全等三角形模型(教(学)案)

教学过程

一、课堂导入

【问题】如图，你能感觉到哪两个三角形全等吗？

【思考】△ABD≌△ACE

二、复习预习

【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON．移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合．则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的角平分线，为什么？请你说明理由．

【解答】OP平分∠AOB

理由如下：

∵OM=ON，PM=PN，OP=OP

∴△MOP≌△NOP（SSS）

∴∠MOP=∠NOP

∴OP平分∠MON

（即OP是∠AOB的角平分线）

三、知识讲解

考点1

全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。

考点2

全等三角形的判定：

所有三角形SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形HL

四、例题精析

【例题1】

【题干】如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：

AE=BF．

【答案】证明：∵正方形ABCD，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC．

∵AE⊥BF，∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，

∵∠ABG+∠CBF=90°，∴∠BAG=∠CBF．

在△ABE和△BCF中，

BAE CBF AB CB

ABE BCF

∠=∠

?∠=∠

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF．

【解析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直

角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案．

【例题2】

【题干】如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；

（2）求证：AE⊥CF．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，

∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，

∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，

在△AEB和△CFB中，

AB BC

ABE CBF BE BF

∠=∠

∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．

（2）延长AE交BC于O，交CF于H，

∵△AEB≌△CFB，∴∠BAE=∠BCF，

∵∠ABC=90°，∴∠BAE+∠AOB=90°，

∵∠AOB=∠COH，∴∠BCF+∠COH=90°，

∴∠CHO=90°，∴AE⊥CF

【解析】（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．

（2）利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明．

【例题3】

【题干】（2014?顺义区一模）已知：如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．

（1）请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：

如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求证：CD=AB．

【答案】：（1）如图1，以N 为圆心，以MQ 为半径画圆弧；以M 为圆心，以NQ 为半径画圆弧；两圆弧的交点即为所求．

主要根据“SSS”判定三角形的全等．

（2）如图3，

延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．

∵∠ACB+∠CAD=180°，∠DAC DAC +∠EAC=180°∴∠BAC BCA =∠EAC

在△EAC和△BAC中，

AE CE

AC CA

EAC BCN

?∠=∠

∴△AECEAC≌△BCA （SAS），∴∠B=∠E，AB=CE

∵∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∴CD=AB．

【解析】（1）以点N为圆心，以MQ长度为半径画弧，以点M为圆心，以NQ长度为半径画弧，两弧交于一点F，则△MNF 为所画三角形．

（2）延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．证明△EAC≌△BCA，得：∠B =∠E，AB=CE，根据等量代换可以求得答案．

【例题4】

出结论，他的结论应是；

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

五、课堂运用

【基础】

1.在平面正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．

（2）BH⊥DE．

【答案】证明：（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中，

BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，

∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，即∠BCH=∠DCE，

在△BCH和△DCE中，

BC CD

BCH DCE

CE CH

∠=∠

，

∴△BCH≌△DCE（SAS），∴BH=DE；

（2）∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH=∠CDE，

又∵∠CGB=∠MGD，∴∠DMB=∠BCD=90°，

∴BH⊥DE．

【解析】（1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．

(完整版)全等三角形模型之手拉手模型

手拉手模型例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC （2）AE=DC （3）AE与DC的夹角为60。（4）△AGB≌△DFB （5）△EGB≌△CFB （6）BH平分∠AHC （7）GF∥AC H F G E D

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

例题2：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H 问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？例题3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二者相交于H. 问（1）△ADG ≌△CDE 是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？

例题4：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD. 问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立？（2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分∠AHC ？课程顾问签字：教学主管签字：

三角形旋转全等常见模型(1)

1、绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC （1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由．

（2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△C BN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．例4、例题讲解： 1. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1)如图1，当点D 在边BC 上时，求证：①BD=CF ②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。例1、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB,AD 上各存在一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求PCQ ∠的度数。例2、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ，求证：①∠MAN=45°；② △CMN 的周长=2AB ；③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM 。例3、在正方形ABCD 中，已知∠MAN=45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动：①试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系；②求证：AB=AH. 例4、在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 且上，满足EF=BE+DF.求证：BAD EAF ∠= ∠2 1 。

