各省高中数学竞赛试题汇编——函数小题目
各省数学竞赛试题汇编——函数小题目
1.【2018年湖南预赛】函数的定义城为_________.
【答案】
【解析】
由得,所以函数的定义城为.
故答案为
2.【2018年湖南预赛】已知函数对任意的实数满足:,且当时,,当时,,则象与的图象的交点个数为___________。【答案】10
【解析】
由题意知,f(x)=且周期是6,,且此函数是偶函数,在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示:
由图可得,两个函数图象的交点个数是10个.
3.【2018年陕西预赛】已知函数,若存在,使得
,则正整数的最大值是________.
【答案】6
【解析】
由题意得.故尽可能大时的情形为,此时. 4.【2018年陕西预赛】已知函数,若存在,使得
,则正整数的最大值是________.
【答案】6
【解析】
由题意得.故尽可能大时的情形为,此时. 5.【2018年陕西预赛】已知函数,若存在,使得
,则正整数的最大值是________.
【答案】6
【解析】
由题意得.故尽可能大时的情形为,此时. 6.【2018年贵州预赛】若方程有两个不等实根,则实数的取值范围是_____________. 【答案】
【解析】
由知x>0,故.
令,则.
当时,;当时,.
所以在(0,e)上递增,在(e,+)上递减.
故,即.
7.【2018年安徽预赛】设点P、Q分别在函数的图象上,则的最小值=_________. 【答案】
【解析】
设P(),Q()使最小.由互为反函数,知点P、Q处的切线斜率都是1,直线PQ的斜率都是-1.故.
故答案为:
8.【2018年广东预赛】函数的值域为_____________.
【答案】当时,的值域为();当时,的值域为().
【解析】
,因为,所以当时,的值域为();当时,的值域为().
故答案为:当时,的值域为();当时,的值域为().
9.【2018年广东预赛】已知方程在区间(-2,2)内恰有两个实根,则k的取值范围是__________. 【答案】
【解析】
记,令,得.
当时,在()上为增函数.当时,在()上为减函数.所以在点处取得最大值,
当且仅当时,在区间(-2,2)内恰有两个实根,故k的取值范围是.
故答案为:
10.【2018年贵州预赛】方程组的实数解为___________.
【答案】
【解析】
因为,所以,
即,代入,得.
由.
11.【2018年湖北预赛】设是定义在上的单调函数,若对任意的,都有
,则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
由题设,存在正常数,使得,且对任意的,有.
当时,有,由单调性知此方程只有唯一解.所以.不等式
,即,解得.故不等式的解集为.
12.【2018年甘肃预赛】关于的方程有唯一实数解,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
解法一原方程化为.
(1).
(2)时,的两根分别为1、3,不符合题意.
(3)时,的两根分别为2,.
因此,符合题意要求.
(4),即时,若,不符合要求;
若,因此,符合要求.
解法二,因为,所以
.
上单调递增,在上单调递减.
又,所以的取值范围是.
13.【2018年吉林预赛】函数的定义域为__________.
【答案】(1,2)(4,5)
【解析】
由题得,解之得x∈(1,2)(4,5).
故答案为:(1,2)(4,5)
14.【2018年山东预赛】对任意的实数的最小值为______.
【答案】
【解析】
设,
则
①+②+③得.解得.
又当时,有解.
故当时,取到最小值.
15.【2018年山东预赛】已知,且为方程的一个根,则的最大可能值为______.【答案】9
【解析】
由题设,则.
因为,则必为完全平方数.
设,则.
所以.
解得,8,,0.所以的最大可能值为9.
16.【2018年山东预赛】设为最接近的整数,则______.
【答案】
【解析】
设,则,即.
而,因此满足个.
注意到,从而或7.
由于,所以.
因此.
17.【2018年天津预赛】已知函数的定义域都是,它们的图象围成的区域面积是_____________
【答案】
【解析】
将的图象补充为完整的圆,则由中心对称性易知答案是圆面积的一半,为.
故答案为:
18.【2018年天津预赛】若为正实数,且是奇函数,则不等式的解集是_____________
【答案】
【解析】
由可得
即
也即,所以.
由于在(0,+)上递增,所以在(0,+)上是增函数,结合是奇函数可知
在R上是增函数.解不等式,只需找到的解.
方程等价于
也即
两边平方,解得.因此,不等式的解集是.
故答案为:
19.【2018年河南预赛】已知函数,若的定义域为,值域为
,则的值为______.
【答案】0
【解析】
因为,
所以有,得,故上是增函数,
进而.解得(舍)或.
故填0.
20.【2018年河北预赛】若,且满足那么. 【答案】1
【解析】
把已知条件变形为函数上为增函数且是奇函数,另,故,所以.
21.【2018年四川预赛】设函数上的最大值为,最小值为,那么的值为______. 【答案】4
【解析】
因为上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为.
又的最大值为
故
故答案为:4
22.【2018年四川预赛】的值为______.
【答案】1
【解析】
令,则
从而,化简为.
所以,原式
故答案为:1
23.【2018年浙江预赛】已知a为正实数,且是奇函数,则的值域为________.
