离散数学总复习
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离散数学总复习
一、判断题（如果下列命题为真,在题后的括号内记\/, 否则记?）．
（1）{}a a a },{}{∈ （ ）
正确
（2）如果B A a ??，则A a ?或B a ?． （ ）
错误
（3）空集是任何集合的真子集 （ ）
错误；
（4）如果C A B A ?=?，则C B =． （ ） 错误；
（5）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则
},,,,,{332211><><><=?b a b a b a B A （ ） 错误
（6）设集合}1,0{=A ，则
}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ
是A
2到A 的关系． （ ） 正确
（7）设 B A ,都是有限集，n B m A ==,，则总共可以定义m n 个不同的A 到B
的映射． （ ） 正确
（8）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈
ρρ][][b a = （ ）
正确
（9）设A 是集合，A A A →?: ，b b a = ，则 是可结合的． （ ）
正确
（10）单位元是可逆的． （ ）
正确
（11）设b a ,是群>?<,G 的元素，则对N n ∈，有
n n n b a b a ?=?)( ． （ ） 错误
（12）设>∧∨<,,,B 是布尔代数，则对任意B b a ∈,，有 b a b a ∨=∧． （ ）
正确
（13）设图G 是连通的，则任意指定G 的各边方向后所得的有
向图是弱连通的． （ ）
正确
（14）不论无向图或有向图，初级回路一定是简单回路． （ ）
正确
（15）有向哈密尔顿图是强连通的． （ ）
正确
（17）设Q P ,都是命题公式，则Q P ?的充分必要条件
为1?→Q P ． （ ）
正确
（18）命题公式q q p p →→∧))((是重言式． （ ）
正确
（19）设B A ,都是谓词公式，B A ?，则B A →是永真式． （ ）
正确
（20）“张明和张亮是兄弟”是复合命题，因为该命题中出现了
联结词“和”． （ ）
错误
二、填空题
（1）设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=?B A ，
则集合B A ?中元素的个数=?)(#B A
3
（2）设集合}5,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，
}6,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A 中元素的个数为 .
33)(#,3)(#,16#,20#====B A B A B A
（4）集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是 ．
ρρρ?
（5）循环群>⊕<33,I 的所有子群为
>⊕<3},0{，>⊕<33,I
（6）设?,G 是群，e 为单位元，若G 元素a 满足a a =2
，则=a . e
（7）在整数集合I 上定义 运算为b a b a ++=2 ，则>< ,I 的
单位元为 .
-2
（8）代数系统>+<,I 中（其中I 为整数集合，+为普通加法），对任意的I x ∈，其
=-1x .
x -
（9）为了从（n ，m ）连通无向图得到一棵生成树，必须删除G 的 条边． m-n ＋1
（15）n 阶完全图的任意两个不同结点的距离都为 ．
1
（16） 设q p ,的真值为0，s r ,的真值为1，则命题公式)()(s q r p ∨?∧?的真值为 .
（17）设:p 天下雨，:q 我骑自行车上班，则命题“如果天不下雨, 我就骑自行车上班”符号化为 .
q p →?
（18）设:p 经一事, :q 长一智，则命题：不经一事, 不长一智
符号化为
q p ?→?
（19）设x x N :)(是自然数，x x F :)(是奇数，x x G :)(是偶数，则命题“任何 自然数不是奇数就是偶数。” 符号化为 .
))()(()()((x G x F x N x ∨→?
（20）设x x G :)(是金子，x x F :)(是发光的，则命题“金子是发光的, 但发光的不一定是金子”符号化为 .
))()()(())()()((x G x F x x F x G x ?∧?∧→?
三、选择题（每题后面有四个选项，四个选项中只有一个是正确的，请将正确的所对应的字母填在括号内）
（1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （ ） A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{
}
R x x x ∈=+且,09|2 C. {}R x x x x ∈+=且,1| D. {}R x x x ∈-=且,1|2 答案 A
（2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有 （ ）
A. φ=B B ．φ≠B C. B A ? D. B A ?
答案 C
（3）下列各式中不正确的是 （ ）
A. φφ? B ．{}φφ∈ C. φφ? D. {}}{,φφφ∈
答案 C
（4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是 （ ）
A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2? C. {}A a 2}{∈ D. {
}A
a 2}{? 答案 B
答案 B
（5）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为 （ ） A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρ
B ． {}><><=a c c a ,,,2ρ
C. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρ
D. {}><=a a ,4ρ
答案 D
（6）在整数集Z 上，下列哪种运算是可结合的 （ ）
A. b a b a -= B ．},max{
b a b a = C. b a b a 2+= D. ||b a b a -=
答案 B
（7）设集合{}10,,4,3,2,1 =A ，下面定义的哪种运算关于集合A 不是封闭的
（ ）
A. },max{y x y x =
B ． },min{y x y x =
C. },{GCD y x y x = ，即y x ,的最大公约数
D. },{LCM y x y x = ，即y x ,的最小公倍数
答案 D
（8）设Q 是有理数集，在Q 定义运算*为ab b a b a -+=*，则*,Q 的单位元 为 （ ）
A. a ； B ．b ； C. 1； D. 0
答案 D
（11）在任何图G 中必有偶数个 （ ）
A. 度数为偶数的结点； B ．度数为奇数的结点；
C. 入度为奇数的结点；
D. 出度为奇数的结点.
答案 B.
