三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok
三角形高中线角平分线专项练习30题(有答案)
令狐采学
1.如图,△ABC中,∠A=30°,∠B=70°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE于F.
(1)试说明∠BCD=∠ECD;
(2)请找出图中所有与∠B相等的角(直接写出结果).
2.如图,AD为△ABC的中线,BE为三角形ABD中线,(1)∠ABE=15°,∠BAD=35°,求∠BED的度数;
(2)在△BED中作BD边上的高;
(3)若△ABC的面积为60,BD=5,则点E到BC边的距离为多少?
3.在△ABC中,AD是BC边上的中线,若△ABD和△ADC的周长之差为4(AB>AC),AB与AC的和为14,求AB和AC的长.
4.如图△ABC中,∠A=20°,CD是∠BCA的平分线,△CDA 中,DE是CA边上的高,又有∠EDA=∠CDB,求∠B的大小.5.△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC交BC于点E.
(1)∠B=30°,∠C=70°,求∠EAD的大小.
(2)若∠B<∠C,则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等?若相等,请说明理由.
6.在△ABC中,AD是高,AE是角平分线,∠B=20°,∠C=60°,求∠CAD和∠DAE的度数.
7.在△ABC中.
(1)若∠A=60°,AB、AC边上的高CE、BD交于点O.求∠BOC 的度数.(如图)
(2)若∠A为钝角,AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O,画出图形,并用量角器量一量∠BAC+∠BOC=
_________ °,再用你已学过的数学知识加以说明.
(3)由(1)(2)可以得到,无论∠A为锐角还是钝角,总有
∠BAC+∠BOC= _________ °.
8.在△ABC中,已知∠ABC=60°,∠ACB=50°,BE是AC上的高,CF是AB上的高,H是BE和CF的交点.
求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数.
9.如图,△ACB中,∠ACB=90°,∠1=∠B.
(1)试说明CD是△ABC的高;
(2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长.
10.如图,已知△ABC的高AD,角平分线AE,∠B=26°,
∠ACD=56°,求∠AED的度数.
11.如图,△ABC中,∠ABC=40°,∠C=60°,AD⊥BC于D,AE是∠BAC的平分线.
(1)求∠DAE的度数;
(2)指出AD是哪几个三角形的高.
12.如图,在△ABC中,∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE是AC 上的高,CF是AB上的高,H是BE和CF的交点,求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数.
13.如图,在△ABC中,∠B=60°,∠C=20°,AD为△ABC 的高,AE为角平分线
(1)求∠EAD的度数;
(2)寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由.
14.如图,已知:AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,∠BCE=40°,求∠ADB的度数.
15.如图,AD是△ABC的BC边上的高,AE是∠BAC的角平分线,
(1)若∠B=47°,∠C=73°,求∠DAE的度数.
(2)若∠B=α°,∠C=β°(α<β),求∠DAE的度数(用含α、β的代数式表示)
16.如图,在△ABC中,AD是角平分线,∠B=60°,∠C=45°,求∠ADB和∠ADC的度数.
17.已知△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,BE平分∠ABC,分别交CD、AC于点F、E,求证:∠CFE=∠CEF.18.如图(1),△ABC中,AD是角平分线,AE⊥BC于点E.(1).若∠C=80°,∠B=50°,求∠DAE的度数.(2).若∠C>∠B,试说明∠DAE=(∠C﹣∠B).
(3).如图(2)若将点A在AD 上移动到A′处,A′E⊥BC于点E.此时∠DAE变成∠DA′E,(2)中的结论还正确吗?为什么?
19.如图,已知△ABC的周长为21cm,AB=6cm,BC边上中线AD=5cm,△ABD周长为15cm,求AC长.
20.我们知道,任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点,如图,若△ABC 的三条内角平分线相交于点I,过I作DE⊥AI 分别交AB、AC于点D、E.
(1)请你通过画图、度量,填写右上表(图画在草稿纸上,并尽量画准确)
(2)从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系,请写出来,并说明其中的道理.
∠BAC的度数40°60°90°120°
∠BIC的度数
∠BDI的度数
21.如图,△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分线,它们相交于点O,∠CAB=50°,∠C=60°,求∠DAE和∠BOA的度数.