【答案】
【解析】
由为奇函数可知,解得a= 2,即,
由此得的值域为.
24.【2018年浙江预赛】设,则有________个不同的解. 【答案】3
【解析】
因为
由得到,或.
由,得一个解;由得两个解,共3个解.
25.【2018年浙江预赛】设满足,则x的取值范围为________. 【答案】
【解析】
由.
令,
,
所以.
26.【2018年江西预赛】函数的值域是区间______.
【答案】
【解析】
显然函数定义域为,在此区间内,
由于,即,
故有角使得.
于是,
因为,则.
在此范围内,则有.
因此.(当时,;当时,)
故答案为:
27.【2018年山西预赛】函数的值域为________.
【答案】
【解析】
由条件知.
令.则
,
,
,
因为,所以,.
28.【2018年湖南预赛】如图,A与P分别是单位圆O上的定点与动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数,则=__________.
【答案】
【解析】
对角度x进行简单的分类,然后根据三角函数的定义得到
利用函数的周期性得到.
故答案为:
29.【2018年湖南预赛】如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动,即先以A为中心顺时针旋转,当B落在x轴上时,再以B为中心顺时针旋转,如此继续,设顶点C滚动时的轨迹方程为,则上的表达式为__________.
【答案】
【解析】
①
由于是以4为周期的周期函数,所以当时
此时由周期性及①式的结果得到
故答案为:
30.【2018年湖南预赛】设,函数(其中表示对于,当时表达式的最大值),则的最小值为_____.
【答案】
【解析】
对于每一个,函数是线性函数.因此,在任意有限闭区间上,函数的最大值与最小值均在区间端点处达到,从而有
由于函数图像交点的横坐标c满足
,
得到其图像为两条折线组成,且
故答案为:
31.【2018年福建预赛】已知定义在上的奇函数,它的图象关于直线对称.当时,,则______.
【答案】2
【解析】
由为奇函数,且其图象关于直线对称,
知,且,
所以.
是以8为周期的周期函数.
又,
所以.
32.【2018年福建预赛】已知整系数多项式,若
,则______.
【答案】24
【解析】
设,则,
于是.
所以.
所以是多项式的一个根.
又不可能是三次整系数多项式、二次整系数多项式的零点.
所以整除.故为整数.
所以.
由,得.
所以.
33.【2018年福建预赛】已知函数满足:对任意实数,都有成立,且,则______.
【答案】
【解析】
在中,令,得
.
令,得.
又,所以,即
.
又,
,
所以.
故.
34.【2016年上海预赛】若x∈(-1,1)时,恒为正值,则实数a的取值范围是____________。【答案】
【解析】
注意到,二次函数的图像为抛物线,其对称轴为.
当,即-2<a<2时,题设;
当a≥2时,f(x)在区间(-1,1)上为减函数,题设;
当a≤-2时,f(x)在区间(-1,1)上为增函数,题设,这与a≤-2矛盾.
综上,a的取值范围的
35.【2016年上海预赛】不等式的解集为___________。
【答案】
【解析】 设
.则原不等式变为
.记
.故f(t)在区间(o ,+∞)上为减函数,
且f(12)=-1-12=-13.因而,原不等式可写成
36.【2016年浙江预赛】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数,若对任意实数,x 都有(2)()f x f x +=-,且当
[0,1]x ∈时,()2f x x =,则(103)f =____________.
【答案】36203-. 【解析】
试题分析:∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数, ∴()()f x f x -=-;
又∵对任意实数,x 都有(2)()f x f x +=-, ∴()()()()
()42f x f x f x f x +=-+=--=, ∴函数()f x 是周期为4的周期函数; ∵当[0,1]x ∈时,()2f x x =,
∴
()()()()()
()()
1031031034410316103162
1031818103
f f f f f f f =--=--+?=-=---=--=-,
∵[]181030,1-∈,
∴()()()
1031810321810336203f f =-=-=-. 故答案为:36203-. 考点:函数的奇偶性和周期性. 37.【2016年浙江预赛】设,方程
恰有三个不同的根。则
__________。
【答案】2 【解析】
原方程可变形为.要使方程恰有三个不同的根,则.此时,方程恰有三个不同的根.从而,.
38.【2016年上海预赛】已知函数均为常数),函数的图像与函数的图像关于轴对称,函数的图像与函数的图像关于直线对称.则函数的解析式为__________.
【答案】
【解析】
设点在函数的图像上.
则P关于直线的对称点在函数的图像上.
进而,关于y轴的对称点在函数的图像上.
则,即.
故.
39.【2016年江苏预赛】若不全相等的三个实数a、b、c满足,则__________.【答案】0
【解析】
注意到,
.
因为a、b、c不全相等,
所以,.故.
40.【2016年江苏预赛】已知a、b为实数.若二次函数满足,且,则的值为__________.
【答案】3
【解析】
易知,均为方程的根.
则,
.
41.【2016年江苏预赛】已知函数在区间内的值恒正.则实数a的取值范围
是__________.
【答案】
【解析】