高中物理—共点力的平衡

共点力的平衡

知识点回顾

一、受力分析

1．定义

把指定物体（研究对象）在特定的物理环境中受到的所有外力都找出来，并画出______，这个过程就是受力分析。

2．受力分析的顺序

先找______，再找______力（弹力、摩擦力），最后分析电场力、磁场力、其他力。

【答案】力的示意图；重力；接触力

二、共点力作用下物体的平衡

1、物体保持________或者做________，物体就处于平衡状态。

2、共点力作用下物体的平衡条件：________________________

【答案】静止；匀速直线运动；作用在物体上各力的合力为零

三、共点力平衡的几条重要推论

1、二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反

2、三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任意两个力的合力一定与第三个力大小________，方向________。表示三力的矢量可以形成________。

3、多力平衡：如果物体受多个力作用处于平衡状态，其中任何一个力与________大小相等，方向相反。

【答案】相等；相反；封闭的三角形；其余力的合力

知识点讲解

知识点一：正交分解法

一、受力分析

1、定义

把指定物体（研究对象）在特定的物理环境中受到的所有外力都找出来，并画出受力示意图，这个过程就是受力分析．

2、一般顺序

二、应用正交分解法解题的步骤：

1、选取研究对象：根据题目要求，选取一个平衡体（单个物体或系统，也可以是结点）作为研究对象。

2、画受力示意图：对研究对象按受力分析的顺序进行受力分析，画出受力示意图。

3、建立坐标系：选取合适的方向建立直角坐标系。

4、列方程求解：根据平衡条件列出平衡方程，解平衡方程，对结果进行讨论。

【例1】一质量为m的物块恰好静止在倾角为θ的斜面上．现对物块施加一个竖直向下的恒力F，如图所示．则物块（）

A．仍处于静止状态B．沿斜面加速下滑

C．受到的摩擦力不变D．受到的合外力增大

【难度】★★

【答案】A

【解析】物块恰好静止在斜面上，沿斜面方向有：mg sinθ＝μmg cosθ，得μ＝tanθ，摩擦力f＝mg sinθ.施加一个竖直向下的恒力F后，沿斜面向下的力（mg＋F）sin θ与沿斜面向上的力μ（mg＋F）cosθ仍然相等，所以物块仍处于静止状态，合外力不变，仍为零，故A正确，B、D错误．受到的摩擦力f′＝（mg＋F）sin θ，变大，故C错误．

【例2】如图所示，桌面上固定一个光滑的竖直挡板，现将一个质量一定的重球A与截面为三角形的垫块B叠放在一起，用水平外力F可以缓缓向左推动B，使球慢慢升高，设各接触面均光滑，则该过程中（）

A．A和B均受三个力作用而平衡

B．B对桌面的压力越来越大

C．A对B的压力越来越小

D．推力F的大小恒定不变

【难度】★★

【答案】D

【解析】分析A、B整体受力如图甲所示，由平衡条件可得：N B＝（m A＋m B）g，不随球的升高而改变，故B错误；分析球A受力如图乙所示，由平衡条件可得：N AB＝mg/cosθ，N A＝mg tanθ，并不随球的升高而改变，故缓慢推动B的过程中F也不变，C错误、D正确；垫块B受支持力、压力、重力、推力F四个力作用，A错误．

【例3】重为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？

【难度】★★★

【答案】μG

1＋μ2

；与水平方向成α角斜向上且tanα＝μ

【解析】木块在运动过程中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F斜向上，设当F斜向上与水平方向的夹角为α时，F的值最小．木块受力分析如图所示，由平衡条件知：

F cosα－μF N＝0，F sinα＋F N－G＝0

解上述二式得：F＝μG

cosα＋μsinα

令tanφ＝μ，则sinφ＝

μ

1＋μ2

，cosφ＝

1

1＋μ2

可得F＝

μG

cosα＋μsinα

＝

μG

1＋μ2cos（α－φ）

可见当α＝φ时，F有最小值，即F min＝

μG

1＋μ2

1、如图所示，质量m A>m B的两物体A、B叠放在一起，靠着竖直墙面．让它们由静止释放，在沿粗糙墙面下落过程中，物体B的受力示意图是（）

【难度】★★

【答案】A

【解析】两物体A、B叠放在一起，在沿粗糙墙面下落过程中，由于物体与竖直墙面之间没有压力，所以物体与竖直墙面之间没有摩擦力，二者一起做自由落体运动，A、B之间没有弹力作用，故物体B的受力示意图是图A

