北师大版八年级数学上册教案《一次函数的图像》

《一次函数的图像》第1课时

这节内容是学生利用数形结合的思想去研究正比例函数的图象，对函数与图象的对应关系有点陌生。在教学过程中教师应通过情境创设激发学生的学习兴趣，对函数与图象的对应

关系应让学生动手去实践，去发现，对正比例函数的图象是一条直线应让学生自己得出。在得出结论之后，让学生能运用“两点确定一条直线”，很快作出正比例函数的图象。在巩固

练习活动中，鼓励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力。

当然，根据学生状况，教学设计也应做出相应的调整。如第一环节：创设情境 引入课题，固然可以激发学生兴趣，但也可能容易让学生关注代数表达式的寻求，甚至队部分学生形成一定的认知障碍，因此该环节也可以直接开门见山，直入主题，如提出问题：正比例函数的代数形式是y=kx ，那么，一个正比例函数对应的图形具有什么特征呢？今天我们就研究正比例函数对应的图形特征——-正比例函数图象。 【知识与能力目标】

1、了解函数图像的定义。

2、 能画出正比例函数图像，掌握正比例函数及其图像的性质。

【过程与方法目标】

在观察、比较、归纳的数学活动中，体会数形结合、特殊到一般的数学思想。 【情感态度价值观目标】

积极参加数学活动，敢于发表自己的想法，养成独立思考、合作交流的学习习惯。

【教学重点】

正比例函数的图像和性质。

【教学难点】

利用图像探索正比例函数的性质。

学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺； 教师准备课件，图片。 本节课设计了7个教学环节：

第一环节： 创设情境；第二环节：画一次函数的图象；第三环节：动手操作；第四环节：巩固练习；第五环节：课时小结；第六环节：拓展探究；第七环节：作业布置。 第一环节：创设情境 引入课题 内容：

一天，小明以80米/分的速度去上学，请问小明离家的距离S （米）与小明出发的时间t （分）之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？ S=80t （t ≥0）

下面的图象能表示上面问题中的S 与t 的关系吗？

我们说，上面的图象是函数S=80t （t ≥0）的图象,这

就是我们今天要学习的主要内容：一次函数的图象的特殊情况正比例函数的图象。

目的：通过学生比较熟悉的生活情景，让学生在写函数关系式和认识图象的过程中，初步感受函数与图象的联系，激发其学习的欲望。

效果：学生通过对上述情景的分析，初步感受到函数与图象的联系，激发了学生的学习欲望。

第二环节：画正比例函数的图象

内容：首先我们来学习什么是函数的图象？

把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph）。

例1 请作出正比例函数y=2x的图象。

解：列表:

描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内

描出相应的点。

连线：把这些点依次连结起来，得到y=2x的图象。

由例1我们发现：作一个函数的图象需要三个步骤：

列表，描点，连线。

目的：通过本环节的学习，让学生明确作一个函数图象的一般步骤，能做出一个函数的图象，同时感悟正比例函数图象是一条直线。

效果：学生通过学习，掌握了作一个函数图象的一般方法，能作出一个函数的图象，同时感悟到正比例函数图象是一条直线。

第三环节：动手操作，深化探索

内容：做一做

1. 作出正比例函数y=-3x的图象。

2. 在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y=-3x。

请同学们以小组为单位，讨论下面的问题，把得出的结论写出来。

（1）满足关系式y=-3x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=-3x的图象上吗？

（2）正比例函数y=-3x的图象上的点（x，y）都满足关系式y=-3x吗？

（3）正比例函数y=kx的图象有什么特点？

由上面的讨论我们知道：正比例函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足正比例

函数的代数表达式的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数的图象上；正比例函数的图象上的点（x，y）都满足正比例函数的代数表达式。正比例函数y=kx的图象是一条直线，以后可以称正比例函数y=kx的图象为直线y=kx。

议一议

既然我们得出正比例函数y=kx的图象是一条直线。那么在画正比例函数图象时有没有什么简单的方法呢？

因为“两点确定一条直线”，所以画正比例函数y=kx的图象时可以只描出两个点就可以了。因为正比例函数的图象是一条过原点(0,0)的直线,所以只需再确定一个点就可以了,通常过(0,0),(1,k)作直线。