关于全等三角形的旋转难题解析

旋转已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l 的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE，（1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：△ADC≌△CEB；（2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD；（3）如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE，进而根据AAS证明△ADC≌△CEB．（2）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD．（3）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，进而得到ED=AD+BE．解答：（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）．（2）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴DC=BE，AD=CE．又∵ED=CD-CE， ∴ED=BE-AD．（3）ED=AD+BE．证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴DC=BE，AD=CE．又∵ED=CE+DC， ∴ED=AD+BE．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证明线段

专题训练(三) 全等三角形的基本模型

专题训练(三)全等三角形的基本模型 ?模型一平移模型常见的平移模型：图3－ZT－1 1．如图3－ZT－2，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：∠A＝∠E. 图3－ZT－2 2．如图3－ZT－3，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF.求证：AE＝BF. 图3－ZT－3 ?模型二轴对称模型常见的轴对称模型：图3－ZT－4 3．如图3－ZT－5，∠B＝∠D，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，并说明理由．图3－ZT－5 4．如图3－ZT－6，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD. 图3－ZT－6 5．如图3－ZT－7，A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF.求证：DE＝CF. 图3－ZT－7 6．如图3－ZT－8，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.求证：AB＝AC. 图3－ZT－8 ?模型三旋转模型常见的旋转模型：图3－ZT－9

7．如图3－ZT－10，已知AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE. 图3－ZT－10 ?模型四一线三等角模型图3－ZT－11 8．如图3－ZT－12，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B. (1)求证：BC＝DE； (2)若∠A＝40°，求∠BCD的度数．图3－ZT－12 ?模型五综合模型平移＋对称模型：平移＋旋转模型：图3－ZT－13 图3－ZT－14 9．如图3－ZT－15，点B，F，C，E在同一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC＝DF. 3－ZT－15 10．如图3－ZT－16，AB＝BC，BD＝CE，AB⊥BC，CE⊥BC.求证：AD⊥BE. 图3－ZT－16 详解详析

全等三角形的经典模型(一)

作弊？漫画释义三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短满分晋级 3 全等三角形的经典模型（一）

D C B A 等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545??°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 思路导航知识互联网题型一：等腰直角三角形模型

A B C O M N A B C O M N 【例1】已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点， ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．【解析】 ⑴OA =OB =OC ⑵连接OA , ∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO ∴ON =OM ∴∠=∠NOA MOC ∴90∠+∠=∠+∠=?NOA BON MOC BON ∴90∠=?NOM ∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ， ∵在△ANO 和△CMO 中， AN CM BAO C AO CO =?? ∠=∠??=? ∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ，又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形．【例2】两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．典题精练 A B C O M N M E D C B A

初中数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全(初二)

初二数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全掌握它轻松搞定全等题！全等是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握~ 全等变换类型：（一）平移全等：平行等线段（平行四边形）（二）对称全等模型：角平分线或垂直或半角 1：角平分线模型； 2：对称半角模型；（三）旋转全等模型：相邻等线段绕公共顶点旋转 1. 旋转半角模型 2. 自旋转模型 3. 共旋转模型 4. 中点旋转

如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE 分析：将△ACE平移使EC与BD重合。B\D，上方交点，左右两个三角形，两边和大于第三边！

1：角平分线模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 2：对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、45+ 22.5°、对称（翻折）15°+30°直角三角形对称（翻折）30+60+90直角三角形对称（翻折）翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

1. 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 2. 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 3. 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等（共顶点） 4. 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题（专题七） 1、旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 2、自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称

全等三角形常见的几何模型

全等三角形常见的几何模型集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

1、绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：???????，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000 018090906060 （2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和 △ BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） B H 平分∠AHC （7） G F ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。（4） A E 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

3、（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CB N，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．例4、例题讲解： 1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1)?如图1，当点D在边BC上时，求证：①?BD=CF???②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； ? (3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。例1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2，求PCQ 的度数。

全等三角形的模型及相关结论

全等三角形的模型隐圆倍半角型如图，若AB＝AC＝AD，则∠BAC＝2∠BDC，∠CAD＝2∠CBD。变式：如图，若AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，求证：∠CBD＝2∠CDB。角平分线与中垂线型如图，OC平分∠AOB，D、E分别在OA、OB上，DE的垂直平分线与OC交于点F。辅助线为：结论（线、角、面积）为：变式：如图，OC平分∠AOB的外角，D、E分别在OA、OB上，DE的垂直平分线与OC交于点F。辅助线为：结论（线、角、面积）为：

