上海市崇明区2021届高三5月三模数学试题

上海市崇明区2019届高三5月三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．设集合{1,2,3}A =，{|1}B x x =>，则A

B =______

2．若

2log 104

2

x -=-，则x =______

3．已知复数z 满足(2)5z i -=（i 为虚数单位），则z 的模为______ 4

．函数()cos f x x x =+的单调递增区间为______ 5．已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为________.

6．某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为______

7．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内这3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和

0.6，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为______（结果用小数表示） 8．已知不等式组2

2020x y x y y +≤??

+≥??+≥?

表示的平面区域为Ω，点M 坐标为(),x y ，对任意点

M ∈Ω，则x y -的最大值为______

9．已知定义在R 上的增函数()y f x =满足()()40f x f x +-=，若实数,a b 满足不等式()()0f a f b +≥，则22a b +的最小值是______． 10．若n a 是二项式(1)n x +展开式中2x 项的系数，则23

11

1lim n n a a a →∞??

++

+

=

???

______ 11．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ?=(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________.

12．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果对任意的实数λ，

BA BC BC λ-≥恒成立，则c b

b c

+的取值范围是______

二、单选题

13．已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

14．将函数sin 6y x π??

=-

??

?

的图像上所有的点向右平移

4

π

个单位长度，再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（ ） A ．5sin 212x y π??

=-

???

B ．5sin 212x y π??=+

??? C ．5sin 212y x π?

?=-

??

?

D ．5sin 224x y π??=-

???

15．已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ） A ．至少有一个解 B ．至多有一个解 C ．至多有两个解

D ．可能有无数个解

16．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图象大致是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

三、解答题

17．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=?，1AB BC ==，12BB =.

（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）求直线11B C 与平面1A BC 的距离.

18．已知向量11,sin 22a x x ??= ? ???

和向量()()1,b f x =，且//a b . （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；

（2）已知ABC ?的三个内角分别为,,A B C ，若有3f A π?

?

-

= ??

?

，BC =

sin 7

B =

，求AC 的长度. 19．某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲

线BC 是抛物线2

50y ax =-+(0)a >的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的

半径.

（1）若30CD =米，AD =t 与a 的值；

（2）若体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围.

20．已知点F 1、F 2为双曲线2

2

2y C x 1b

-=：（b ＞0）的左、右焦点，过F 2作垂直于x

轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30°，圆O 的方程是x 2+y 2=b 2． （1）求双曲线C 的方程；

（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、P 2，求

12PP PP ?的值；

（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：|AB|=2|OM|．

21．如果存在常数a ，使得数列{a n }满足：若x 是数列{a n }中的一项，则a-x 也是数列{a n }中的一项，称数列{a n }为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”．

（1）若数列：2，3，6，m （m ＞6）是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值；

（2）已知有穷等差数列{b n }的项数是n 0（n 0≥3），所有项之和是B ，求证：数列{b n }是“兑换数列”，并用n 0和B 表示它的“兑换系数”；

（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{c n }，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由．

参考答案

1．{2,3} 【解析】 【分析】

根据交集的定义直接得到结果. 【详解】

由交集定义可得：{}2,3A B ?= 本题正确结果：{}2,3 【点睛】

本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．4 【解析】

由行列式的定义可得：()()222log 140,log 2,4x x x --?-=∴==. 3

【分析】

根据复数模长运算性质可直接求得结果. 【详解】

52z i

=-

52z i ∴===-

【点睛】

本题考查复数模长的求解，属于基础题. 4．22,233k k ππππ?

?

-+???

?

，k ∈Z 【解析】 【分析】

利用辅助角公式可整理出()2sin 6f x x π?

?=+ ??

?，

令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，

解出x 的范围即为所求区间. 【详解】

()

cos 2sin 6f x x x x π?

?=+=+ ??

?

令222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+，k Z ∈，解得：22233

k x k ππ

ππ-

+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：22,233k k ππππ?

