初三数学圆全章导学案
与圆有关的角的综合 教学设计
学习目标
3、圆心角定理推论： 在同圆或等圆中，两个 、两条 、两条 、两条弦的 中有一组量相等，其余 各组
量都相等。 、圆周角
1、顶点在
，两条边 的角叫做圆周角．
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
．
3、圆周角定理的推论：
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角 ；在同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧 推论 2： （或 ）所对的圆周角等于 90°；90°的圆周角所对的弦是 ．
4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角
．
推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的
．
二、精讲多动
一、加深理解
1、对圆周角的理解
①
如图，∠ AOB 与∠ ACB 是 AB 对的圆心角与圆周角，故有：∠ ACB ＝ ∠ AOB ，反之∠ AOB
＝
∠ACB ．
2、对圆周角定理的两个推论的理解 （1） 推论 1： ①是圆中证角相等
最常用的方法之一． ②
若将推论
1 中的“同弧或等弧 ”改为 “同弦或等弦 ”结论就不成立 了．因为
一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况不相等
（如图
中的∠ 1 与∠ 2）．
③ 推论 1 中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是 结论不成立 （如图中的 AC 与BD ）． ④ 联系圆心角定理推论可得： 在同圆或等圆中
1、熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角直接
按 的关系及圆心角、圆周角定理及相关推论； 2、理解并能灵活运用弧、弦、圆心角、圆 周角之间的关系进行角的转换和计
、导学探究
知识概述
一、圆心
1、
的角叫圆心角 .
2、圆心角定理：在
中， 相等的圆心角 相等的圆周角
相等的圆心角所对的
相等，所对的 也相
②定理的作用是勾通圆心角，圆周角之间的数量关系．
在同圆或等圆中 ”，离开这个前提条件，
D
A B
1
O
2
(2) 推论
2 应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果
需要直角或证明垂直时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的办法．3、对圆的内接四边形定理的理解
(1) “内对角”是圆内接四边形的专用名词，是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角．
(2) 定理的另一个含义是对角和相等(都为180 °)．
(3) 定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据．
(4) 使用定理时，要注意观察图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置．二、解题方法技巧点拨
1、圆心角和圆周角之间的换算
例1、已知：如图，AB 为⊙ O的直径，弦CD 交AB 于P，且∠ APD＝60°，∠COB＝30°，求∠ ABD
的度数．
例2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，以AB为直径的半圆交AC于D，交BC于E．求ADDE、BE 、
所对圆心角的度数．
点评：(1)辅助线AE，构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形，因此在关于直径的问题中，常添辅助线使之构成直角三角形．即有直径，得直角
(2)本题还有副产品BE＝EC，你注意了吗？该副产品有时很有用．仿解：如
图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点(点F不与B、C 重合)， A
是弧BF 上的中点，设∠ FBC＝α,∠ ACB＝β.
⑴当α＝50°时，求β的度数。
⑵猜想α与β之间的关系，并给与证明。
2、圆内角、圆外角、圆周角之间的运算题圆内角：角的顶点在圆内的角叫做圆内角．圆外角：角的
顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角．
例3、如图，圆的弦AB、CD延长线交于P点，AD、BC交于Q点，∠ P＝28°，∠AQC ＝92°，求∠ ABC 的度数．
C
分析：圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系，故圆内角∠ AQC 与圆外角∠ P 可通过圆周角∠ ABC(∠ADC)与∠ A(∠C)建立起联系。
点评：
⑴圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系．⑵同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是：圆内角＞圆周角＞圆外角．
⑶圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对的弧对的周角之和．(如图，
∠ AQC＝∠ ABC＋∠ A) ．
⑷圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差(如图，∠ P＝∠ ABC－∠ A)
．
3、与圆周角有关的证明
例4、如图，△ ABC内接于⊙ O，AE⊥BC于D，交⊙O于E，AF为⊙ O的直径．
⑴求证：BAF＝∠ CAE．
(2) 求证：AB·AC＝AD ·AF；
(3) 若过O作ON⊥AB于N，则ON与CE之间有何数量关系？
例6、如图，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形，⊙ O 的直径BD 交AC 于E，2
AF⊥BD 于F，延长AF 交BC 于G．求证：AB2＝BG·BC．
例7、已知：⊙ O1的圆心O1在⊙ O2上，且两圆交于A、B两点，O1D为⊙O2 的
弦，交⊙ O1 于C，求证：O1C2＝O1E·O1D．
点评：在圆中有弧中点时，常用以下三种辅助线．
①过弧中点作半径；②连等弧对的圆心角和圆周角；③连等弧对的弦．
例
5、
如图，AB是△ ABC 外接圆O 的直
径，EB·CD＝DE·AC．
D 为⊙ O 上一点，且D
E ⊥CD 交BC 于E，
D
点评： 圆内接四边形的性质是沟通圆外角和圆内角的桥梁，此题的关键是添加辅助线，构造圆内接 四边形．
变式：①此题条件不变，问 DG ·CG 是否与 AG ·FG 相等．
②是否有 AC 2＝ AG ·AF 成立？
6、巧妙构造四点共圆解题 .