对角互补型如图，在四边形ABCD中，①AB＝AD，②∠B＋∠D＝180°，③AC平分∠BCD。知①②推③，知①③推②，知②③推①。辅助线一：辅助线二： 1、等腰直角对直角 2、等腰直角旁直角知三推二：①AB＝AC；②∠BAC＝90°；③∠ADB＝45°； ④∠ADC＝45°；⑤∠BDC＝90°。 ①②③推④⑤：作AM⊥AD ①②④推③⑤：作AN⊥AD ①③④推②：作AE⊥BD，AF⊥CD ②③④推①：作AE⊥BD，AF⊥CD ①②⑤推③④：作AE⊥BD，AF⊥CD 知三推二：①AB＝AC；②∠BAC＝90°；③∠ADB＝45°； ④∠ADC＝135°；⑤∠BDC＝90°。

3、等边对120° （BC ＋CD ＝AC ）夹半角型（内夹补短，外夹截长；先证小全等，再证大全等。） 1、90°夹45° （1）内夹（90°角完全包含45°角）（2）外夹（90°角不完全包含45°角） ①②③推④⑤：作AN ⊥AD ①②④推③⑤：作AM ⊥AD ①③④推②：作AE ⊥BD ，AF ⊥CD ②③④推①：作AE ⊥BD ，AF ⊥CD ①②⑤推③④：作AE ⊥BD ，AF ⊥CD ①②③推④⑤：法一：延长CB 至点M ，使CM ＝CA ，连AM 法二：在CA 上截取CP ＝CB ，连BP ①②④推③⑤：法一：延长CD 至点N ，使CN ＝CA ，连AN 法二：在CA 上截取CQ ＝CD ，连DQ ①③④推②：作AE ⊥CB ，AF ⊥CD ②③④推①：作AE ⊥CB ，AF ⊥CD ①②⑤推③④：作AE ⊥BD ，AF ⊥CD ①BE ＋DF ＝EF ；②∠EAF ＝45°；③2CEF C AD △＝ ①与②可互推知三推二：①AB ＝AD ；②∠BAD ＝60°；③∠ACB ＝60°； ④∠ACD ＝60°；⑤∠BCD ＝120°。

完整word版,初中三角形全等之旋转和对称经典模型

初中全等三角形旋转和对称经典模型一.旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度，就叫做图形的旋转，定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角；二.旋转的性质（1）旋转前后的图形全等；即对应线段相等，对应角相等．（2）对应点到旋转中心的距离相等．（3）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角．三.旋转对称图形把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°，小于360°）四.旋转对称图形把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°，小于360°）五.典型模型 1、等线段共点等边三角形共顶点

2、绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：自旋转构造放方法： ①遇60°旋60°，构造等边三角形； ②遇90°旋90°，构造等腰直角三角形； ③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等； ④遇中点180°，构造中心对称。共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形

（2）共旋转模型变形

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 3.中点旋转（拓展）：

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。 4、半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 5.角分线模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

全等三角形常见的几何模型

1绕点型(手拉手模型) 遇600旋60°,造等边三角形遇90°旋90°，造等腰直角遇等腰旋顶角，造旋转全等遇中点旋1800，造中心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ (1)△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)△ AGB ◎△ DFB (5)△ EGB ◎△ CFB (6)BH 平分/ AHC (7)GF // AC 变式练习2、如果两个等边三角形△ ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明: ("△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC [D山3 Vi壮-U (I) ? 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明 (1) △ ABE ◎△ DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH 平分/ AHC (1自旋转：自旋转构造方法 ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明:

3、(1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶CBN ,连接AN , BM .分别取BM, AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的形状，并说明理由. (2)若将(1)中的“以AC , BC为边作等边△ ACM和厶CBN”改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM和△ CBN，”如图2,其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. B 例4、例题讲解： 1.已知△ ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60 ° ,连接CF. (1)如图1,当点D在边BC上时，求证：① BD=CF 宓AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、 CD之间存在的数量关系，并说明理由； ⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。 2、半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起, 成对称全等。 D A D A M x N rt B D 例1、如图，正方形ABCD的边长为1, AB,AD上各存在一点P、0,若厶APQ的周长为2, A P

专项练习(二) 全等三角形的基本模型

专项练习(二)全等三角形的基本模型?基本模型一平移模型常见的平移模型：图2－ZT－1 1．如图2－ZT－2，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝D B. 求证：∠A＝∠E. 图2－ZT－2 2．如图2－ZT－3，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF. 求证：AE＝BF. 图2－ZT－3 ?基本模型二轴对称模型常见的轴对称模型：图2－ZT－4 3．如图2－ZT－5，∠B＝∠D，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，并说明理由．图2－ZT－5 4．如图2－ZT－6，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE. 求证：BE＝CD. 图2－ZT－6 5．如图2－ZT－7，A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF. 求证：DE＝CF. 图2－ZT－7 6．如图2－ZT－8，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.求证：AB＝AC. 图2－ZT－8