?-+???

?，k Z ∈ 本题正确结果：22,233k k ππππ?

?

-+???

?

，k Z ∈ 【点睛】

本题考查正弦型函数单调区间的求解，关键是采用整体对应的方式来进行求解. 5．36π. 【分析】

通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积. 【详解】

球的体积为3

4363r V ππ== ∴球的半径3r =

∴球的表面积为：24336ππ?=

故答案为：36π 【点睛】

本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力，属于基础题. 6．17 【解析】

试题分析：高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人 考点：分层抽样 7．0.568 【分析】

记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A ，首先求解出()

P A ，利用对立事件概率公

式可求得结果. 【详解】

记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A

则()

0.90.80.60.432P A =??= ()()

10.568P A P A ∴=-= 本题正确结果：0.568 【点睛】

本题考查对立事件概率的求解，属于基础题. 8．6 【解析】 【分析】

由约束条件画出平面区域Ω，可知z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小，通过平移直线可知当过C 时，z 取最大值，求出C 点坐标，代入求得结果. 【详解】

由约束条件可得平面区域Ω如下图阴影部分所示：

令z x y =-，则z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小 平移y x =可知，当y x z =-过C 时，在y 轴截距最小 由2

20

x y y +=??

+=?得：()4,2C - max 426z ∴=+=

本题正确结果：6 【点睛】

本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是将问题转化为在y 轴截距的最值的求解问题，通过平移直线求得结果.

9．8 【解析】 【分析】

由()()40f x f x +-=知()()4f b f b -=-，可将不等式变为()()4f a f b ≥-，利用函数单调性可得40a b +-≥，根据线性规划的知识，知22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方，从而可知所求最小值为O 到直线40a b +-=的距离的平方，利用点到直线距离公式求得结果. 【详解】

由()()40f x f x +-=得：()()4f b f b -=-

()()0f a f b ∴+≥等价于()()()4f a f b f b ≥-=- ()f x 为R 上的增函数 4a b ∴≥-，即40a b +-≥

则可知可行域如下图所示：

则22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方 可知O 到直线40a b +-=的距离的平方为所求的最小值

()

2

22

min

8a b ∴+== 本题正确结果；8 【点睛】

本题考查函数单调性的应用、线性规划中的平方和型的最值的求解，关键是能够利用平方和的几何意义，将问题转化为两点间距离的最值的求解问题. 10．2 【解析】

【分析】

根据二项展开式的通项公式可得n a ，进而得到11121n a n n ??=?- ?-??

，利用裂项相消法和数列极限的求解方法可求得结果. 【详解】

()

1n

x +的展开式通项公式为：r r

n C x ()2

12

n n n n a C -∴==

()1211211n a n n n n ??∴

==?- ?--??

23

111111111lim lim 212lim 122231n n n n a a a n n n →∞→∞→∞????????∴++???+=?-+-+???+-=-= ? ? ???-???????? 本题正确结果：2 【点睛】

本题考查数列中的极限的求解问题，关键是能够通过二项展开式的通项公式求得通项，从而确定采用裂项相消的方式求得数列各项的和. 11．3 【分析】

由OA OB ?＝2可得点A ，B 的坐标之间的关系，再用点A ，B 的坐标表示直线的方程，进而可求直线AB 与x 轴的交点坐标。将△ABO 分割成△ACO 与△CBO 两个小三角形，进而用A ，B 的坐标表示△ABO 与△AFO 面积的和，再结合点A ，B 的坐标之间的关系化简，进而利用基本不等式即可求解。 【详解】

如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m ＞0，n ＜0，则OA ＝(m 2，m )，OB ＝(n 2，n )，OA OB ?＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2.

∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2,0).

S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝

12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×1

4×m ＝18

m ，则S △AOB

＋S △AOF ＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m

≥3=，

当且仅当9280m m m ?=???>?

