新课标人教版高中数学必修四教案合集

新课标人教版高中数学必修四教案合集

1.1．1 任意角

教学目标

（一）知识与技能目标

理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.

（二）过程与能力目标

会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．

（三）情感与态度目标

1\提高学生的推理能力；

2．培养学生应用意识．

教学重点

任意角概念的理解；区间角的集合的书写．

教学难点

终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．

教学过程

一、引入：

1．回顾角的定义

①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

二、新课：

1．角的有关概念：

①角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

②角的名称：

始边终边

顶点

A

O

B

③角的分类：

④注意：

⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；

答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示：

所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ，

k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z

正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 ⑵

B 1

y

⑴

O x

45° B 2

O x B 3

y

30°

60o

负角：按顺时针方向旋转形成的角

⑵ α是任一角；

⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差

360°的整数倍；

⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．

例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．

⑴－120°；⑵640

°；⑶－950°12＇．

答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}．

例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．

4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：

③象限角；

④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：

①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题

思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2

α

各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限，

∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z)

因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z)

正角：按逆时针方向旋转形成的角

零角：射线没有任何旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z) 故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角． 又k ·180°+90°＜

2

α

＜k ·180°+135°(k ∈Z) ． 当k 为偶数时，令k=2n(n ∈Z)，则n ·360°+90°＜2

α

＜n ·360°+135°(n ∈Z) ，

此时，

2

α

属于第二象限角 当k 为奇数时，令k=2n+1 (n ∈Z)，则n ·360°+270°＜2

α

＜n ·360°+315°(n ∈Z) ，

此时，2

α

属于第四象限角 因此2

α

属于第二或第四象限角．

1.1.2弧度制（一）

教学目标

（四） 知识与技能目标

理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．

（五） 过程与能力目标

能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 （六） 情感与态度目标

通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美． 教学重点

弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点

“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程

一、复习角度制：

初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的360

1

作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引 入：

由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？

2．定 义

我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略．

3．思考：

（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？

（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为

;ππ=r

r

②整圆所对的圆心角为

.22ππ=r

r

③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．

⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r

l

4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：

π2360=?； π=?180；rad 01745.0180

1≈=?π

；rad n n 180

π

=

?． ②将弧度化为角度：

2360p =?；180p =?；180

1()57.305718rad p

￠=盎??；180(

)n

n p

=?．

5．常规写法：

① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度

角度 0° 30°

45°

60°

90°

120° 135° 150° 180° 270° 360°

弧度

6π 4π 3π 2π 32π 43π 6

5π π

2

3π π2

7．弧长公式

l l r r

a a =

??

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度．

例2．把rad 5

3

π化成度．

例3．计算：

4

sin

)1(π

；5.1tan )2(．

例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：

3

19)

1(π

；?-315)2(． 例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．

319)

1(π

；6

31)2(π-． 解: (1),6

72319π

ππ+= 而

6

7π是第三象限的角,193p \是第三象限角.

(2) 315316,666

p p p

p -

=-+\-是第二象限角. .,,2

1

6. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =

证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为

221

R ππ

,又扇形O

R l

弧长为l,半径为R,

∴扇形的圆心角大小为

R l rad, ∴扇形面积lR R R l S 2

1

212=?=． 证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为360

2

R n S π?=，

又此时弧长180R n l π=

，∴R l R R n S ?=??=2

1

18021π． 可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．

22

1

21:R lR S α==扇形面积公式

7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．

8．课后作业： ①阅读教材P 6 –P 8；

②教材P 9练习第1、2、3、6题； ③教材P10面7、8题及B2、3题．

4-1.2.1任意角的三角函数（三） 教学目的：

知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；

2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。 教学过程： 一、复习引入：

1. 三角函数的定义

2. 诱导公式

)

Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ 练习1.

.____________tan600o

的值是 D 3.D 3.C 3

3

.B 33.A --

练习2. .________,0cos sin 在则若θθθ> B

第二、四象限 第一、四象限第一、三象限

第一、二象限.D .C .B .A

练习3. ____

0sin20cos 的终边在则若 θθ<>θ，且 C

第二象限 第四象限 第三象限 第一象限.D .C .B .A

二、讲解新课：

当角的终边上一点(,)P x y 的坐标满足

22

1x y +=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

1．有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义：

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，

过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延

长线交与点T .

由四个图看出：

当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有

sin 1y y y MP r α====， cos 1x x

x OM r α====，tan y MP AT

AT x OM OA

α====

我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 说明：

（1）三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

o

x y M

T

P

A o

x

y

M T

P A

x

y

o

M

T

P

A

x

y

o

M

T P

A

（Ⅳ）

（Ⅲ）

（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂

足；正切线由切点指向与α的终边的交点。

（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的

为负值。

（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 4．例题分析：

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 （1）

3π； （2）56π； （3）23π-； （4）136

π-．

解：图略。

例2. .1cos sin 20>+<<ααπ

α，证明若

π

ππππ

π5

4

tan 32tan )(35

4

cos 32cos )(254sin 32sin )(1.3与与与比较大小：例

)(

2

1

sin ]20[.4的取值范围是的上满足，在例x x ≥π

??