2、如图所示，A、B两球用轻杆相连，用两根细线将其悬挂在水平天花板上的O点．现用一水平力F作用于小球B上，使系统保持静止状态且A、B两球在同一水平线上．已知两球重力均为G，轻杆与细线OA长均为L，则（）

A．细线OB的拉力的大小为2G

B．细线OB的拉力的大小为G

C．水平力F的大小为2G

D．水平力F的大小为G

【难度】★★

【答案】D

3、如图所示，木板P下端通过光滑铰链固定于水平地面上的O点，物体A、B叠放在木板上且处于静止状态，此时物体B的上表面水平。现使木板P绕O点缓慢旋转到虚线所示位置，物体A、B仍保持静止，且相对木板没有发生移动，与原位置的情况相比（）

A．A对B的作用力减小

B．B对A的支持力减小

C．木板对B的支持力减小

D．木板对B的摩擦力增大

课堂练习

P

A

B

O

【难度】★★

【答案】B

4、如图所示（俯视图），水平地面上处于伸直状态的轻绳一端拴在质量为m的物块上，另一端拴在固定于B点的木桩上．用弹簧测力计的光滑挂钩缓慢拉绳，弹簧测力计始终与地面平行，物块在水平拉力作用下缓慢滑动，当物块滑动至A位置、∠AOB＝120°时，弹簧测力计的示数为F，则（）

A．物块与地面间的动摩擦因数为F

mg

B．木桩受到绳的拉力始终大于F

C．弹簧测力计的拉力保持不变

D．弹簧测力计的拉力一直减小

【难度】★★

【答案】A

【解析】设轻绳中张力为F T，因物块缓慢移动，故F T＝μmg；在图示位置时F T＝F，所以物块与地

面间的动摩擦因数μ＝F

mg，选项A对．当∠AOB大于120°时，木桩受到绳的拉力F T大于F，当物块滑至A位置时，因∠AOB等于120°，木桩受到绳的拉力F T等于F，选项B错．绳中拉力F T＝μmg 不变，但∠AOB逐渐变小，故F逐渐增大，选项C、D均错．

5、如图所示，A、B两物体叠放在水平地面上，已知A、B的质量分别为m A＝10k g，m B＝20k g，A、B之间、B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，一轻绳一端系住物体A，另一端系于墙上，绳与竖直方向的夹角为37°，现欲用外力将物体B匀速向右拉出，求所加水平力F的大小（取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）

【难度】★★★

【答案】160N

【解析】A、B的受力分析如图所示．

对A应用平衡条件得

F T sin37°＝F f1＝μF N1①

F T cos37°＋F N1＝m A g ②

联立①、②两式可得：

F N1＝3m A g

4μ＋3

＝60N

F f1＝μF N1＝30N

对B应用平衡条件得

F＝F f1′＋F f2＝F f1′＋μF N2＝F f1＋μ（F N1＋m B g）＝2F f1＋μm B g＝160N.

6、如图所示，质量为M 的正方形空木箱放置在粗糙水平面上，沿空木箱对角线有一光滑细轨道，轨道与水平方向间的夹角为45°.轨道上有一质量为m 的物体沿轨道自由下滑，木箱始终静止在水平面上，求物体下滑的过程中： （1）轨道对物体的弹力的大小； （2）地面对木箱的摩擦力的大小和方向． 【难度】★★★ 【答案】（1）

22mg （2）1

2

mg ；方向水平向左 【解析】（1）以物体为研究对象，垂直轨道方向有F N ＝mg cos45° 解得轨道对物体的弹力的大小为F N ＝

2

2

mg （2）以木箱为研究对象，受力如图所示． 由牛顿第三定律有F N ′＝F N 在水平方向上有F f ＝F N ′sin45° 解得F f ＝1

2mg ，方向水平向左．

一、动态平衡及其临界和极值问题

1、动态平衡问题：通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。

2、临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述

3、极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

二、解决动态平衡、临界与极值问题的常用方法：

1、解析法：利用物体受力平衡写出未知量与已知量的关系表达式，根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况，利用临界条件确定未知量的临界值。