22.如图,在△ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高,填空:
(1)BE=_________ =_________
(2)∠BAD= _________ _________
(3)∠AFB= _________ =90°
(4)S△ABC= _________ S△ABE.
23.如图,BM是△ABC的中线,AB=5cm,BC=3cm,那么△ABM 与△BCM的周长是差是多少?
24.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.
25.如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5,你能求出AC与AB的边长的差吗?
26.如图,在△ABC中,AC=AB,AD是BC边上的中线,则AD⊥BC,请说明理由.
27.如图,∠BAD=∠CAD,则AD是△ABC的角平分线,对吗?说明理由.
28.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ADC的周长比△ABD的周长多5cm,AB与AC的和为11cm,求AC的长.29.如图所示,AD是△ABC的中线,AE是△ACD的中线,已知DE=2cm,求BD,BE,BC的长.
30.如图所示,AD是△ABC的中线,AB=6cm,AC=5cm,求△ABD 和△ADC的周长的差.
参考答案:
1.(1)∵∠B=70°,CD⊥AB于D,
∴∠BCD=90°﹣70°=20°,
在△ABC中,∵∠A=30°,∠B=70°,
∴∠ACB=180°﹣30°﹣70°=80°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠ACB=40°,
∴∠ECD=∠BCE﹣∠BCD=40°﹣20°=20°,∴∠BCD=∠ECD;
(2)∵CD⊥AB于D,DF⊥CE于F,
∴∠CED=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°,
∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°,
所以,与∠B相等的角有:∠CED和∠CDF.2.(1)∵∠BED是△ABE的一个外角,
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°.
(2)如图所示,EF即是△BED中BD边上的高.
(3)∵AD为△ABC的中线,BE为三角形ABD中线,∴S△BED=S△ABC=×60=15;
∵BD=5,
∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6,
即点E到BC边的距离为6.
3.∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长=(AB+AD+BD)﹣(AC+AD+CD)=AB﹣AC=4,(2分)
即AB﹣AC=4①,
又AB+AC=14②,
①+②得.2AB=18,
解得AB=9,
②﹣①得,2AC=10,
解得AC=5,
∴AB和AC的长分别为:AB=9,AC=5.
4.∵DE是CA边上的高,
∴∠DEA=∠DEC=90°,
∵∠A=20°,
∴∠EDA=90°﹣20°=70°,
∵∠EDA=∠CDB,
∴∠CDE=180°﹣70°×2=40°,
在Rt△CDE中,∠DCE=90°﹣40°=50°,
∵CD是∠BCA的平分线,
∴∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°,
在△ABC中,∠B=180°﹣∠BCA﹣∠A=180°﹣100°﹣2 0°=60°.
故答案为:60
5.(1)∵∠B=30°,∠C=70°
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°
∵AE是角平分线,
∴∠EAC=∠BAC=40°
∵AD是高,∠C=70°
∴∠DAC=90°﹣∠C=20°
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°;
(2)由(1)知,∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=∠BAC ﹣(90°﹣∠C)①把∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C代入①,整理得
∠EAD=∠C ﹣∠B,
∴2∠EAD=∠C﹣∠B.
6.∵AD是高,∠C=60°,
∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°;
∵∠B=20°,∠C=60°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣20°﹣60°=100°,∵AE是角平分线,
∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°,
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣30°=20°.7.(1)∵BD、CE分别是边AC,AB上的高,
∴∠ADB=∠BEC=90°,
又∵∠BAC=60°,
∴∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90°+30°=120°;
(2)如图所示:
∠BAC+∠BOC=180°;
理由如下:∵BD、CE分别是边AC,AB上的高,
∴∠ADB=∠BEC=90°,
∵∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD=180°﹣90°﹣∠B =90°﹣∠BAD,
∠O=180°﹣∠BEO﹣∠DBA=90°﹣∠DBA=90°﹣(﹣∠BAD)=∠BAD,
∵∠BAC=180°﹣∠DAB,
∴∠BAC=180°﹣∠O,
∴∠BAC+∠O=180°;
(3)由(1)(2)可得∠BAC+∠BOC=180°.