例2 在同一直角坐标系内作出y=x,y=3x,y=-1

2

x,y=-4x的图象。

解：列表

过点（0，0）和（1，1）作直线，则这条直线就是y=x的图象。过点（0，0）和（1，3）作直线，则这条直线就是y=3x的图象。

过点（0，0）和（1，-1

2

）作直线，则这条直线就是y=-

1

2

x的图象。

过点（0，0）和（1，-4）作直线，则这条直线就是y=-4x的图象。

目的：做一做“作出这几个正比例函数的图

象”，意在让学生进一步熟悉如何作一个正比例

函数的图象，同时要求学生通过这几个函数的图

象，分析正比例函数图象的性质,以及k的绝对

值大小与直线倾斜程度的关系。

效果：学生通过作出正比例函数的图象，明

确了作函数图象的一般方法。在探究函数与图象

的对应关系中加深了理解，并能很快地作出正比

例函数的图象。

议一议

上述四个函数中,随着x 的增大,y 的值分别如何变化? 在正比例函数y=kx 中，

当k ＞0时,图象在第一、三象限，y 的值随着x 值的增大而增大(即从左向右观察图象时,直线是向上倾斜的);当k ＜0时, 图象在第二、四象限， y 的值随着x 值的增大而减小 (即从左向右观察图象时,直线是向下倾斜的)。

请你进一步思考:

（1）正比例函数y=x 和y=3x 中，随着x 值的增大y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？

（2）正比例函数y=-

1

2

x 和y=-4x 中，随着x 值的增大y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？

我们发现：k 越大，直线越靠近y 轴。 第四环节：巩固练习，深化理解

内容：

练习1：在同一直角坐标系中分别作出y=

21x 与y=-1

3

x 的图象。 练习2：当0>x 时，y 与x 的函数解析式为x y 2=，当0≤x 时，y 与x 的函数解析式为x y 2-=，则在同一直角坐标系中的图象大致为( )

(A)

(B) (C ) ( D) 练习3：对于函数x y 3-=的两个确定的值1x 、2x 来说，当21x x <时，

对应的函数值1y 与2y 的关系是( )

x

x

x

x

A. 21y y <

B. 21y y =

C. 21y y >

D. 无法确定

目的：这里的三个练习题，一是让学生熟练正比例函数图象的作法，二是明确正比例函数图象的性质，要注意自变量的取值范围。

效果：学生通过练习，进一步熟练了正比例函数图象的作法，对正比例函数和正比例函数图象的一般特征有了清楚的认识。 第五环节：课时小结

内容：本节课我们通过对正比例函数图象的研究，掌握了以下内容： （1）函数与图象之间是一一对应的关系； （2）正比例函数的图象是一条经过原点的直线。

（3）作正比例函数图象时，只取原点外的另一个点，就能很快作出。

目的：让学生在回忆的过程中，进一步加深对正比例函数图象的理解，同时对本节所学知识有一个总结性的认识。

效果：学生通过对本节学习的回顾和小结，对所学知识更清楚，抓住了重点，明确了关键。

第六环节：拓展探究

内容：

如图所示，你认为下列结论中正确的是（ ） A. 123k k k << B. 213k k k << C. 312k k k << D. 132k k k <<

目的：对学有余力的学生，能进一步提高，让他们

的学习活动深入下去，同时为以后学习正比例函数图象的应用奠定基础。

效果：学生通过对上面问题的探究，对正比例函数图象的认识更深入。

第七环节：作业布置

习题4.3 1、2、3、4题，5题选做。

这节内容是学生利用数形结合的思想去研究正比例函数的图象，对函数与图象的对应关系有点陌生。在教学过程中教师应通过情境创设激发学生的学习兴趣，对函数与图象的对应关系应让学生动手去实践，去发现，对正比例函数的图象是一条直线应让学生自己得出。在得出结论之后，让学生能运用“两点确定一条直线”，很快作出正比例函数的图象。在巩固练习活动中，鼓励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力。

