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高等数学习题册

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习题七............................................................................................................................................... 1 习题八.. (6)

习题七

一、填空：

1. 点()132A ,,-关于x 轴的对称点是_____,关于xOy 面的对称点是____，关于坐标原点的对称点是____，关于点()121P ,,-的对称点是____.

2. 已知向量{}447AB =-,,，其终点B 的坐标为()217-,,，则始点A 的坐标为_______.

3.设224=+-a i j k ，5=-+b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是_____

4. 若向量51{,,}a λ=-与向量31{,,}b μ=平行，则λ=____，μ=______.

5. 已知{}676,,a =-，则与a 平行的单位向量坐标为_______.

6. 已知a 、b 的夹角3

πθ=

，且34,a b ==,则 a b ?=_____，()()322a b a b -?+=____，+a b =_____.

7.设,,a b c 为单位向量，且满足0a b c ++=，则a b b c c a ?+?+?=______ 8. 点()121,,到平面22100x y z ++-=的距离为_____

9. 设a 、b 、c 是不共面的三个向量，如果0?=r a ，0?=r b ，0?=r c ，那么r =_____

10. 设2==

a ,

b 且2?=a b ，则?a b =______.

11. 已知()()()120303526A B C ,,,,,-,,,，则三角形ABC 的面积为_____

12. 已知向量2332 ,,a i j k b i j k c i j =-+=-+=-，则()a b c ??=_____ 13.平面210x y z -+-=与平面230x y z ++-=的夹角_____. 14. 直线

12340

x y z

--==与平面3x y+2z+4=0-的夹角为_______,交点为____ 15.球面22220x x y y z -+-+=的球心为_____和半径为______

二、选择

1.点()2,3,1-在第( )卦限.

A.I

B.IV

C.V

D.VIII

2.已知非零向量a b 与垂直，则必有( ).

A.+=+a b a b

B.-=-a b a b

C.+=-a b a b

D.+=-a b a b 3.设向量a b 与相互平行，但方向相反，则当0>>a b 时，必有( )

A.+=-a b a b

B.+>-a b a b

C.+<-a b a b

D.+=+a b a b 4.设平面方程为Bx Cz+D=0+，且B 、C 、D 0≠，则平面( )

A.平行于x 轴

B.平行于y 轴

C.经过y 轴

D.垂直于y 轴

5.已知三平面1π、2π、3π的方程分别为1:5510x y z π-++=，2:3580x y z π-++=，

3:43390x y z π---=则必有( )

A.1π与2π平行

B.1π与3π垂直

C.2π与3π垂直

D.2π与3π平行 6.设空间直线的对称式方程为

012

x y z

==，则该直线必( ) A.过原点且垂直于x 轴 B. 过原点且垂直于y 轴 C. 过原点且垂直于z 轴 D.过原点且平行于x 轴

7.设空间三直线的方程分别为134:253x y z l ++==--，23:1327x t

l y t z t

=??

=-+??=+?

，3210

:20x y z l x y z +-+=??

+-=?

则必有( ) A.12//l l B.13//l l C.23l l ⊥ D.12l l ⊥

8.以yOz 面上的圆223y z +=为准线，母线平行于x 轴的圆柱面的方程为（ ）.

A.223x y +=

B.223y z +=

C.2223x y z ++=

D.2

2

3x z += 9.方程2

2

4440x z x z +--+=表示( )

A. xOz 面上的圆

B.球面

C.旋转椭球面

D.圆柱面

10.方程组2222491

x y z x ?++=?=?表示( )

A.椭球面

B.1x =平面上的椭圆

C.椭圆柱面

D.空间曲线在1x =平面上的投影 11.方程2

2

0x y +=在空间直角坐标系下表示( )

A.坐标原点()000,,

B.xOy 坐标面的原点()000,,

C.z 轴

D.xOy 坐标面

三、解答

1.已知非零向量a b 与，用作图法作出下列向量：

①132a b +

； ②1

32

a b - 2. 判断下列说法哪些正确.