，即m =43时等号成立.故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3. 【点睛】

本题考查与抛物线有关的最值问题，意在考查学生的运算能力、综合应用能力，本题难度较大。有关求最值的问题，应先表示出来，再转化为函数最值问题。 12

．??

【分析】

设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=，可知EA BC ≥恒成立，可知min EA 为边BC 的高h ，利用三角形面积公式可得：2sin a bc A ≤

；结合余弦定理整理可得

()sin 2cos sin c b

A A A b c

?+≤+=+，从而可得最大值，利用基本不等式可求得最小值，从而得到取值范围. 【详解】

设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=

则BA BC BA BE EA λ-=-= EA BC ∴≥恒成立 又min

EA

为边BC 的高h h a ∴≥恒成立

2111

sin 222

ABC S ah bc A a ?∴=

=≥ 2sin a bc A ∴≤ 由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+- 222cos sin b c bc A bc A ∴+-

≤

()222cos sin sin 2cos c b b c bc A bc A

A A A b c bc bc ?++∴+=≤=+=+，其中

tan 2?=

c b

b c ∴+≤2c b b c

+≥（当且仅当b

c =时取等号） c b b c

?

∴+∈? 本题正确结果：??

【点睛】

本题考查解三角形中的取值范围的求解问题，关键是能够通过恒成立的不等关系得到边长与三角形高的长度关系，利用三角形面积公式和余弦定理可构造出不等式，从而可求得最值. 13．B 【分析】

根据充分性和必要性的判断方法来判断即可． 【详解】

当0ab =时，若1,0a b ==，不能推出220a b +=，不满足充分性； 当220a b +=，则0a

b ，有0ab =，满足必要性；

所以“0ab =”是“220a b +=”的必要不充分条件． 故选B ． 【点睛】

本题考查充分性和必要性的判断，是基础题． 14．A 【分析】

根据三角函数平移伸缩的变换求解即可. 【详解】

将函数sin 6y x π?

?=- ??

?的图像上所有的点向右平移4π个单位长度得到

5sin sin 4612y x x πππ???

?=--=- ? ?????

.再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标

不变）则变成1

5sin 2

12y x π??=- ???.

故选：A 【点睛】

本题主要考查了三角函数图像的变换,属于基础题型. 15．B 【分析】

根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为

()()2

0x a x b λμ+++=，

由,a b 不共线可得20

x x λμ?+=?+=?，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果. 【详解】

由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈ 则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：(

)()2

0x

a x

b λμ+++=

,a b 不共线 20

0x x λμ?+=∴?

+=?

可知方程组可能无解，也可能有一个解

∴方程20ax bx c ++=至多有一个解

本题正确选项：B 【点睛】

本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数. 16．C 【分析】

先由题意，得到点M 在1B AC ?的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，根据题意确定当动点M 运动到点N 时，

111 =++<==N A B C l NA NC ND l l l ，同理得到动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，

也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果. 【详解】

由题意可知：点M 在1B AC ?的边上沿逆时针方向运动，

设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ， 则当动点M 运动到点N 时，

111 2=++=<+===N A B C l NA NC ND l l l ， 同理，当动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，

计算得111 2=++=<+===A B C l MA MC MD l l l . 符合C 选项的图像特征. 故选C

【点睛】

本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.

17．(1)

(2)

. 【分析】

（1）1A CB ∠或其补角就是异直线11B C 与1A C 所成角，我们可证1A AB ?为直角三角形且

1A B =.

（2）先计算11A B BC V -，再利用等积法求1B 到平面1A BC 的距离，它就是直线11B C 到平面

1A BC 的距离.

【详解】

(1)因为11B C BC ∥，所以1A CB ∠ (或其补角)是异直线11B C 与1A C 所成角. 因为BC AB ⊥，1BC BB ⊥，1

AB

BB B ，

所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥.