当然，根据学生状况，教学设计也应做出相应的调整。如第一环节：创设情境引入课题，固然可以激发学生兴趣，但也可能容易让学生关注代数表达式的寻求，甚至队部分学生形成一定的认知障碍，因此该环节也可以直接开门见山，直入主题，如提出问题：正比例函数的代数形式是y=kx，那么，一个正比例函数对应的图形具有什么特征呢？今天我们就研究正比例函数对应的图形特征——-正比例函数图象。

《一次函数的图像》第2课时

◆教材分析

函数是初中数学中非常重要的内容，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型。本节课是在学生明确一次函数图象是一条直线的基础上进行的，主要是通过对一次函数图象的比较与归类，探索一次函数及其图象的简单性质。

与其它版本教材相比，北师大版更注重借助感性材料，让学生在具体操作中获得有关一次函数图象的变化规律，从而使学生对一次函数有了从“数”到“形”、从“形”到“数”

两方面的理解，从而展开了一个“数形结合”的新天地。

作为一种数学模型，一次函数在日常生活中也有着极其广泛的应用。并为今后继续学习一次函数图象的应用以一次函数与二元一次方程的关系打下基础。 起着承上启下的作用。

【知识与能力目标】

在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质。 【过程与方法目标】

经历对一次函数图象变化规律的探究过程，在知识的探究过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想；培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。 【情感态度价值观目标】

在一次函数图象及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神；在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神，获得成功的体验。

【教学重点】

一次函数与正比例函数的概念以及图像的理解。

【教学难点】

k 、b 的取值与一次函数图象位置的关系。

学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺； 教师准备课件，图片。

本节课设计了六个教学环节：

第一环节： 图片展示；第二环节：复习引入；第三环节：活动探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置。 第一环节：创设情境

内容：展示一些与实际生活息息相关的图片。说明在我们生活中，有许许多多这样的图

◆ 教学目标

◆ 教学重难点 ◆

◆ 课前准备 ◆

◆ 教学过程

案，这些图象当中蕴含着某些规律，人们利用这些规律，能更合理地作出决策或预测。

目的：通过富有现实意义的图片展示，引入生活中熟悉的图片，使学生感受到图象里蕴含的某些规律可以使人们作出合理、科学的决策，激发学生的求知欲望，感受图象的实用价值。

说明：通过欣赏这些生活中的图象，学生感受到图象中所蕴含的规律，激发了学生的好奇心和求知欲。 第二环节：复习引入

内容：在前面，我们已经学会了绘制正比例函数图象，明确了正比例函数图像的有关性质，那么一次函数图象中又蕴含着什么规律，这节课我们就来研究一次函数图象的性质。首先，我们来复习一下上节课所学习的知识。

复习提问：（1）作函数图象有几个主要步骤？

（2）上节课中我们探究得到正比例函数图象有什么特征？

目的：学生回顾上节课学习的内容，为进一步研究一次函数的图象和性质做好铺垫。在上节课的探究中我们得到正比例函数图象是过原点的一条直线。本节课主要内容是对一次函数y kx b =+中常数k 、b 对图象的影响进行探究。

本节课也可从第二环节复习引入开始，直接进入本课题的学习。

说明：学生通过知识回顾，再次明确正比例函数图象的一些特征，为学习本节课在知识上作好准备。 第三环节： 活动探究

1. 合作探究，发现规律

内容：观察在同一直角坐标系内的下列一次函数的图象。

2,5,621-==+=x y x y x y ）（；

.32

1

,2,6)2(--=-=+-=x y x y x y

得出结论：一次函数图像是一条直线。因此作一次函数图像时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了。一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+。

议一议：

（1）观察图象，它们分别分布在哪些象限。

（2）观察每组三个函数的图象，随着x值的变化，y的值在怎样变化？

（3）从以上观察中，你发现了什么规律？

归纳出一次函数图象的特点：

在一次函数y kx b

=+中

当0

k>时，y随x的增大而增大，当b>0时，直线必过一、二、三象限；

当b<0时，直线必过一、三、四象限；

当0

k<时，y随x的增大而减小，当b>0时，直线必过一、二、四象限；

当b<0时，直线必过二、三、四象限。

目的：归纳出一次函数图象中系数k，b对函数图象的影响。

说明：

本节课主要是结合一次函数的图象，探究一次函数的简单性质，教学内容较多，为更好地突出教学重点，提高课堂教学效率，建议在上一节课的家庭作业中，要求学生绘制上述两组函数图象在作业本上。