①与非零向量a 同向的单位向量只有一个. ②与非零向量a 共线的单位向量只有一个.

③若=a b ，则=a b .

④与x,y,z 三坐标轴的正向夹角相等的向量，其方向角为333,,πππ??

???

. ⑤ 000?=?==或a b a b

⑥若≠0a ，且?=?a b a c ，则=b c ⑦空间曲线的方程是唯一的. 3.判定下列向量,,a b c 是否共面.

①{}{}{}2311131911,,,,,,,,a b c =-=-=- ②{}{}{}321212312,,,,,,,,a b c =-==- 4.分别按下列条件求平面方程：

①过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量； ②过三点()()()200030004,,,,,,,,A B C -； ③过点()301,,-且与平面375120x y z -+-=平行； ④平行于xOz 面且经过点()253,,-； ⑤通过z 轴和点()312,,--；

⑥平行于x 轴且经过两点()402,,-和()517,,； 5. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：

①31y =0- ②40= ③2360x y --= ④1y z += ⑤20x z -= ⑥650x y z --= 6.分别求适合下列条件的直线方程：

①过点()1,1,10M 且以{}2,3,4=a 为方向向量 ②过两点()()2,1,2,1,2,1B A ③过点()1,1,1且与直线

4

3

3221-=-=-z y x 平行 ④过点()344,,-，方向角为()

,???

60,45120

⑤过点()234,,-且与平面324x y z -+=垂直； ⑥过点()024,,，且与21x+z =和32y z=-两平面平行 ⑦过点()121,,-，且与直线210

210x y z x y z =+--=??

+-+?

平行

7.将下列直线的一般方程化为点向式方程：

①10240x y z x y z =-+-=??

++-?； ②5210

25x y z z=y -+-=??+?

8. 求两直线

14127x-y z +==-和623

511

x y z +--==-的夹角的余弦. 9. 判断下列直线与平面的关系：

①

32273x y z ++==-- 和4223x y z --=； ②327

x y z

=

=- 和 3278x y z -+=； ③ 223

314

x y z--+==- 和3x+y z += 10. 求过点()121,,，且与两直线

21020

100

x y z x y z x y z x y z +-+=-+=????

-+-=-+=??和 平行的平面的方程.

11. 求由下列各题条件所生成的旋转曲面的方程.

①xOz 坐标面上的抛物线52

z x =绕x 轴旋转一周； ②xOz 坐标面上的圆2

92

x z +=绕z 轴旋转一周；

③曲线24936

02x y z ?-=?=?

绕y 轴旋转一周

12.画出下列各方程所表示的曲面：

①22

2

22a a x y ????-+= ? ?????

②21492x y -

+= ③

2

194

2x z += ④20y z -=

⑤22

z x =-

13.指出下列方程在平面直角坐标系中和空间直角坐标系中的不同意义：

①1x =；②1y x =+； ③242x y +=； ④212x y -=

14. ①求曲线2229

1

x y z x z ?++=?+=?在xOy 面的投影的方程

②求曲线22

1

z x y z ?=+?=?到xOy 面的投影柱面方程及投影曲线方程

15.指出下列方程所表示的曲线：

①222253x y z x ?++=?=? ②22249361x y z y ?++=?=?

③2224253

x y z x ?-+=?=-? ④224804y z x+y ?+-=?=?

⑤22

19420y z x ?-=???-=? 四、证明

1. 已知两点()()111222,,,,A x y z B x y z 和，在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为两个有向线段AM 与MB ，使它们满足等式()1AM MB ≠-＝λλ，试证分点(),,M x y z 的坐标为121212

111x x y y z z x ,y ,z +λ+λ+λ=

==+λ+λ+λ

.