2、图解法：根据已知量的变化情况，画出平行四边形的边角变化，确定未知量大小、方向的变化，确定未知量的临界值。

知识点二：矢量三角形法

【例1】如图所示，有一质量不计的杆AO，长为R，可绕A自由转动．用绳在O点悬挂一个重为G 的物体，另一根绳一端系在O点，另一端系在以O点为圆心的圆弧形墙壁上的C点．当点C由图示位置逐渐向上沿圆弧CB移动过程中（保持OA与地面夹角θ不变），OC绳所受拉力的大小变化情况是（）

A．逐渐减小B．逐渐增大

C．先减小后增大D．先增大后减小

【难度】★★

【答案】C

【例2】如图所示，三根细线共系于O点，其中OA在竖直方向上，OB水平并跨过定滑轮悬挂一个重物，OC的C点固定在地面上，整个装置处于静止状态．若OC加长并使C点左移，同时保持O 点位置不变，装置仍然保持静止状态，则细线OA上的拉力F A和OC上的拉力F C与原先相比是（）

A．F A、F C都减小B．F A、F C都增大

C．F A增大，F C减小D．F A减小，F C增大

【难度】★★

【答案】A

【解析】以O点为研究对象，其受F A、F B、F C三个力平衡，如图所示．当按题示情况变化时，OB 绳的拉力F B不变，OA绳的拉力F A的方向不变，OC绳的拉力F C的方向与拉力F B方向的夹角减小，保持平衡时F A、F C的变化如虚线所示，显然都减小了．

【例3】半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN.在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的截面图．现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止．则在此过程中，下列说法中正确的是（）

A．MN对Q的弹力逐渐减小

B．地面对P的摩擦力逐渐增大

C．P、Q间的弹力先减小后增大

D．Q所受的合力逐渐增大

【难度】★★

【答案】B

【解析】Q的受力情况如图甲所示，F1表示P对Q的弹力，F2表示MN对Q的弹力，F2的方向水

平向左保持水平，F1的方向顺时针旋转，由平行四边形的边长变化可知：F1与F2都逐渐增大，A、C错误；由于挡板MN缓慢移动，Q处于平衡状态，所受合力为零，D错误；对P、Q整体受力分析，如图乙所示，由平衡条件得，F f＝F2＝mg tanθ，由于θ不断增大，故F f不断增大，B正确．

1、如图所示，用轻绳吊一个重为G的小球，欲施一力F使小球在图示位置平衡（θ<30°），下列说法正确的是（）（多选）

A．力F最小值为G sinθ

B．若力F与绳拉力大小相等，力F方向与竖直方向必成θ角

C．若力F与G大小相等，力F方向与竖直方向可能成θ角

D．若力F与G大小相等，力F方向与竖直方向可能成2θ角

【难度】★★

【答案】ABD

【解析】根据力的平行四边形定则可知，当力F与轻绳垂直斜向上时，力F有最小值，根据物体的平衡条件可知，其值为G sinθ，A正确。若力F与绳拉力大小相等，则力F的方向与轻绳中拉力的方向应该相对于过小球的竖直线对称，所以力F方向与竖直方向必成θ角，故B正确。若力F与G 大小相等，则有两种情况，一种情况是力F与G是一对平衡力；另一种情况是力F与G的合力与轻绳中拉力是一对平衡力，此时力F方向与竖直方向成2θ角斜向下。C错，D正确。

课堂练习

2、如图所示，一光滑小球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地移动挡板，则在小球运动的过程中（该过程小球未脱离球面且球面始终静止），挡板对小球的推力F、半球面对小球的支持力F N的变化情况是（）

A．F增大，F N减小B．F增大，F N增大

C．F减小，F N减小D．F减小，F N增大

【难度】★★

【答案】B

3、在固定于地面的斜面上垂直安放了一个挡板，截面为1

4圆的柱状物体甲放在斜面上，半径与甲相

等的光滑圆球乙被夹在甲与挡板之间，乙没有与斜面接触而处于静止状态，如图所示．现在从球心处对甲施加一平行于斜面向下的力F，使甲沿斜面方向缓慢地移动，直至甲与挡板接触为止．设乙对挡板的压力为F1，甲对斜面的压力为F2，在此过程中（）