8.∵BE是AC上的高,
∴∠AEB=90°,
∵∠ABC=60°,∠ACB=50°,
∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°,
∴∠ABE=180°﹣90°﹣70°=20°,
∵CF是AB上的高,
∴∠AFC=90°,
∴∠ACF=180°﹣90°﹣70°=20°,
∵∠ABE=20°,
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣20°=40°,
∵∠ACF=20°,∠ACB=50°,
∴∠BCH=30°,
∴∠BHC=180°﹣40°﹣30°=110°.
9.(1)∵∠1+∠BCD=90°,∠1=∠B
∴∠B+∠BCD=90°
∴△BDC是直角三角形,即CD⊥AB,
∴CD是△ABC的高;
(2)∵∠ACB=∠CDB=90°
∴S△ABC=AC?BC=AB?CD,
∵AC=8,BC=6,AB=10,
∴CD===
10.∵∠B=26°,∠ACD=56°
∴∠BAC=30°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=15°
∴∠AED=∠B+∠BAE=41°
11.(1)∵AD⊥BC于D,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵∠ABC=40°,∠C=60°,
∴∠BAD=50°,∠CAD=30°,
∴∠BAC=50°+30°=80°,
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠BAE=40°,
∴∠DAE=50°﹣40°=10°.
(2)AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AE C、△ADC的高.
12.∵∠ABC=66°,∠ACB=54°,
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°.又∵BE是AC边上的高,所以∠AEB=90°,
∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°.
同理,∠ACF=30°,
∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°.
13.(1)∵在△ABC中,∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=1 80°﹣20°﹣60°=100°,
又∵AE为角平分线,
∴∠EAB=∠BAC=50°,
在直角△ABD中,∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°,∴∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=50°﹣30°=20°;(2)根据(1)可以得到:∠EAB=∠BAC=(18
﹣∠B﹣∠C)
∠BAD=90°﹣∠B,
则∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=(180°﹣∠B﹣∠C)(90°﹣∠B)=(∠B﹣∠C).
14.∵AD是△ABC的角平分线,∠BAC=60°,
∴∠DAC=∠BAD=30°,
∵CE是△ABC的高,∠BCE=40°,
∴∠B=50°,
∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100 15.(1)∵∠B=47°,∠C=73°,
∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°,
∵AD是△ABC的BC边上的高,
∴∠BAD=90°﹣47°=43°,
∵AE是∠BAC的角平分线,
∴∠BAE=∠BAC=30°,
∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°;
(2))∵∠B=α°,∠C=β°,
∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°,
∵AD是△ABC的BC边上的高,
∴∠BAD=90°﹣α°,
∵AE是∠BAC的角平分线,
∴∠BAE=∠BAC=(180°﹣α°﹣β°),
∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣(180°﹣α°﹣°),
=90°﹣α°﹣90°+α°+β°,
=(β﹣α)°
16.∵∠B=60°,∠C=45°,
∴∠BAC=180°﹣60°﹣45°=75°,
∵AD为∠BAC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5°,
在△ABD中,∠ADB=180°﹣∠BAD﹣∠B=82.5°,则∠ADC=180°﹣∠ADB=97.5°.
17.
∵∠ACB=90°,
∴∠1+∠3=90°, ∵CD ⊥AB , ∴∠2+∠4=90°, 又∵BE 平分∠ABC , ∴∠1=∠2, ∴∠3=∠4, ∵∠4=∠5, ∴∠3=∠5,
即∠CFE=∠CEF .
18.(1)在△ABC 中,∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°; ∵AD 是角平分线, ∴∠DAC=∠BAC=25°;
在△ADC 中,∠ADC=180°﹣∠C ﹣∠DAC=75°; 在△ADE 中,∠DAE=180°﹣∠ADC ﹣AED=15°. (2)∠DAE=180°﹣∠ADC ﹣AED=180°﹣∠ADC ﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣(180°﹣∠C ﹣∠DAC )=90°﹣(180°﹣∠C ﹣∠BAC )=90°﹣[180°﹣∠C ﹣(180°﹣∠B ﹣∠C )]=(∠C ﹣∠B ). (3)(2)中的结论仍正确.