1Rt A BC 中，11

tan A B ACB BC ∠===1ACB ∠=，

所以异面直线11B C 与1A C 所成角的大小为(2)因为11B C ∥平面1A BC ，所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离， 设1B 到平面1A BC 的距离为d ，因为111B A BC A BB C V V --=，

11133A BC S d ?∴?=111B BC S A B ??，可得d =

，

直线11B C 与平面1A BC . 【点睛】

异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距. 18．（1）最小正周期为2π，最大值为2；（2）2. 【分析】

由//a b 整理可得：()sin 2sin 3f x x x x π??

==+

??

?

；（1）根据正弦型函数的最小

正周期和最值的求解方法直接求得结果；（2）利用3f A π?

?

-= ??

?

求得sin A ，利用正弦定理求得结果. 【详解】

由//a b 得：

()11sin 22f x x x =

则：()sin 2sin 3f x x x x π?

?=+=+ ??

?

（1）()f x 最小正周期为：221

T π

π== 当sin 13x π??

+

= ??

?

时，()max 2f x =

（2

）由3f A π??

-

= ?

?

?

得：2sin A =

sin A = 由正弦定理可知：

sin sin BC AC

A B

=

，即sin 2sin BC B AC A ?=

==

【点睛】

本题考查三角函数中的正弦型函数的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定理的应用，涉及到平面向量共线定理、辅助角公式的应用. 19．（1）20t =，149a =；（2）1,100??

+∞??

??

. 【解析】 【分析】

（1）根据抛物线方程求得()0,50B ，从而可得半径，即50CD t =-，进而解得t ；通过圆E 的方程求得A 点坐标，从而得到C 点坐标，代入抛物线方程求得a ；

（2）求解出C 点坐

标后，可知5075DF t =-≤，可整理为

1

62550a t t

≥++，利用基本不等式可求得162550

t t

++的最大值，从而可得a 的范围. 【详解】

（1）由抛物线方程得：()0,50B 50BE t ∴=-

又BE ，CD 均为圆的半径 50CD t ∴=-，则503020t =-=

∴圆E 的方程为：()2

222030x y +-=

()

A ∴

OD AD AO ∴=-==

()

C

代入抛物线方程得：(2

3050a =-+，解得：149

a =

（2）由题意知，圆E 的半径为：50t -，即50CD t =- 则C 点纵坐标为50t -

，代入抛物线方程可得：x =

OD =

5075DF t ∴=-+≤，整理可得：()2

1

6252550t a t t t

≥=+++ (]0,25t ∈

625

50t t

∴+≥=（当且仅当25t =时取等号）

11

625

10050t t ∴≤

++ 1100

a ∴≥ 即a 的取值范围为：1,100??

+∞??

??

【点睛】

本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.

20．（1）2

2

y x 12

-=；

（2）-29；（3）见解析 【分析】

（1）解：设F 2，M

的坐标分别为

))

0y ,再通过双曲线的定义和解三

角形得到双曲线C 的方程为2

2

y x 12

-=；

（2）设双曲线C 上的点P （x 0，y 0），设两渐近线的夹角为θ，再求出12PP PP 、和cos θ的值，即得12

PP PP ?的值；（3）由题意，即证：OA ⊥OB ，分y 0≠0和y 0=0两种情况证明1212OA OB x x y y 0?=+=，原题即得证. 【详解】

（1）解：设F 2，M

的坐标分别为

))

0y

因为点M 在双曲线C 上，所以2

2

02y 1b 1b +-=，即2

0y b =±，所以22MF b =

在Rt △MF 2F 1中，0

12MF F 30∠=，2

2MF b =，所以2

1MF 2b =

由双曲线的定义可知：2

12MF MF b 2-==

故双曲线C 的方程为：22

y x 12

-=

（2

）解：由条件可知：两条渐近线分别为12l y 0l y 0-=+=； 设双曲线C 上的点P （x 0，y 0），设两渐近线的夹角为θ，则 则点P

到两条渐近线的距离分别为1

2PP PP ==

，

因为P （x 0，y 0）在双曲线C ：22

y x 12

-=上，所以22002x y 2-=，又1cos θ3=，

所以12

PP PP ?

