高中数学数列分类典型试题及答案

精选高中数学数列分类典型试题及答案

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质

例题1. 已知数列}{n a 满足

1

111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；

（2）证明：

312n n a -=

. 解：（1）2

1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q .

（2）证明：由已知1

13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ

1

2

1313

3

312n n n a ---+=++++=

L ， 所以证得

31

2n n a -=.

例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥

（Ⅰ）求{

}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，

又112233

,,a b a b a b +++成等比数列，求

n T .

解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，

又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列

∴1

3n n a -=

（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =

故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，

由题意可得2

(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==

∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =

∴2(1)

3222n n n T n n n -=+

?=+

例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++

128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}

n n b b -+1是等差数列.

⑴求数列{

}n a 与{}n b 的通项公式；

⑵是否存在N k *

∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.

点拨：（1）21

12322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列

{}

1

2n n a -前n 项和的形式，

可以联想到已知

n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.

（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.

解：（1）已知2

12322a a a +++…

12n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2)

128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②

①－②得，1

28n n a -=，求得42n n a -=，

在①中令1n =，可得得41

182a -==，

所以42

n

n a -=(n ∈N*）. 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-，

∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n n

b b +-=2)1(4?-+-n 26n =-，

121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-L

(4)(2)(28)n =-+-++-L 2714n n =-+(n ∈*N ）.

（2）k k b a -=2714k k -+-42k

-，

当4k ≥时，

277

()()24f k k =-+-42k

-单调递增，且(4)1f =， 所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k

-≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，

所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.

例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n 解： 依题意得：

2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②

∵ a n 、b n 为正数， 由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ， 代入①并同除以1

+n b 得：

212+++=n n n b b b ， ∴

}{n b 为等差数列

∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，

29,22122=

=b b b a 则 ，

∴ 2)1(),1(22)229)(1(22

+=

∴+=--+=n b n n b n n ，

∴当n ≥2时，

2)

1(1+=

=-n n b b a n n n ， 又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=

n n a n

2. 研究前n 项和的性质

例题5. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为

2n

n S a b =?+，且13a =.

（1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；

（2）设

n n n b a =

，求数列}{n b 的前n 项和n T . 解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ?=-=--1

12.而}{n a 为等比数列，得a a a =?=-1112， 又31=a ，得3=a ，从而1

23-?=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-Q .

（2）

1

32n n n n n b a -=

=?， 21123(1)3222n n n T -=++++L

231111231(2322222n n n n n T --=+++++L ） ，得2111111(1)232222n n n n

T -=++++-L ， 1

1

1(1)2412[

](1)13232212n n n n n n n T +?-=-=---.

例题6. 数列{}n a 是首项为1000，公比为1

10的等比数列，数列{b }n 满足

121

(lg lg lg )k k b a a a k =+++L

*

()N k ∈， （1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '

.

解：（1）由题意：410n

n a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1

-的等差数列，

∴

12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-

L ，∴1(1)7[3]22n n n n

b n n --=-=

由1

00n n b b +≥??≤?，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为6

7212S S ==.

（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，

∴当7n ≤时，212731132(

)244n n n S b b b n n n -+

'=+++==-+L

当7n >时，

12789n n S b b b b b b '=+++----L L 2

712113

2()2144n S b b b n n =-+++=-+L

∴22113

(7)4

411321(7)44n n n n S n n n ?-+≤??'=??-+>??.

例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若

12

log n n n

b a a =，12n n S b b b =+++L 求使

1230n n S n ++?>成立的n 的最小值.

解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由

a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =12

（舍）

∴a n =2·2

（n －1）

=2n

（2） ∵12log 2n

n n n b a a n ==-?，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ） ∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2， 若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.

例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，*

1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.

（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足

1

(3)[()2]n n b n f a =

++，记数列{}n b 的前n 项和为T n

，试比较

52512312n n T +-

与

的大小. 解：（I ）11,,n n S a +-Q 成等差数列，121n n S a +∴=-① 当2n ≥时，121n n S a -=-②. ①－②得：112()n n n n S S a a -+-=-，13+=∴n n a a ，1

3.n n

a a +∴

=

当n =1时，由①得112221S a a ∴==-， 又11,

a =2

21

3,3,a a a ∴=∴

=

{}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列，13.n n a -∴=

（II ）∵()x log x f 3=，

1

33()log log 31n n n f a a n -∴===-， 11111

()

(3)[()2](1)(3)213n n b n f a n n n n ===-++++++，

1111111111111()

224354657213n T n n n n ∴=-+-+-+-++-+-+++L

11111()22323n n =+--++525,122(2)(3)n n n +=-

++

比较

52512312n n T +-

与的大小，只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. 222(2)(3)3122(56156)2(5150)n n n n n n ++-=++-=+-又2(15)(10)n n =+-

∵*,N n ∈∴当*19N n n ≤≤∈且时，525

2(2)(3)312,;12312n

n n n T +++<<-即

当10n =时，525

2(2)(3)312,;

12312n n n n T +++==-即

当*

10N n n >∈且时，

525

2(2)(3)312,12312n n n n T +++>>-即.

3. 研究生成数列的性质

例题9. （I ） 已知数列{}n c ，其中n

n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；

（II ） 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是

等比数列.

