初中数学教程等腰三角形的判定定理及推论

15.3等腰三角形

第2课时等腰三角形的判定定理及推论

教学目标

【知识与能力】

1．理解等腰三角形的判定方法的证明过程；

2．掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论，能运用定理和推论进行简单的推理和计算。【过程与方法】

通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

【情感态度价值观】

引导学生对图形观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲。

教学重难点

【教学重点】

等腰三角形判定定理及推论的探索。

【教学难点】

等腰三角形判定定理的证明和运用。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米．

同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．

二、合作探究

探究点一：等腰三角形的判定

【类型一】判定一个三角形是等腰三角形

例1 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AE 是∠BAC 的角平分线，AE 与CD 交于点F ，求证：△CEF 是等腰三角形．

解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE ＝∠ACD ，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF ＝∠CFE ，根据等角对等边可得CE ＝CF ，从而可得△CEF 是等腰三角形．

证明：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴∠B ＋∠BAC ＝90°.∵CD 是AB 边上的高，∴∠ACD ＋∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠ACD .∵AE 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAE ＝∠EAC ，∴∠B ＋∠BAE ＝∠ACD ＋∠EAC ，即∠CEF ＝∠CFE ，∴CE ＝CF ，∴△CEF 是等腰三角形．

方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．

【类型二】 等腰三角形性质和判定的综合运用

例2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE .

(1)求证：△DEF 是等腰三角形；

(2)当∠A ＝50°时，求∠DEF 的度数．

解析：(1)根据等边对等角可得∠B ＝∠C ，利用“SAS ”证明△BDE 和△CEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE ＝EF ，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE ＝∠CEF ，然后求出∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE ，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B ＝∠DEF .

(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△BDE 和△CEF 中，∵?????BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ，

∴△BDE ≌△

CEF (SAS )，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形；

(2)解：∵△BDE ≌△CEF ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE .∵∠B ＋

∠BDE ＝∠DEF ＋∠CEF ，∴∠B ＝∠DEF .∵∠A ＝50°，AB ＝AC ，∴∠B ＝12

×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF ＝65°.

方法总结：等腰三角形提供了很多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是

证明线段相等、角相等的重要手段．

探究点二：等边三角形的判定

例3 等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP ＝∠ACQ ，BP ＝CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．

解析：先证△ABP ≌△ACQ 得AP ＝AQ ，再证∠PAQ ＝60°，从而得出△APQ 是等边三角形． 解：△APQ 为等边三角形．证明如下：∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC .在△ABP 与△ACQ 中，

∵?????AB ＝AC ，∠ABP ＝∠ACQ ，BP ＝CQ ，

∴△ABP ≌△ACQ (SAS )，∴AP ＝AQ ，∠BAP ＝∠CAQ .∵∠BAC ＝∠BAP ＋∠PAC ＝60°，∴∠PAQ ＝∠CAQ ＋∠PAC ＝60°，∴△APQ 是等边三角形．

方法总结：判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.

教学反思

这一课的教学重点是等腰三角形的判定定理及应用，教学难点是等腰三角形的性质定理与判定定理的区别．学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识．因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算，提高学生的动手、归纳、猜想能力，发展学生证明用文字表述的几何命题的能力，使他们进一步掌握归纳思维方法，领会数学中分类讨论思想、转化思想．本节课的不足之处有：等边对等角与等角对等边一定要在同一个三角形中来研究，这点强调得不够．