A．F1缓慢增大，F2缓慢增大

B．F 1缓慢增大，F2缓慢减小

C．F1缓慢减小，F2缓慢增大

D．F1缓慢减小，F2保持不变

【难度】★★

【答案】D

【解析】对整体受力分析，如图甲所示，垂直斜面方向只受两个力：甲、乙重力在垂直于斜面方向的分力和斜面对甲的支持力F2′，且F2′－G cosθ＝0，即F2′保持不变，由牛顿第三定律可知，甲对斜面的压力F2也保持不变；对圆球乙受力分析如图乙、丙所示，当甲缓慢下移时，F N与竖直方向的夹角减小，F1减小．

4、将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示，用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线OA与竖直方向的夹角保持θ=30°，则F取最小值时O a线上的拉力为（）

A．3mg B．mg

C．

3

2mg D．

1

2mg

【难度】★★

【答案】B

【解析】以a、b为整体，整体受重力2mg、悬绳OA的拉力F T及拉力F三个力而平衡；如图所示，三力构成的矢量三角形中，当力F垂直于悬绳拉力F T时有最小值，且最小值F min=2mg sin θ=mg，此时O a线上的拉力F T=3mg，选项A正确。

1、共点力平衡的推论有哪些？请简述

2、简述共点力平衡问题的解题方法？

3、什么类型的问题适合用矢量三角形法求解？

1、如图所示是用来粉刷墙壁的涂料滚的示意图。使用时，用撑竿推着涂料滚沿墙壁上下滚动，把涂料均匀地粉刷到墙壁上。撑竿的重量和墙壁的摩擦均不计，而且撑竿足够长。粉刷工人站在离墙壁某一距离处缓缓上推涂料滚，使撑竿与墙壁间的夹角越来越小。该过程中撑竿对涂料滚的推力为F1，墙壁对涂料滚的支持力为F2，下列说法正确的是（）

A．F1、F2均减小B．F1、F2均增大

C．F1减小，F2增大D．F1增大，F2减小

【难度】★★

【答案】A

回家作业

课堂总结

【解析】在缓缓上推过程中涂料滚受力如图所示。由平衡条件可知：

F1sin θ－F2＝0

F1cos θ－G＝0

解得F1＝G

cos θ

F2＝G tanθ

由于θ减小，所以F1减小，F2减小，故正确答案为A。

2、如图所示，质量为m、横截面为直角三角形的物块ABC，∠BAC＝α，AB边靠在竖直墙面上，F 是垂直于斜面AC的推力．物块与墙面间的动摩擦因数为μ（μ<1）．现物块静止不动，则（）（多选）

A．物块可能受到4个力作用

B．物块受到墙的摩擦力的方向一定向上

C．物块对墙的压力一定为F cosα

D．物块受到摩擦力的大小可能等于F

【难度】★★

【答案】AC

【解析】本题的静摩擦力有临界点．假设F sinα＝mg，则没有摩擦力，物块受mg、F、墙的支持力F N三个力作用．假设F sinαmg，则摩擦力F f向下，物块受mg、F、墙的支持力F N及F f四个力作用．故选A、不选B.在各种情况中，物块对墙的压力都等于F cosα，如下图所示．故选C。因最大静摩擦力为μF cosα

3、如图所示，A、B都是重物，A被绕过小滑轮P的细线悬挂着，B放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根斜短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于平衡静止状态．若悬挂小滑轮的斜线OP的张力大小是203N，g取10m/s2，则下列说法中错误的是（）

A．弹簧的弹力为10N

B．重物A的质量为2k g

C．桌面对B物体的摩擦力为103N

D．OP与竖直方向的夹角为60°

【难度】★★

【答案】D

【解析】O ′a 与aA 两细线拉力的合力与OP 线的张力大小相等．由几何知识可知F

O ′a ＝F aA ＝20N ，且斜线OP 与竖直方向的夹角为30°，D 错误；重物A 的重力G A ＝F aA ，所以m A ＝2k g ，B 正确；桌面对B 的摩擦力F f ＝F O ′b ＝F O ′a cos30°＝103N ，C 正确；弹簧的弹力F 弹＝F O ′a sin30°＝10N ，故A 正确．