例 11、在等腰△ ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝1000，点 P 在△ABC 的外部，并且 PC ＝BC ，求∠ APB
的度数。
思路点拨： 由题中的条件 AC ＝ BC ＝PC ，联想到圆的定义，画出以点 C 为圆心， AC 为半径的 圆，巧妙地构造出圆心角∠ ACB ＝1000， 圆周角∠ APB ＝500 问题，使此题得以突破与解决。
4、与圆的内接四边形的有关计算问题
例 8、如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，∠BAC ＝40°，D 是AC 上任意一点，那么∠
D 的度数是 仿解：如图， AB 是⊙ O 的直径， BC
是弦，
OD ⊥BC 于E ，交弧 BC 于
D ． (1)请写出四个不同类型的正确结论； (2)若 BC ＝8，ED ＝ 2，求⊙ O 的半径．
3)连 CD ，设∠ BDC ＝ ，∠ ABC ＝ ，探究 与 之间的关系式，
并给给予适当的说明。
例 9、已知：四边形 ABCD 内接于⊙ O ，且∠ BOD ＝ 100°．求∠ A 的度数． (注意：此题不止一种 情形)
仿解：已知⊙ O 中弦 AB 的长等于半径长，则弦 AB 所对的圆周角的度数为
5、与圆的内接四边形有关的证明问题
例 10、如图，已知： AB 是⊙ O 的直径，弦 CD ⊥AB 于 E ，G 是AC 上任意一点， AG 、DC 的延长 线交于 F ．求证：∠ FGC ＝∠ AGD ．
三、优选精练
★基础演练
2、如图，已知直线BC切⊙O于点C，PD为⊙ O的直径，BP的延长线与CD的延长线交于点A，
∠A＝28°，∠ B＝26°，则∠ PDC＝.
3、如图所示，P 为等边三角形ABC 外接圆上一点，则∠ APB 的度数是
4、如图，⊙ O1和⊙ O2相交于A、B，分别过A、B作两条直线与⊙ O1交于C、E，与⊙ O2交于E、
F，如∠ ADF ＝100°，那么∠ ACE＝
知∠ BOC ＝20°，那么∠ ADC
线交圆周于一点E，此点( )
A．是AB的中点；B．是AB的3等分点；C．距点B和C等远；D．距点A和C等远
8、如图，⊙ O 的内接四边形ABCD 的对角线交于P,已知AB＝BC，求证：△ ABD∽△ DPC。
9、如图，半圆的半径为2cm，点C、D 三等分半圆，求阴影部分面积
★★ 能力提升
1、下列命题中，错误的是( ) A ．90°的
圆角所对的弦一定是直径；C．圆
周角等于其所对弧的度数的一半；
B．相等的圆周角所对的弦长也相
等；
D．同弧所对的圆周角也相等
5、如图，四边形OADC 中，A、D、C三点在以O 为圆心的圆周上，延长AO交⊙O于B点，已
6、( 2009肇庆) 9．如图4，⊙ O 是正方形ABCD 的外接圆，点P 在⊙ O 上，则∠ APB 等于
CD
B
第8 题图第9 题图
7、如图，AB 是⊙ O 的直径， C 是圆上一点，作弦CD ⊥AB，当 C 在半圆上移动时，OCD 的平分
第 2 题图第 3 题图第 4 题图第 5 题图
第 6 题
图
第7 题图
10、（ 07年重庆）已知，如图： AB 为⊙O 的直径， AB ＝AC ，BC 交⊙ O 于点 D ，AC 交⊙O 于点
E ， 11
∠ BAC ＝ 45 。给出以下五个结论：∠ EBC ＝ 22.5 ； BD ＝DC ； AE ＝ 2EC ；劣弧 AE 是劣
22
弧 DE 的 2 倍；⑤ AE ＝ BC 。其中正确结论的序号是
11、如图，量角器外沿上有 A 、B 两点，它们的读数分别是 70°、40°，则∠ 1 的度数为 . 12、（2008年海南） 如图 8, AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙ O 上，∠ BAC ＝30°，点 P 在线段 OB 上运
动 . 设∠ ACP ＝ x ，则 x 的取值范围是 .
13、（ 07年广西柳州、 北海）如图所示， AB ＝AC ，AB 为⊙ O 的直径， AC 、BC 分别交⊙ O 于E 、D ， 连结 ED 、 BE ．
（ 1）试判断 DE 与 BD 是否相等，并说明理由； （2）如果 BC ＝6，AB ＝5，求 BE 的长．
14、（2009 南充市 ）如图 8，半圆的直径 AB ＝ 10，点 C 在半圆上，BC=6．
（1）求弦 AC 的长；
（2）若 P 为AB 的中点， PE ⊥AB 交AC 于点 E ，求 PE 的长．
15、（2009黄冈市）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙ O 上一点，连结 BC ，AC ，过点 C 作 直
线 CD ⊥ AB 于点 D ，点E 是AB 上一点，直线 CE 交⊙O 于点 F ，连结 BF ，与直线 CD 交于点 G ．求 证： BC 2 BG BF
16、 （2009年衢州）如图， AD 是⊙ O 的直径． （1）
如图①，垂直于 AD 的
B
C D B （第 13 题
图 ）
B 第 10 题图
第 11 题图）
B
两条弦B1C1，B2C2把圆周 4 等分，则∠ B1 的度数是，∠B2的度数是；