??????????????????????πππππππ，，，65.D 326.C 656.B 6,0.A 例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围．

;21sin )1(-

1cos )2(>x

答案：（1）71122,66k x k k Z ππππ+<<+∈；（2）22,66

k x k k Z ππ

ππ-+<<+∈；

三、巩固与练习：P17面练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．三角函数线的定义； 2．会画任意角的三角函数线；

3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。 五、课后作业： 作业4

参考资料

例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1? 32sin

π与54sin π 2? 32tan π与5

4tan π 解： 如图可知：

32sin

π>54sin π tan 32π< tan 5

4π

例2．利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角 1? sin α≥

2

1

2? tan α>33

解： 1? 2?

30?≤α≤150?

30?<α<90?或210?<α<270?

补充：1．利用余弦线比较cos 64,cos 285的大小；

2．若

4

2

π

π

θ<<

，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；

3．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：

x

y

o

P 1

P 2

x

y

o

T

A

210?

30?

（1）3cos 2θ< ； （2）tan 1θ>- ； （3）3sin 2

θ>-．

4-1.2.1任意角的三角函数（1） 教学目的：

知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；

（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； （3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；

（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.

教学过程：

一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？

在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、

余弦、正切依次为,,a b a

sinA cosA tanA c c b

=== ．

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。 二、讲解新课： 1．三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么

（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x

r α=；

（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y

x α=；

（4）比值

x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y

α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；

③当()2

k k Z π

απ=

+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐

标x 都等于0，

所以tan y

x

α=

无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；

④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y

x

、x y 分别是一

个确定的实数，

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。 2．三角函数的定义域、值域

注意：

(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合

函 数

定 义 域 值 域

sin y α=

R

[1,1]- cos y α= R

[1,1]-

tan y α= {|,}2

k k Z π

ααπ≠

+∈

R

(2) α是任意角，射线OP 是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几圈，按什么方向旋转到OP 的位置无关.

(3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.

(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.

(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆

3．例题分析

例1．求下列各角的四个三角函数值：（通过本例总结特殊角的三角函数值）

（1）0； （2）π； （3）32

π

． 解：（1）因为当0α=时，x r =，0y =，所以

sin 00=， 01cos =， tan 00=， cot 0不存在。 （2）因为当απ=时，x r =-，0y =，所以

sin 0π=， cos 1π=-， tan 0π=， cot π不存在， （3）因为当32

π

α=

时，0x =，y r =-，所以 3sin 12π=-， 3cos 02π=， 3tan 2π不存在， 3cot 02

π

=， 例2．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的四个函数值。 解：因为2,3x y ==-，所以222(3)13r =+-=，于是

3313sin 1313y r α-=

==-； 2213

cos 1313

x r α===

；

3

tan 2

y x α=

=-； 2cot 3x y α==- ．

例3．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。 解：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以5||r a =， ,2x a y a == 当22250sin 55||5y a a a r a a α>=

===时，5cos 55x a a

r a

α===

；15

tan 2;cot ;sec 5;csc 22

αααα====

； 当2225

0sin 55||5y a a a r a a

α<=

===-

-时，； 5cos 5

5x a a r a α=

==-

-； 15

tan 2;cot ;sec 5;csc 22αααα===-=-． 4．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ①正弦值

y

r

对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）；

②余弦值

x

r

对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；

③正切值y

x

对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 练习： 确定下列三角函数值的符号：

（1）cos 250； （2）sin()4

π

-； （3）tan(672)-； （4）

11tan 3

π．

例4．求证：若sin 0α<且tan 0α>，则角θ是第三象限角，反之也成立。 5．诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：

sin(2)sin k απα+=，

cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=，

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．

例5．求下列三角函数的值：（1）9cos 4π， （2）11tan()6

π

-， 例6．求函数x

x

x

x y tan tan cos cos +

=

的值域 解： 定义域：cosx ≠0 ∴x 的终边不在x 轴上 又∵tanx ≠0 ∴x 的终边不在y 轴上

∴当x 是第Ⅰ象限角时，0,0>>y x cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………,0,0>

…………ⅢⅣ………, 0

,00,0<><

1．任意角的三角函数的定义；2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式。

五、巩固与练习

1、教材P15面练习；

2、作业P20面习题1．２A 组第1、2、3（1）（2）（3）题及P21面第9题的（1）、（3）题。

4-1.2.2同角三角函数的基本关系 教学目的：

知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及