本节课首先请学生展示作出的函数图象,师生、生生互评，再让学生结合自己绘制的函数图象来探究一次函数的性质。通过问题串的精心设计，引导学生对k，b两个常数进行分类讨论，探索出k、b值的变化对图象的影响和变化规律。在此过程中渗透分类讨论的思想方法,培养学生数形结合的意识。

学生拿出课前已经做好的函数图象。通过师生互动、生生互动进行批改,互评。让学生再次巩固了已学知识，调动了学生学习的自主意识。在此基础上学生进行观察并分小组对一次函数y kx b

=+中k，b的几何意义作了初步的探索。本环节通过独立思考和小组讨论，培养学生的识图能力、探究能力和合作能力。初步感受到了一次函数的图象及函数的性质由常数k、b决定。

2.观察思考，深入探究

内容1：

右图是某次110米栏比赛中两名选手所跑的路程s（米）和所用时间t（秒）的函数图象。观察图象,你能看出谁跑得更快吗?

)

目的：学生通过对熟悉的实际问题的讨论，体会不同函数图象的倾斜程度不同，函数值的增减速度也不同，为下面进一步探究一次函数图象的性质作了铺垫。

说明：通过具体的实例，学生在观察讨论中发现可以从图象的倾斜程度看出谁跑得更快，那么一次函数图象的倾斜程度又由什么决定呢？再次激发学生的求知欲望，为课堂注入新的活力。

内容2：

（1）作出一次函数1

2

y x =

，2y x =和5y x =的图象，观察图象，x 从0开始逐渐增大，哪个函数的值先到达6？ 直线1

2

y x =，2y x =和5y x =哪个与x 轴正方向所成的锐

角最大？ 从中你能发现与x 轴正方向所成的锐角的大小是由什么决定的？

（2）直线2y x =--与6y x =-+的位置关系如何？ （3）直线26y x =+与2y x =--的位置关系如何？ 引导学生结合函数图象，回答以上的问题。

结合上面几个例子，你认为平面内不重合的两条直线的位置关系由什么决定？请和同桌交流，看看对你有没有启发。

从而希望学生总结出一次函数图象的特点：

当0k >时，k 的值越大，直线与x 轴的正方向所成的锐角越大。 同一平面内，不重合的两条直线1l ：111y k x b =+与2l ：222y k x b =+ 当12k k =时，12l l ； 当12k k ≠时，1l 与2l 相交。

目的：问题（1）在教材中是放在一次函数图象的第一节课，根据教学安排，我们把这个内容调整到了本节课。经过自主探究、合作交流，力图让学生对两直线的位置关系及k ，b 的几何意义作进一步的探讨，感受在具体图象中平行、相交等位置关系以及函数图象中函数值的增减速度与k 值之间的联系。

说明：学生通过讨论，得出所观察到的图象的规律，在教师的引导下，逐步加深对一次函数图象及性质的认识。

内容3：比一比，看谁画得快

一次函数y x =的图象如图所示，你能画出函数4

y x =

+

和5y x =-的图象吗？

目的：学生作图（学生可能按常规过两点作直线，也可能利用两直线的位置关系，过直线外一点作已知直线的平行线）。利用所学的知识反过来解决了作图问题，再次强调了数形结合的思想。

说明：通过探究，学生已经了解了一次函数图象的特点。根据一次函数图象的特点，学生能较容易的完成此题。

3. 归纳总结，认识规律

内容：归纳总结一次函数图象的特点： 1.在一次函数y kx b =+中

当0k >时，y 随x 的增大而增大，当b >0时，直线必过一、二、三象限； 当b <0时，直线必过一、三、四象限； 当0k <时，y 随x 的增大而减小，当b >0时，直线必过一、二、四象限； 当b <0时，直线必过二、三、四象限。 2.当0k >时，k 的值越大，直线与x 轴的正方向所成的锐角越大。 3. 同一平面内，不重合的两条直线1l ：111y k x b =+与2l ：222y k x b =+ 当12k k =时，12l l ； 当12k k ≠时，1l 与2l 相交。