∠A ′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+(180°﹣∠B ﹣∠C )=90°+∠B ﹣∠C ;
在△DA ′E 中,∠DA ′E=180°﹣∠A ′ED ﹣∠A ′DE=180°﹣90°﹣(90°+∠B ﹣∠C )=(∠C ﹣∠B ). 19.∵AB=6cm ,AD=5cm ,△ABD 周长为15cm , ∴BD=15﹣6﹣5=4cm , ∵AD 是BC 边上的中线, ∴BC=8cm ,
∵△ABC 的周长为21cm , ∴AC=21﹣6﹣8=7cm . 故AC 长为7cm .
20.(1)填写表格如下: ∠BAC 的度数 40° 60° 90° 120° ∠BIC 的度数 110° 120° 135°
150°
∠BDI 的度数 110° 120° 135°
(2)∠BIC=∠BDI ,理由如下:
∵△ABC 的三条内角平分线相交于点I , ∴∠BIC=180°﹣(∠IBC+∠ICB ) =180°﹣(∠ABC+∠ACB ) =180°﹣(180°﹣∠BAC ) =90+∠BAC ; ∵AI 平分∠BAC ,
∴∠DAI=∠DAE . ∵DE ⊥AI 于I ,
∴∠AID=90°.
∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC . ∴∠BIC=∠BDI .
21.∵∠A=50°,∠C=60° ∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°, 又∵AD 是高, ∴∠ADC=90°, ∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°, ∵AE 、BF 是角平分线, ∴∠CBF=∠ABF=35°,∠EAF=25°, ∴∠DAE=∠DAC ﹣∠EAF=5°, ∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°, ∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°, ∴∠DAC=30°,∠BOA=120°. 故∠DAE=5°,∠BOA=120°. 22.(1)∵AE 是中线, ∴BE=CE=BC , (2)∵AD 是角平分线, ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC , (3)∵AF 是高, ∴∠AFB=∠AFC=90°,
(4)S△ABC=,
S△ABE=,
∵BC=2BE,
∴S△ABC=2S△ABE,
故答案为CE,BC,∠CAD,∠BAC,∠AFC,2 23.∵BM是△ABC的中线,
∴MA=MC,
∴C△ABM﹣C△BCM=AB+BM+MA﹣BC﹣CM﹣BM =AB﹣BC=5﹣3=2cm.
答:△ABM与△BCM的周长是差是2cm.
24.方法1:由题意知:AB+AC+BC=34,AB+AD+BD =30,
∵AB=AC,BD=BC,
∴
②×2得:2AB+2AD+BC=60③,
③﹣①得:2AD=26,
∴AD=13cm.
方法2:∵AB=AC,D是中点,且AB+AC+BC=34,
∴BD=BC,AB=(AB+AC),
∴AB+BD=(AB+AC)+BC=(AB+AC+BC)=17
cm(周长的一半).
∵AB+BD+AD=30cm,
AD=30﹣17=13cm.
25.能.
由题意知:△ABD的周长=AB+BD+AD,
△ACD的周长=AC+CD+AD,又因为AD是BC边上的中线,
所以BD=CD.
∵△ABD的周长比△ACD的周长小5,
∴AC+CD+AD﹣(AB+BD+AD)=AC﹣AB=5.
即AC与AB的边长的差为5
26.∵AD是BC边上的中线,∴BD=DC,
∵AC=AB,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠ADB=∠ADC,
∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴AD⊥BC.
27.错误.
因为AD虽然是线段,但不符合三角形角平分线定义这里射线AD是∠BAC的平分线.
28.∵AD是BC边上的中线,
∴D为BC的中点,CD=BD.
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm.
∴AC﹣AB=5cm.
又∵AB+AC=11cm,
∴AC=8cm.即AC的长度是8cm.
29.∵AD是△ABC的中线,AE是△ACD的中线,∴BD=CD=2DE=4cm,
∴BE=BD+DE=6cm,
∴BC=2BD=8cm.
30.∵AD是△ABC中BC边上的中线,
∴BD=DC=BC,
∴△ABD和△ADC的周长的差=(AB+BC+AD)﹣AC+BC+AD)=AB﹣AC=1.