?基本模型三旋转模型常见的旋转模型：图2－ZT－9 7．如图2－ZT－10，O是线段AB和线段CD的中点．求证：(1)△A OD≌△BOC； (2)AD∥BC. 图2－ZT－10 8．：如图2－ZT－11，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE. 图2－ZT－11 ?基本模型四一线三等角模型图2－ZT－12 9．如图2－ZT－13，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC ＝CE，∠ACD＝∠B. (1)求证：BC＝DE； (2)假设∠A＝40°，求∠BCD的度数．图2－ZT－13 ?基本模型五综合模型平移＋对称模型：图2－ZT －14 10．如图2－ZT－15，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB ∥ED，AC∥FD.求证：AC＝DF. 图2－ZT－15 平移＋旋转模型：图2－ZT－16 11．：如图2－ZT－17，AB＝BC，BD＝EC，AB⊥BC，EC⊥BC.求证：AD⊥BE. 图2－ZT－17 详解详析

三角形旋转全等常见模型

1绕点型(手拉手模型) 遇60°旋60°，造等边二角形遇900旋900，造等腰直角遇等腰旋顶角，造旋转全等遇中点旋 1800，造中心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ (1)△ABE^A DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)△AGB2A DFB (5)△EGB2A CFB (6)BH平分/ AHC (7)GF// AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ ABD和△ BCE连接AE与CD证明: (1)△ABE^A DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC (1自旋转：自旋转构造方法 ABD和△ BCE连接AE与CD 证明: B

变式练习2、如果两个等边三角形厶ABD和厶BCE连接AE与CD,证明: (1)△ABE^A DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4)AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC (1)如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶 CBN，连接AN , BM .分别取BM , AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的形状，并说明理由. (2)若将(1 )中的“以AC, BC为边作等边△ ACM和厶CBN'改为“以AC , BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM 和厶CBN，”如图2，其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. 例4、例题讲解： 1.已知△ ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60 ° ,连接CF. (1) 如图1,当点D在边BC上时，求证：① BD=CF 宓AC=CF+CD. (2) 如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； ⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。 D

全等三角形证明中的基本模型

把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =．求证：CF DE = 模块一平移型全等知识导航知识互联网夯实基础全等中的基本模型 F E D C B A

【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠=? 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BD AE BF =?? =? ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =?? ∠=∠??=? ∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE = 【例1】如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF = 求证：AFC DEB △≌△ 如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．图1 F E D C B A 图2 F E D (C ) B A 图3 F E D C B A 常见轴对称模型知识导航模块二对称型全等能力提升

【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 ⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．【例3】如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．常见旋转模型：夯实基础能力提升知识导航模块三旋转型全等 E D N M C B A 43 2 1 E D C B A D O F E C B A

全等三角形之手拉手模型专题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】全等三角形之手拉手模型专题基本图形1、图（1）中，C 点为线段AB 上一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN 与BM 相等吗？说明理由；如图（2）C 点为线段AB 上一点，等边三角形ACM 和等边三角形CBN 在 AB 的异侧，此时AN 与BM 相等吗？说明理由；如图（3）C 点为线段AB 外一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN 与BM 相等吗？说明理由．分析：题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明，由已知条件，利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等，证明全等，即可得到线段相等．解：（1）相等．证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC，又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°， ∴∠ACN=∠MCB， ∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM．（2）相等．证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC 又∠ACN=∠MCB，

∴△ACN≌△MCB， ∴AN=BM．（3）相等．证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC，又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°， ∴∠ACN=∠MCB， ∴△ACN≌△MCB， ∴AN=BM．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．变形2、（1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN 的中点E，F，连接 CE，CF，EF．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由．（2）若将（1）中的“以AC，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以 AC，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理

全等三角形经典模型总结

全等三角形相关模型总结一、角平分线模型 (一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线AC A、例题 1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm. 2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC. B、模型巩固 1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.

（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现 A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F . 求证： 1 () 2 BE AC AB =-. 例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交 AD的延长线于M. 求证： 1 () 2 AM AB AC =+.

（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC . A、例题 1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ . 2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.