目的：通过师生、生生互动，共同总结，使学生再次明确一次函数图象的特点，为下个环节的知识运用作好准备。

说明：通过教师的引导，学生之间的相互补充，完善，很容易归纳出一次函数图象的特点。

第四环节：反馈练习

内容：1.你能找出下列四个一次函数对应的图象吗？请说出你的理由： （1）21y x =-+； （2

）1y =-； （3）y x =； （4）2

3

y x =-。

2.（1）判断下列各组直线的位置关系： （A ）y x =与1y x =-；

（B ）132y x =-与12

y x =--。 （2）已知直线2

53

y x =+与一条经过原点的直线l 平行，则这条直线l 的函数关系式

为 。

3.（1）一次函数1y x =-的图象经过的象限是（ ） A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限

（2）一次函数2y mx n =+-的图象如图所示，则 n m 、的取值范围是（ ） A.0m >，2n < B.0m >，2n > C.0m <，2n < D.0m <，2n >

4.小明骑车从家到学校，假设途中他始终保持相同的速度前进，那么小明离家的距离与他骑行时间的图象是下图中的 ；小明离学校的距离与他骑行时间的图象是下图中的 。

答案：

1.四个图象对应的函数关系式分别为：（3）、（1）、（2）、（4）。

2.（1）平行，相交； （2）2

3

y x =

。 3.（1）D ；（2）D 4. B ，A 。

分）

( t 分）

( t )

(米s

)

(米

s

5

15

)

(C 分）

目的：四组练习，旨在检测学生对一次函数的图象和性质的掌握情况。可根据学生情况和上课情况适当调整。若学生在回答第1题时有困难，可先引导学生完成分层教学中基础训练1、2题，若学生完成上述练习比较顺利，可根据上课时间适当选择分层教学中提高训练或知识拓展完成。

说明：四组练习注意了问题的梯度，由浅入深，一步步加深学生对一次函数图象及性质的认识。对同学的回答,教师给予点评，对回答问题暂时有困难的同学,教师应帮助他们树立信心。

第五环节 课时小结

内容：本节课我们结合一次函数的图象对一次函数的一些简单性质进行了探讨，通过这节课，我们学习了以下内容：

1．一次函数y kx b =+中，

当0k >时，y 的值随x 的增大而增大，图象经过一、三象限； 当0k <时，y 的值随x 的增大而减小，图象经过二、四象限。

2．同一平面内，不重合的两条直线1l ：111y k x b =+与2l ：222y k x b =+ 当12k k =时，12l l ；当12k k ≠时，1l 与2l 相交。 用到了以下的数学思想和基本方法：

1．本节课中用到的数学思想：数形结合、分类讨论。

2．本节课中用到的基本方法：通过观察、操作、猜想、推理、类比、归纳等过程获取数学知识。

目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学思想、方法，教师再补充完善，使知识系统化。

说明：学生畅所欲言，相互进行补充,能用自己的话进行归纳总结。 第六环节 作业布置

习题4.4 课外探究

当x ＞0时，y 与x 的关系式5y x =；当x ≤0时，5y x =-，则它们在同一直角坐标系中大致图象是（ ）

◆教学反思

本节课是学生首次接触利用数形结合的思想研究一次函数图象和性质，对他们而言观察对象、探索思路、研究方法都是陌生的，因而在教学过程中教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生观察一次函数的图象，探讨一次函数的简单性质，逐步加深学生对一次函数及性质的认识。在师生互动、生生互动的探索实践活动中，促成学生对一次函数知识结构的构建和完善；在巩固议练活动中，提高学生解决问题的能力。另外，针对于本节内容较多的情况，建议可以将归纳一次函数图像是一条直线的教学过程放到第1课时完成。

根据新课标的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化。在教学活动中教师应关注学生的参与程度和表现出来的思维水平，应关注的是学生对图象的理解水平和解决过程中的表述水平，应关注学生对基本知识技能的掌握情况和应用一次函数解决问题的意识的提高状况。教学中可通过学生对“议一议”、“想一想”的探究情况和学生对4组反馈练习的完成情况分析学生的认识状况和应用一次函数图象、性质解决问题的意识和能力水平。对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能。