?cos （π-θ）=-

22

00

2x y 3

-?

13=-2

9

（3）证明：由题意，即证：OA ⊥OB ．

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），切线l 的方程为：x 0x+y 0y=2

①当y 0≠0时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：(

)

(

)

22

2

2

00002y x x 4x x 2y 40-+-+= 所以：()

()()

200

1212

2

2220

2y 44x x x x x 2y

x

2y x ++=-

=---，， 又()()()2

01022

012

0120122220

000

2x x 2x x 82x 1y y 42x x x x x x y y y 2y x ---??=

?=-++=??- 所以()()(

)222

2000

01212

2222

220

00

2y 442x y 82x OA OB x x y y 02y x

2y x 2y x +-+-?=+=-+

=

=---

②当y 0=0时，易知上述结论也成立． 所以1212OA OB x x y y 0?=+= 综上，OA ⊥OB ，所以|=2||AB O |M ． 【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线方程的求法，考查直线和双曲线与圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21．（1）a=9，m=7；（2）见解析；（3）见解析 【分析】

（1）利用“兑换数列”的定义得到a-m=2，a-6=3，即a=9，m=7．（2）利用“兑换数列”的定义可证明数列{b n }是“兑换数列”， 又因为数列{b n }所有项之和是B ，所以B=

()0

1

n 0

b b n

2

+?=0

an 2

，即a=02B n ；（3）假设存在这样的等比数列{c n }，设它的公比为q （q

＞1），通过推理得到q=1，与q ＞1矛盾，故不存在满足条件的数列{c n }． 【详解】

（1）解：因为2，3，6，m （m ＞6）是“兑换系数”为a 的“兑换数列” 所以a-m ，a-6，a-3，a-2也是该数列的项，且a-m ＜a-6＜a-3＜a-2， 故a-m=2，a-6=3，即a=9，m=7． （2）证明：设数列{b n }的公差为d ， 因为数列{b n }是项数为n 0项的有穷等差数列

若b 1≤b 2≤b 3≤…≤0n b ，则a-b 1≥a-b 2≥a-b 3≥…≥a-0n b ， 即对数列{b n }中的任意一项b i （1≤i ≤n 0），a-b i =b 1+（n 0-i ）d=0n b +1-i ∈{b n }

同理可得：b 1≥b 2≥b 3≥…≥0n b ，a-b i =b 1+（n 0-i ）d=0n b +1-i ∈{b n }也成立，

由“兑换数列”的定义可知，数列{b n }是“兑换数列”；

又因为数列{b n

}所有项之和是B ，所以B=

()0

1

n 0

b b n 2

+?=0

an 2

，即a=02B n ；

（3）解：假设存在这样的等比数列{c n }，设它的公比为q （q ＞1），

因为数列{c n }为递增数列，所以c 1＜c 2＜c 3＜…＜c n ，则a-c 1＞a-c 2＞a-c 3＞…＞a-c n ， 又因为数列{c n }为“兑换数列”，则a-c i ∈{c n }，所以a-c i 是正整数 故数列{c n }必为有穷数列，不妨设项数为n 项，则c i +c n+1-i =a （1≤i ≤n ） ①若n=3，则有c 1+c 3=a ，c 2=

a

2

，又c 22=c 1c 3，由此得q=1，与q ＞1矛盾 ②若n ≥4，由c 1+c n =c 2+c n-1，得c 1-c 1q+c 1q n-1-c 1q n-2=0 即（q-1）（1-q n-2）=0，故q=1，与q ＞1矛盾； 综合①②得，不存在满足条件的数列{c n }． 【点睛】

本题主要考查等差数列和等比数列，考查新定义的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.