2.试证四个点()()()()121015121213A B C , D ,,,,,,,,,,--在同一平面上

3设0M 是直线l 外一点，M 是直线l 上任意一点，且直线的方向向量为s ，试证：点0M 到直线l 的距离0M M d s

s

?=

习题八

一、填空

1.对级数

1

n

a

n ∞

=∑，n lim 0n a →∞

=是它收敛的________条件，不是它收敛的________条件；

2. 部分和数列{}n S 有界是正项级数

1n

n u

∞

=∑收敛的_______条件；

3. 若级数

1

n

n u

∞

=∑绝对收敛，则级数

1

n

n u

∞

=∑必定______;若级数

1

n

n u

∞

=∑条件收敛，则级数

1

n

n u

∞

=∑必定______;

4.设幂级数

1

n

n a x ∞=∑n 的收敛半径为3，则幂级数()

1

1

1n n n na x ∞

+=-∑的收敛区间是______；

5.1

112n n n -∞

=?? ???∑=________

二、解答

1.求下列级数的部分和，并判断其敛散性，若收敛，求出它的和.

①

1

n ∞

=∑ ②132

n

n ∞

=∑

③

()()

1

1

2121n n n ∞

=-+∑ ④

1

1ln 1n n ∞

=??+ ???∑ ※2.利用柯西审敛原理判别下列级数的收敛性：

①

()

1

1

1n n n

+∞

=-∑

②11111123456

+

-++-

+

③1sin 2n

n nx ∞

=∑ ④0111313233n n n n ∞

=??+- ?+++?

?∑ 3.用比较审敛法判断下列正项级数的敛散性

①1121n n ∞=-∑ ②2

111n n

n ∞=++∑ ③()()1114n n n ∞=++∑ ④

1

sin

2n

n ∞

=∑π

⑤

()2

1

01n n a a ∞

=>+∑ 4.用比值审敛法判断下列正项级数的敛散性

①112n n n ∞

=+∑ ②213n n n ∞=∑ ③12!n n n n n ∞=?∑ ④132n n

n n ∞=?∑ ⑤()2

10n n n x x ∞

=>∑ 5. 判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

①1++②

()

1

1

1

13n n n n

∞

--=-∑ ③

234

111132323232-+-+????④

1111ln 2ln 3ln 4ln 5

-+-

+

⑤()

1

111

113521

n n +-+-

+-+

-⑥222

23412!3!4!

-

+-+

6. 求下列幂级数的收敛区间.

①2

3

23n x x x nx +++

++

②()23

2221123n

n

x x x x n

-+-+

+-+

③()

23224246

242n

x x x x n ++++

+

?????

?

④

23

231323333n

n

x x x x n +++++????

⑤2323

22

2222510

1

n n x x x x n +

+++++

⑥

5n

x ∞

-

7. 利用逐项求导或逐项积分，求下列积分在收敛区间内的和函数：

①

()1

11n n=1

nx

x ∞

--<<∑ ②()35

1135

x x x x +++

-<<

8. 将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：

①e e sh 2

x -x x -= ②()()ln 0a x a>+ ③x

a

④2

sin x

⑤()()1ln 1+x x +

9. 将下列函数按要求展开：

①将函数lg f(x)x =展开成()1x -的幂级数； ②将函数()f x cosx =展开成3x ??

+ ??

?

π的幂级数； ③将函数1

()f x x

=

展开成()3x -的幂级数； ④将函数21

()32

f x x x =++展开成()4x +的幂级数.

10. 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值：

0.001） ②cos 2?

（精确到0.0001）

③

1240

1d 1x x +?

（精确到0.0001） ④1

2

0arctg d x x x

?（精确到0.001） 11. 下列周期函数()f x 的周期为2π，试由()f x 在[),ππ-上的表达式，将()f x 展开成傅里叶级数：

①()()2

31f x x x ππ=+-≤<

②()()2x

f x e x ππ=-≤<

③(),0

,0bx x f x ax x ππ

-≤

≤

a b a b >>为常数，且 12. 将函数()()2

20f x x x π=≤≤分别展开成正弦级数和余弦级数.

13. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为

①2

1

1()122f x x x ??=--≤< ??? ②()()

21,30()1,03x x f x x +-≤

③()101()1021112

x x f x x x ?

?-≤

=≤

?????-≤

???