（12）设G 为有n 个结点的无向完全图，则G 的边数为 （ ）
A. )1(-n n B ．)1(+n n C. 2)1(-n n D. 2)1(-n
答案 C.
（13）给定下列序列，哪一个可构成无向简单图的结点度数序列 （ ）
A. )3,2,2,1,1( B ．)2,2,2,1,1(
C. )3,3,3,1,0(
D. )5,4,4,3,1(
答案 B
（14）任何无向图G 中结点间的连通关系是 （ ）
A. 偏序关系； B ．等价关系；
C. 既是偏序关系又是等价关系；
D. 既不是偏序关系也不是等价关系.
答案 B.
（15）有向图>= A. 强连通图； B ．单向连通图； C. 弱连通图； D. 不连通图. 答案 C. （16）下面哪个联结词不可交换 （ ） A. ∧； B ．→； C.∨； D.? . 答案 B. （17）命题“没有不犯错误的人”符号化为(设x x A :)(是人,x x B :)(犯错误) （ ） A. ))()()((x B x A x ∧?； B.))()()((x B x A x →??； C. ))()()((x B x A x ∧??； D.))()()((x B x A x ?∧??. 答案 D. （18）设个体域},{b a A =，公式)()()()(x S x x P x ?∧?在A 上消去量词后应为 （ ） A. )()(x S x P ∧； B. ))()(()()(b S a S b P a P ∨∧∧； C. )()(b P a P ∧； D. )()()()(b S a S b P a P ∨∧∧. 答案 B. （19）在谓词演算中，下列各式中，哪一个是正确的 （ ） A.),())((),())((y x A x y y x A y x ?????； B.),())((),())((y x A x y y x A y x ?????； C.),())((),())((y x A y x y x A y x ?????； D.),())((),())((y x B x y y x A y x ?????. 答案 B. （20）“学习有如逆水行舟，不进则退”。设:p 学习如逆水行舟，:q 学习进步，:r 学习 退步。则命题符号化为 （ ） A. )(r q p →?∧； B ．)(r q p →?→； C. )(r q p →?∨； D. )(r q p →??. 答案 B. 四、求解下列各题 1．设集合 }9,8,7,6,5,4,3,2,1{=A , ρ是A 上的整除关系, 画出><ρ,A 的 哈斯图。 解答 2. 设集合}36,24,12,6,3,2{=A , ρ是A 上的整除关系, (1) 画出><ρ,A 的哈斯图。； (2) 求集合}12,6{=B 的上界、下界、最小上界和最大下界。 解：（1）><ρ,A 的哈斯图为 上界为12,24,36，最小上界为12 下界为2,3,6，最大下界为6 3．在下面的无向图G 中，回答下列问题 a d b （1）写出d a ,之间的所有初级通路； （2）写出d a ,之间的所有短程，并求),(d a d ； （3）判断无向图G 是否为欧拉图并说明理由。 解：（1）d a ,之间的所有初级通路共有7条，分别为 aed ，aecd ，aebcd ，abed ，abcd ，abecd ，abced （2）d a ,之间的长度最短的通路只有1条，即aed ，因而它是d a ,之间 唯一的短程，2),(=d a d （3）由于无向图G 中有两个奇度顶点3)deg(,3)deg(==c b ，所以无向图 G 没有欧拉图回路，因而不是欧拉图。 4. 判断下列图中，哪个无欧拉通路？哪个有欧拉通路但无欧拉回路？哪个是欧拉图？ （1） （2） （3） 解 由于（1）只有两个奇度结点，b,e. 因此，(1)有欧拉通路，但无欧拉回路。非欧拉图。 由于（2）无奇度结点，因此，（2）是欧拉图。 由于（3）有4个奇度结点，因此，（3）无欧拉通路，非欧拉图。 5. 下面的图形中，哪个没有哈密尔顿通路？哪个有哈密尔顿通路但无哈密尔顿回路？哪个是哈密尔顿图？ a a a （1） （2） （3） 解 （1）中有哈密尔顿回路，例如 abcdea ，（1）是哈密尔顿图； （2）中无哈密尔顿回路，也无哈密尔顿通路，不是哈密尔顿图。 （3）中有哈密尔顿通路，例如 badce ，无哈密尔顿回路，不是哈密尔顿图。 6.设有向图>= ?????? ? ??=0010101011001010A （1） 画出有向图D ； （2） 写出有向图D 的可达矩阵； （3） 找出从结点2v 出发到3v 长度为3的所有通路. 解答：（1）有向图D 为 2v 4v （2） 有向图D 的可达矩阵为 ?????? ? ? ?