4、叠罗汉是一种二人以上层层叠成各种造型的游戏娱乐形式，也是一种高难度的杂技。如图所示为六人叠成的三层静态造型，假设每个人的重量均为G ，下面五人的背部均呈水平状态，则最底层正中间的人的一只脚对水平地面的压力约为

（ ）

A ．7

8G

B ．34G

C ．5

4G

D ．32

G

【难度】★★ 【答案】C

【解析】上面的人的两只脚分别给中间的人的作用力为G

2，中间的左、右边的人的每一只脚的作用

力为G 2＋G 2＝34G ，故下面的正中间的人背部受到的作用力为34G ＋34G ＝32G ，每一只脚对地面的压力为

3

2G ＋G 2＝5

4G ，C 对。

5、如图所示，一只半球形碗倒扣在水平桌面上处于静止状态，球的半径为R 。质量为m 的蚂蚁只有在离桌面高度大于或等于4

5R 时，才能停在碗上。那么，蚂蚁和碗面间的最大静摩擦力为

（

）

A ．0.6mg

B ．0.8mg

C ．0.4mg

D ．0.75mg

【难度】★★ 【答案】A

【解析】蚂蚁在离桌面高度等于4

5R 的位置停在碗上时，蚂蚁和碗面间的静摩擦力最大。对蚂蚁受力

分析如图所示，最大静摩擦力F f ＝mg sin θ，由几何关系得cos θ＝0.8，联立解得F f ＝0.6mg ，A 正确。

6、如图所示，墙上有两个钉子a 和b ，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l 。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a 点，另一端跨过光滑钉子b 悬挂一质量为m 1的重物。在绳上距a 端l /2的c 点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m 2的钩码，平衡后绳的ac 段正好水平，则重物和钩码的质量之比m 1m 2

为

（ ） A ． 5 B ．2 C ．

52

D ． 2

【难度】★★ 【答案】C

【解析】对于结点c ，受三个拉力的作用，如图所示，其中F 1＝m 2g ，F 2＝m 1g ，平衡时，F 2、F 3的合力F 大小等于F 1，即F ＝m 2g 。由图可知，F

F 2＝cos α，而cos α＝

l l 2＋（l 2

）2

＝

25，所以m 2g m 1g ＝25

，

即m 1m 2＝5

2，故C 正确。

7、如图所示，用长度相等的轻绳依次连接5000个质量均为m 的小球，轻绳的左端固定在天花板上，右端施加一水平力使全部小球静止。若连接天花板的轻绳与水平方向的夹角为45°。则第2014个小球与第2015个小球之间的轻绳与水平方向的夹角α的正切值等于

（ ）

A ．2986

5000

B ．20145000

C ．20155000

D ．20142986

【难度】★★★ 【答案】A

α 2014

2015

8、如图所示，光滑的夹角为θ=30°，三角杆整体水平放置，两轻质小球用一根轻绳连接，现在用力将B 球缓慢拉动，直到轻绳被拉直，测出拉力F =10N 。则此时关于两个小球受到的力的说法正确的是 （

）（多选）

A ．小球A 受到杆对A 的弹力、绳子对A 的张力

B ．小球A 受到杆的弹力大小为20N

C ．此时绳子与穿有A 球的杆垂直，绳子的张力大小为203

3N

D ．小球B 受到杆的弹力大小为203

3N

【难度】★★★ 【答案】AB

9、如图所示，有一倾角θ=30°的斜面体B ，质量为M 。质量为m 的物体A 静止在B 上。现用水平力F 推物体A ，在F 由零逐渐增加至3

2

mg 再逐渐减为零的过程中，A 和B 始终保持静止。对此过程下列说法正确的是 （

）

A ．地面对

B 的支持力大于（M +m ）g B ．A 对B 的压力的最小值为

32mg ，最大值为33

4

mg C ．A 所受摩擦力的最小值为0，最大值为1

4mg

D ．A 所受摩擦力的最小值为12mg ，最大值为3

4mg

【难度】★★★ 【答案】B