B、模型巩固 1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）. 求证：AB－AC＞PB－PC . 2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC . 3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .

三角形旋转全等常见模型

1、绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：自旋转构造放方法：①遇60°旋60°，构造等边三角形； ②遇90°旋90°，构造等腰直角三角形； ③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等； ④遇中点180°，构造中心对称。（2）共旋转（典型的手拉手模型）

例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

变式练习2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：Array (1)△ABE≌△DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC （1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN， BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰 △ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，

人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结(精选.)

人教版八年级数学全等三角形常见模型总结要点梳理全等三角形的判定与性质类型一：角平分线模型应用 1.角平分性质模型：（利用角平分线的性质）辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC 例题解析例：（1）如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是 cm. （2）如图2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP 平分∠ BAC. 图1 图2 【答案】①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） ②21∠=∠Θ，PN PM =∴，43∠=∠Θ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,. 类型二：角平分线模型应用 2.角平分线，分两边，对称全等(截长补短构造全等)

两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使△OAC≌△OBC. 例题解析例1：在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D， ∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO， ∴△ADO≌△AQO， ∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP， ∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO， ∴∠DBO=∠DOB， ∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°， ∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°， ∴∠BOP=∠BPO， ∴BP=OB， ∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下： ①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。

【2020中考数学专项复习】全等三角形的常见基本模型

【中考专项复习】全等三角形的常见模型【回归概念】概念：经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 [1] ，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。全等三角形是几何中全等之一。 [2] 根据全等转换，两个全等三角形经过平移、旋转、翻折后，仍旧全等。正常来说，验证两个全等三角形一般用边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、和直角三角形的斜边，直角边（HL）来判定。规律：全等三角形基本模型： 1.平移模型 2.对称模型 3.旋转模型 4.三垂直模型

5.一线三等角模型【规律探寻】构造全等三角形的一般方法 1.题目中出现角平分线（1）通过角平分线上的某个已知点，向两边作垂线，这是利用角平分线的性质定理或者逆定理来构造的全等三角形（2）在角平分线的某个已知点，作角平分线的垂线和两边相交，构造全等三角形。（3）在该角的两边，距离角的顶点相等长度的位置上截取两点，分别连接这两点与角平分线上的某已知点，构造全等三角形 2.题目中出现中点或者中线（中位线）（1）倍长中线法，把中线延长至二倍位置（2）过中点作某一条边的平行线 3.题目中出现等腰或者等边三角形（1）找中点，倍长中线（2）过顶点作底边的垂线（3）过某已知点作一条边的平行线（4）三线合一 4.题目中出现三条线段之间的关系通常用截长补短法，在某条线段上截取一段线段，使之与特定的线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等。这种方法，在证明多条线段的和、差、倍、分关系时，效果非常好。 5.题目中出现垂直平分线

全等中的基本模型.学生版

全等中的基本模型知识互联网模块一平移型全等知识导航把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型

【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =．求证：CF DE = 【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠=? 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BD AE BF =?? =? ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =?? ∠=∠??=? ∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE = 【例1】如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF = 求证：AFC DEB △≌△ 如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．图1 F E D C B A 图2 F E D (C ) B A 图3 F E D C B A 模块二对称型全等夯实基础能力提升 F E D C B A

常见轴对称模型【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 ⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．【例3】如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．夯实基础能力提升知识导航 E D N M C B A 43 2 1 E D C B A D O F E C B A

全等三角形的经典模型(一)

作弊？满分晋级三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短漫画释义 3 全等三角形的经典模型（一）

45°45° C B A 等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545??°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 知识互联网思路导航题型一：等腰直角三角形模型 D C B A

【例1】已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点， ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．【解析】 ⑴OA =OB =OC ⑴连接OA , ⑴OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ⑴⑴ANO ⑴⑴CMO ⑴ON =OM ⑴∠=∠NOA MOC ⑴90∠+∠=∠+∠=?NOA BON MOC BON ⑴90∠=?NOM ⑴⑴OMN 是等腰直角三角形 ⑴⑴ONM 依然为等腰直角三角形，证明：⑴⑴BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ⑴⑴BAO =⑴OAC =⑴ABC =⑴ACB =45°， ⑴AO =BO =OC ， ⑴在⑴ANO 和⑴CMO 中， AN CM BAO C AO CO =?? ∠=∠??=? ⑴⑴ANO ⑴⑴CMO （SAS ）典题精练 A B C O M N A B C O M N A B C O M N