湖北省华师一附中2016年自主招生考试数学模拟试卷2(含详细答案)
湖北省华师一附中2016年自主招生考试数学模拟试卷2
2016.2
（本卷满分：150分 考试时间：90分钟）
一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分）
1. 若两个整数x 、y 满足方程(2x +9y )2 006+(4x -y )2 006=7 777777，①就称数组(x ,y )
为方程①的一组整数解．则方程①的整数解的组数为··············( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
2. 已知点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上移动，4AB =，则以AB 为
直径的圆周所扫过的区域面积为·······························( ) A ．π4 B ．π8 C ．42+π D ．46+π
3. 若x ∈R +
，则9
3411x x ?
?+- ??
?展开式中常数项为······················( )
A ．-1259
B ．-1260
C ．-1511
D ．-1512 4. 已知等腰直角ΔPQR 的三个顶点分别在等腰直角ΔABC 的三条边上，记ΔPQR ，
ΔABC 的面积分别为S ΔPQR ，S ΔABC ，则PQR ABC
S
S ??的最小值为··············( )
A ．2
1 B ．31 C ．41 D ．51
5. 若过点P (1,0)，Q (2,0)，R (4,0)，S (8,0)作四条直线构成一个正方形，则
该正方形的面积不可能为·····································( )
A ．1716
B ．5
36
C ．526
D ．
53196 二、填空题（本大题分10小题，每题6分，共60分） 6. 已知a ，b 是不为零的实数，对于任意实数x ，y ，都有
()()2222y x b a +++8bx +8ay -k 2+k +28≥0，其中k 是实数，则k 的最大值为 ． 7. 一次考试共有m 道试题，n 个学生参加，其中m ，2≥n 为给定的整数．每
道题的得分规则是：若该题恰有x 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x 分，未答对的学生得零分．每个学生的总分为其m 道题的得分总和．将所有学生总分从高到低排列为≥≥21p p …n p ≥，则n p p +1的最大可能值
为 ．[用含m ，n 的代数式表示]
8. 某情报站有A ，B ，C ，D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，
且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用A 种密码，那么第7周也使用A 种密码的概率是 ．
9. 设a 、b 是正整数，且满足???
?
??+b a 15152是正整数．则这样的有序数对(a ,b )共有 对．
10. 已知：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a ，b ，c ，d ，都存在a ，b ，c ，d
的一个排列p ，q ，r ，s ，使得方程22()()0x px q x rx s ++++=有4个互不相同的实数根．则满足下述条件的最小正实数k 为 ．
11. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，BC 3P 是BC 延长线上向远离点
C 方向运动的一个动点，AP 交C
D 于点
E ，连结BE 并延长交DP 于点Q ，如果动点P 在初始位置时∠QBP =15°，在终止位置时∠QBP =35°，点Q 运动时走过的曲线段长度为 ．
12. 如图，在ABC ?中，D 为边AC 上一点，且∠ABD =∠C ，点E 在边AB 上，且
BE=DE ，M 为边CD 的中点，AH ⊥DE 于点H ，已知AH =3-2，AB =1，则∠AME 的度数为 ．
13. 给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘(由n 行n 列方
格构成)的方格中，使每个方格恰有一个数．如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”．则棋盘中“优格”个数的最大值为 ． 14. 已知ΔABC 的三边长BC a CA b AB c ===，，，a b c ，，都是整数，且a ，b 的
最大公约数为2．点G 和点I 分别为ΔABC 的重心和内心，且90GIC ∠=?．则ΔABC 的周长为 ．
15. 如果一个正整数在将它的七进制看做十进制时，所得的数为原数的2倍，则
称该正整数为“好数”．则“好数”的个数为 ．
三、解答题（本大题分4小题，第16题12分，第17题18分，第18、19题每
题20分，共70分）
16. (1)求证：
1))(()
)(())(())(())(())((=--+++--+++--++a b c b a x c x c a b a c x b x b c a c b x a x ． (2)求方程组??
???=++??? ??
+=???
