

π=

， ∵C 4

π

=

，c ＝2， ∴由正弦定理sin a b sinA B =

，可得2sin sin 12

c B b sinC ππ???+ ?

?=

==+

∴S △ABC

1

2=

ab sin

C 12=（

1

32

2?=． 18．（本小题满分12分）

2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．

（1；

（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．

附公式及表：

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．

解：（1）因为男生人数为：11

120551113

?=+，所以女生人数为1205565-=，

于是可完成22?列联表，如下：

根据列联表中的数据，得到2K 的观测值

2120(30152550)960 6.713 6.63555658040143

k ??-?==≈>???，

所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”

（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，

()()335

3

8

0,1,2,3k k

C C P k k C ξ-===，即 32155333

88515

(0),(1)2828C C C P P C C ξξ======, 1235333388151

(2),(3)5656

C C C P P C C ξξ======.

可得分布列为

可得

5151519()0123282856568E ξ=?

+?+?+?=.

19．（本小题满分12分）

已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22

221x y -=的焦点重合，点P(0在椭圆C 上，动

直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB

0?=(O 为坐标原点)．

（1）求椭圆的方程；

（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）因为双曲线2

2

2

21x y -

=的焦点为()1,0，所以在椭圆C 中1c =，

设椭圆C 的方程为()2

2221

10y x a a a +=>-，

由点(P 在椭圆C 上得

2

3

11

a =-，解得242a a =?=，则

b == 所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=

（2）22712m k -为定值，理由如下：

设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ?=可知12120x x y y +=，

联立方程组()

22222

348412014

3y kx m

k x mkx m x y =+??

?+++-=?+=??， 由(

)()22

2

2

644344120m k k

m

?=-+->得2234m k <+，

2121222

8412

,3434km m x x x x k k

-+=-=++，① 由12120x x y y +=及y kx m =+得()()12120x x kx m kx m +++=， 整理得(

)()2

212

1210k

x x

km x x m ++++=，

将①式代入上式可得()22

222

4128103434m km

k km m k k

-+?-?+=++， 同时乘以234k +可化简得(

)()2

2

2222214128340k

m

k m m m k +--++=，

所以2

2

712=12m k -，即2

2

712m k -为定值. 20．（本小题满分12分）

已知函数2

()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解式；

（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)； （3）设()31()2

f x x

g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值．

解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2， 所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2

()2f x x x =--；

（2）()2(1)mf x x m >--，化简有2

(2)2(1)m x x x m -->--，整理(2)(1)0mx x -->，

所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞， 当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ??

-∞+∞ ???

， 当2m =时，不等式的解集为(,1)

(1,)-∞+∞，

当2m >时，不等式的解集为()2

(,

)1,m

-∞+∞，

（3）因为[2,1]x ∈-时2

()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有

2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-，

则有2

()3123

()22f x x x

x g x +-+-==，所以，1(),116g x ??

∈?

???

， 因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤， 即求12|()()|Max g x g x M -≤，转化为()()Max Min g x g x M -≤，

而()(1)1Max g x g ==，1

()(1)16

Min g x g =-=，所以， 此时可得1516

M ≥

， 所以M 的最小值为15

16.

21．（本小题满分12分）

已知2

21

()(ln )x f x a x x x

-=-+

． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）当a ＝1时，证明3

()()2

f x f x '>+

对于任意的x ∈[1，2]成立． 解：（1）的定义域为；

2233

22(2)(1)

'()a ax x f x a x x x x

--=--+=. 当

，

时，'()0f x >，

单调递增；

(1,),'()0x f x ∈+∞<时，

单调递减.

当

时，3

(1)22

'()()()a x f x x x x a a

-=

+-. ① ，

，

当

或x ∈时，'()0f x >，

单调递增；

当x ∈时，'()0f x <，

单调递减；

② 时，

，在x ∈内，'()0f x ≥，

单调递增；

③ 时，，

当

或x ∈时，'()0f x >，

单调递增；

当x ∈时，'()0f x <，

单调递减.

综上所述， 当

时，函数在内单调递增，在内单调递减；

当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；

当时，在内单调递增；

当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.

（2）由（Ⅰ）知，

时，

22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+

---+23

312

ln 1x x x x x =-++--，，

令

，

.

则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1

'()0x g x x

-=

≥可得，当且仅当时取得等号.

又24

326

'()x x h x x

--+=， 设，则在x ∈

单调递减，

因为， 所以在

上存在

使得

时，

时，

，

所以函数()h x 在

上单调递增；在

上单调递减，

由于，因此，当且仅当取得等号，

所以3()'()(1)(2)2

f x f x

g

h ->+=

，

即

3 (

)'()

2

f x f x

>+对于任意的恒成立

22．（本小题满分12分）

已知点P是抛物线C1：24

y x

=的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B 为切点．

（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；

（2）若直线AB交椭圆C2：

22

1

43

x y

+=于C、D两点，S1，S2分别是△PAB，△PCD的面积，求1

2

S

S 的最小值．

解：（1）证明：设点()

11

,

A x y、()

22

,

B x y，

则以A为切点的切线方程为()

11

1

2

y y x x

y

-=-，即()

11

2

y y x x

=+，

同理以B为切点的切线方程为()

22

2

y y x x

=+，

两条切线均过点()

1,

P t

-，

()

()

11

22

21

21

ty x

ty x

?=-+

?

∴?

=-+

??

，即11

22

220

220

x ty

x ty

--=

?

?

--=

?

，

所以，点A、B的坐标满足直线220

x ty

--=的方程，

所以，直线AB的方程为220

x ty

--=，

在直线AB的方程中，令0

y=，可得1

x=，所以，直线AB过定点()

1,0；

（2）设点P到直线AB的距离为d，则

1

2

1

2

PAB

PCD

d AB AB

S

S CD

d CD

?

==

?

△

△

.

由题意可知，直线AB不与x轴重合，可设直线AB的方程为1

x my

=+，

设()33,C x y 、()44,D x y ，由241

y x x my ?=?=+?，得2

440y my --=，()

21610m ?=+>恒成立，

由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，

由弦长公式可得

()21241AB y m =-==+

由22

1431x y x my ?+=???=+?

，得()

2234690m y my ++-=，()()

222

36363414410m m m ?=++=+>恒成立. 由韦达定理得342634m y y m +=-

+，342

9

34

y y m =-+，

由弦长公式得

()234

2

12134

m CD y m +=-==

+.

()()222

2

241344433312134

PAB PCD m AB S m m S CD m m ++∴====+≥++△△，

当且仅当0m =时，等号成立.

因此，1

2S S 的最小值为4

3.