概率论与数理统计参考答案(2012A)

概率论与数理统计A(2012)参考答案

一.、单项选择题。错选、多选或未选均不得分。（每小题3分，共21分）

1、D

2、B

3、C

4、B

5、A

6、B

7、B

二.、填空题（每小题3分，共21分）

1. 0.5

2. 0.6

3. 1

4. 0.5

5. 45

6.___ 1

7.__(51.04 , 54.96)

三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

1. 现在两箱同类型的产品，第一箱装50件，其中有10件一等品；第二箱装30件，其中有18件一等品。现在两箱中任取一箱，然后从该箱中任取一件。试求下列事件的概率：

（1）取到的产品是一等品；

（2）若已知取到的产品是一等品，则该产品来自第一个箱子的概率是多少？

解： 设(1,2)i A i =表示产品来自第i 个箱子。B ：一等品 由已知，121()()2P A P A ==， 1213(|),(|)55

P B A P B A == （2分） （1）1122()()(|)()(|)0.4P B P A P B A P A P B A =+= （3分）

（2）111()(|)1(|)()4

P A P B A P A B P B == （3分） 2.设随机变量X 的概率密度函数为 01()0 b ax x f x ?<<=??其他

，其中0,0a b >>，且

10.752P X ??>=???

?。试求：（1）常数a 和b ； （2）分布函数()F x ； （3）数学期望2()E X 。 解： （1）10()11

b a f x dx ax dx b +∞

-∞===+??， 110.50.51()(10.5)0.7521b b a P X f x dx ax dx b +∞+??>===-=??+?

??? 所以，2,1a b == （3分）

（2）20 0()() 011 1x

x F x f t dt x x x -∞≤??==<

? （3分） （3）221()()2

E X x f x dx +∞

-∞==?。 （2分） 四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

1. 设总体X 服从正态分布2(12,2)N ，从中抽出容量为16的简单随机样本，求样本均值

与总体均值之差大于0.75的概率。 ((1)0.8413,(1.5)0.9332,(2

Φ=Φ=Φ=

解：X 服从正态分布2(12,2)N ，

2(12)X =-服从正态分布(0,1)N （3分） 所以，{}{}

120.752(12) 1.51(1.5)P X P X ->=->=-Φ （4分）

0.0668= （1分） 2. 设随机变量(,)X Y 的概率密度函数为 01,02(,)0 xy x y f x y ≤≤≤≤?=??

其他。 （1）判断随机变量,X Y 是否相互独立； （2）求()E X Y +。

解： （1） 2 01()(,)0X x x f x f x y dy +∞

-∞≤≤?==??

?其他

1 02()(,)20Y y y f y f x y dx +∞

-∞?≤≤?==????其他 （4分） 因为()()(,)X Y f x f y f x y ?=。所以随机变量,X Y 相互独立； （1分）

（2）()()()E X Y E X E Y +=+1

20012422233

x xdx y ydy =?+?=+=??。（3分） 3. 设总体X 的概率密度为212 01(;)0 x x f x θθθ-?≤≤=??其他

，其中未知参数0θ>，

12,,,n X X X 为来自总体X 的一个样本。求θ的极大似然估计θ。

解： 似然函数：2121111()(,)2(2)n n n n i i i i i i L f x x x θθθθθθ--===??===? ???∏∏∏ （3分）

取对数得：1ln ()ln(2)(21)ln n i i L n x θθθ=??=+- ???

∑ 两边求导，得 ()1l n ()2l n n

i i d n L x d θθθ=??=+ ???

∑， 令()1ln ()2ln 0n i i d n L x d θθθ=??=+= ???

∑ （3分） 解得： θ的极大似然估计12ln n i

i n

x θ==-∑。 （2分）

五、应用题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

1. 某测距机在500m 范围内，测距精度为10m σ=，今对距离为500m 的目标测量9次，得到平均距离为506X m =，问该测距机是否存在系统误差？给定的显著水平0.05α=。如果0.1α=，结论又如何？0.0250.05( 1.96, 1.645)z z ==

解： 假设检验：0010:500, :H H μμμμ==≠ （2分）

由于方差2σ已知，用z 检验，检验统计量

(0,1

)U N = 拒绝域为 /2||t z α≥ （2分） 由已知 2506,100,9,x n σ===0.05α=，

计算统计值 1.8u =， /20.0251.96z z α==

统计判断：/2|| 1.8u z α=<，不在拒绝域内，故接受0H （3分）

如果0.1α=，则/20.05 1.645z z α==，/2|| 1.8u z α=>，

在拒绝域内，故拒绝0H 。 （2分）

2. 按季节出售的某种应时商品，每售出1kg 获利6元，如果到季末尚有剩余商品，则每1kg 净亏损2元，设某商店在季节内这种商品的销售量X （以kg 计）是一个随机变量，X 在区间(8,16)内服从均匀分布，为使商店所获平均利利润最大，问商店应该进多少货？ 解 设t 表示进货量，易知816t <<，设当进货为t 时，所得利润为()t W X ，则 62() 8,(()6 16()

t X t X X t W X t t X --<

X 的概率密度为1/8 816()0 x f x <

其他，利润为()t W X 是一个随机变量，平均利润为 ()162811()()()()143282

t t t E W X W t f x dx W x dx t t +∞-∞===--?? （3分） 令()140t d W X t dt =-=，得 14t =。2

2()10t d W X dt

=-<， 所以，当14t =时，可使平均利润最大。 （3分）