? ??+=??? ??+1,11311215zx yz xy z z y y x x 的所有实数解．
第12题 B A
D C
P Q E
第11题
17.在世界杯足球赛前，F国的教练员为了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7这七
名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A1、A2、A3、A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A5、A6、A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？
18.如图，AB是圆ω的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足
AE=EF=FB．连接PE、PF并延长，与圆ω分别相交于点C、D．
求证：EF·CD=AC·BD．
第19题
19.圆O(圆心为O)与直线l相离，作OP⊥l，P为垂足．设点Q是l上任意一点(不
与点P重合)，过点Q作圆O的两条切线QA和QB，A和B为切点，AB与OP相交于点K．过点P作PM⊥QB，PN⊥QA，M和N为垂足．求证：直线MN平分线段KP．
2016年自主招生 数学模拟试卷
参 考 答 案
一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分）
[ 1~5 ] A C A D C
二、简答题(本大题分10小题，每空6分，共60分)
6、 4
7、 m (n -1)
8、 243
61 9、 7 10、 4 11、
3
4π
12、 15° 13、 ()2004-n n 14、 35 15、 11
三、解答题（本大题分4小题，第16题12分，第17题18分，第18、19题每
题20分，共70分）
16、(12分)(可能有多种解法) (1)[解]构造函数()1)
)(()
)(())(())(())(())((---+++--+++--++=
a b c b a x c x c a b a c x b x b c a c b x a x x f ，(1分)
则()01)
)(()
)((=---+-+-=
-c a b a c a b a a f ，(1分)
根据对称性得()()()0=-=-=-c f b f a f ．(1分)
又a ≠b ≠c ，则二次函数的图像与x 轴有三个不同的交点，则说明函数f (x )恒等于0，故所证等式成立．(2分) (共5分)
(2)[解]显然x ，y ，z 同号．由②得x =
1yz
y z
-+(1分)，代入①得： ()()()()()()()()yz z y z y yz z y z y yz yz z y z y yz y y -+++=-+++-=????
?
?-+++-=???? ??+111511.5115112222
22， 即5(z 2+1)y =12(y +z )(1-y z)，同理5(y 2+1)z =13(y +z )(1-yz )．(2分)
整理得12y 2z +17yz 2=7y +12z ，18y 2z +13yz 2=13y +8z ，
两式相加，得30yz (y +z )=20(y +z )，∴ yz =z
y 32
,32=,代入①解得z =±1．(2分)
故原方程组有两组解.1,32,511,32,51??
?
??---??? ??和(2分) (共7分)
17、(18分)(可能有多种解法)
[解]设各人上场时间分别为7t1,7t2,7t3,7t4,13t5,13t6,13t7，(t i为正整数)．得方程7(t1+t2+t3+t4)+13(t5+t6+t7)=90×3．(2分)
令t1+t2+t3+t4=x，t5+t6+t7=y，得方程7x+13y=270．
即求此方程满足4≤x≤38，3≤y≤20的整数解．(2分)
即6y≡4(mod 7)，3y≡2(mod 7)，y≡3(mod 7)(2分)
∴y=3，10，17，相应的x=33，20，7．(2分)
t5+t6+t7=3的解只有1种，t5+t6+t7=10的解有C 2
9种，
t5+t6+t7=17的解有C 2
16种；t1+t2+t3+t4=33的解有C 3
32种，
t1+t2+t3+t4=20的解有C 3
19种，t1+t2+t3+t4=7的解有C 3
6种．(6分)
∴共有1·C 3
32+ C
2
9·C
3
19+ C
2
16·C
3
6=42244种．(4分)
18、(20分)(解法可能有多种，给分分5档：0分、5分、10分、15分、20分，
注：学生可能用“易证”、“可证”等词骗取分数，此题需慢改)
(5分)
(15分)
(20分)
19、(20分)(解法可能有多种，给分分5档：0分、5分、10分、15分、20分，
注：学生可能用“易证”、“可证”等词骗取分数，此题需慢改) [证明]
(3分)
(10分)
(12分)
(15分)
(20分)