解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有 （c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1）， 将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋

1－p （2n ＋3n ）]2

=[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －

1）]， 即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2

=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －

1]，

整理得61

（2－p ）（3－p ）·2n ·3n =0，

解得p =2或p =3. （Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n . 为证{c n }不是等比数列只需证2

2c ≠c 1·c 3.

事实上，2

2c =（a 1p ＋b 1q ）2=2

1a p 2＋2

1b q 2＋2a 1b 1pq ， c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1 p 2＋b 1q 2）=

21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）.

由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，

因此≠2

2c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列.

例题10. n 2（ n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成

等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，

163,814342=

=a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn

解： 设数列{1k a }的公差为d ， 数列{ik a }（i=1，2，3，…，n ）的公比为q

则1k a = a 11 + （k －1）d ， a kk = [a 11 + （k －1）d]q k －

1

依题意得：???

?

??

???

=+==+==+=163)2(81)(1)3(3

11433

11

421124q d a a q d a a q d a a ，解得：a 11 = d = q = ±21 又n 2个数都是正数，

∴a 11 = d = q = 21 ， ∴a kk = k

k

2

n n S 212132122132?++?+?+=

Λ，

1432212132122121+?++?+?+=n n S Λ，

两式相减得：n n n S 22121

-

-

=-

例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记

()*3,.f n n a n N =∈

（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）设n n n n

n b b b T a b +++==

Λ21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；

（3）求使不等式1

2)1

1()11)(11(21+≥+++n p a a a n

Λ对一切*N n ∈均成立的最大实数p .

解：（1）由题意得???=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得???-==12b a ，

)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==- （2）由（1）得

n n n b 212-=， n

n n n n T 2122322523211321-+-++++=∴-Λ ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T Λ ② ①－②得

)21212121(2121n 22222222221T 211n 2n 2111n n 1n 321n --+-+++++=--+++++=ΛΛ1n 1n 1n 21n 2212321n 2+-+---=--.

n n 2n n 23n 2321n 2213T +-

=---=∴-， 设*

,232)(N n n n f n ∈+=，则由 1512132121)32(252232252)

()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*

,232)(N

n n n f n ∈+=随n 的增大而减小

+∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m

（3）由题意得*

21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对Λ恒成立

记

)

1

1()11)(11(1

21)(21n a a a n n F ++++=

Λ，则

()()

1

1n 21n 2)

1n ()1n (4)1n (2)

3n 2)(1n 2(2n 2)

a 1

1()a 11)(a 11(1

n 21)a 11)(a 11()a 11)(a 11(3n 21

)n (F )

1n (F 2n 211n n 21=++>

+-++=

+++=

+++++++++=++ΛΛ

)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴>Θ是随n 的增大而增大

)(n F 的最小值为

332)1(=

F ，332≤∴p ，即332max =p .

（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.

例题12. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122，*

N n ∈. ⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；

⑶设n b =1

(12)n n a -**

12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈L ，是否存在最大的整数m ，使得

对任意*

N n ∈，均有>n T 32m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ， 由题意得2832d d =+?=-，82(1)102n a n n ∴=--=-. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤Λ时

21281029,2n n

a a a n n n +-=+++=

?=-L

6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++=ΛΛ76521

2555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+

故

?????+--=40n 9n n n 9S 22

n 56n n ≤≥ （3）

11111

()

(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++Q ， ∴n T 1111111111[(1)()()()()]22233411n n n n =-+-+-++-+--+L .2(1)n n =+ 若

32n m T >对任意*N n ∈成立，即116n m n >+对任意*

N n ∈成立， *()

1N n

n n ∈+Q

的最小值是21，1,162m ∴

即存在最大整数,7=m 使对任意*

N n ∈，均有

.32n m T >

例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n a

n b n =∈N *.

（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若8131220,a a m b b b +=L 求.

解：（1）设{}n b 的公比为q ，∵3n a

n b =，∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n 1-+=?=?-。 所以{}n a 是以3log q 为公差的等差数列.

（2）∵813,a a m +=所以由等差数列性质可得120813,a a a a m +=+=

123a a a +++…

12020()20

102

a a a m +?+=

=?

1220()10122033a a a m b b b +++==L L

2. 由简单递推关系证明等差等比数列

例题14. 已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >

，n b =*n ∈N ）， 且{}n b 是以q 为公比的等比数列.

（I ）证明：2

2n n a a q +=；

（II ）若2122n n n c a a -=+，证明：数列{}n c 是等比数列； （III ）求和：1234

212111111n n a a a a a a -++++++

L . 解法1：（I ）证：由1

n n b q

b +=

q ==，∴()*N n q a a 2

n 2n ∈=+.

（II ）证：∵2

2n n q a a -=，

22221231n n n a a q a q ---∴===L ，2n 2222n 2n 2q a ...q a a --===， 22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=.

{}n c ∴是首项为5，公比为2q 的等比数列.

（III ）解：由（II ）得2221

1

1

1n n q a a --=

，222211n n q a a -=，于是

1221321242111111111

()()n n n a a a a a a a a a -+++=+++++++L L L

242224221211111111

(1)(1)n n a q q q a q q q --=

+++++++++L L

21223111(1)2n q q q -=++++L .

当1q =时，242212

21113111

(1)2n n a a a q q q -+++=++++L L 32n

=. 当1q ≠时，24221221113111

(1)

2n n a a a q q q -+++=++++L L