=1110111011101111P （3） 从结点2v 出发到3v 长度为3的所有通路有两条 3232v v v v 和 3242v v v v 五、构造下列推理的证明 1. 证明 s s r r q q p ?∨?→∧,, 证明 ① q p ∧ 前提引入 ② q ①化简规则 ③ r q ?→ 前提引入 ④ r ? ②③假言推理 ⑤ s r ∨ 前提引入 ⑥ s ④⑤析取三段论 2. 证明 q t r s t s r p q p ??→?→?→∨,,,, 证明 ① t ? 前提引入； ② t s → 前提引入； ③ s ? ①②拒取式； ④ r s →? 前提引入； ⑤ r ③④假言推理； ⑥ r p ?→ 前提引入； ⑦ p ? ⑤⑥拒取式； ⑧ q p ∨ 前提引入； ⑨ q ⑦⑧析取三段论。 3. 证明 ))()((x B x A x ?→?，))()((x C x B x ∨?，)(x xC ?? ? )(x A x ?? 证明：① )(x xC ?? 前提引入； ② )(x C x ?? ①量词否定等值式； ③ )(a C ? ②存在量词消去规则； ④ ))()((x C x B x ∨? 前提引入； ⑤ )()(a C a B ∨ ④全称量词消去规则； ⑥ )(a B ⑤析取三段论； ⑦ ))()((x B x A x ?→? 前提引入； ⑧ )()(a B a A ?→ ⑦全称量词消去规则； ⑨ )(a A ? ⑥⑧拒取式； （10）)(x A x ?? ⑨存在量词引入规则 4. 证明 ))),()(()((y x L y G y x F x →?∧?，))),()(()((y x L y H y x F x ?→?→? ? ))()((x H x G x ?→? 证明： ① ))),()(()((y x L y G y x F x →?∧? 前提引入； ② )),()(()(y a L y G y a F →?∧ ①存在量词消去规则； ③ )(a F ②化简规则； ④ ))),()(()((y x L y H y x F x ?→?→? 前提引入； ⑤ )),()(()(y a L y H y a F ?→?→ ④全称量词消去规则； ⑥ )),()((y a L y H y ?→? ③⑤假言推理规则； ⑦ ),()(y a L y H ?→ ⑥全称量词消去规则； ⑧ )(),(y H y a L ?→ ⑦置换； ⑨ )),()((y a L y G y →? ②化简规则； （10）),()(y a L y G → ⑨全称量词消去规则； （11）)()(y H y G ?→ ⑧（10）假言三段论规则； （12）))()((x H x G x ?→? （11）全称量词引入规则； 5. 所有的有理数都是实数，有的有理数是整数。因此有的实数是整数。 解：设 x x F :)(是有理数，x x G :)(是实数，x x H :)(是整数。 前提：))()(()),()((x H x F x x G x F x ∧?→? 结论：))()((x H x G x ∧? 证明：① ))()((x H x F x ∧? 前提引入； ② )()(c H c F ∧ ①EI 规则； ③ )(c F ②化简； ④ )(c H ②化简； ⑤ ))()((x G x F x →? 前提引入； ⑥ )()(c G c F → ⑤UI 规则； ⑦ )(c G ④⑥假言推理； ⑧ )()(c H c G ∧ ④⑦合取引入； ⑨ ))()((x H x G x ∧? ⑧EG 规则 6.“所有的舞蹈家都很有风度，王英是个学生并且是个舞蹈家，因此有些学生很有风度。” 在一阶逻辑中证明以上推理是正确的。 解：记x x D :)(是舞蹈家， x x F :)(有风度， x x S :)(是学生， :a 王英. 则上述推理符号化为 前提：))()((x F x D x →?，)()(a D a S ∧ 结论：))()((x F x S x ∧? 证明： ① ))()((x F x D x →? 前提引入； ② )()(a F a D → ①全称量词消去规则； ③ )()(a D a S ∧ 前提引入； ④ )(a D ③化简规则； ⑤ )(a F ②④假言推理规则； ⑥ )(a S ③化简规则； ⑦ )()(a F a S ∧ ⑤⑥合取引入； ⑧ ))()((x F x S x ∧? ⑦存在量词引入规则； 六、证明题 1. 设ρ为集合A 上的自反关系, 试证ρ是传递且对称的充分必要条件是：对任意A c b a ∈,,，当ρ>∈<> 证明：充分性 对任意元素A c b a ∈,,，当ρ>∈∈∈∈∈ 当ρ>∈<> 必要性 对任意元素A c b a ∈,,，当ρ>∈<> 2. 设>< ,G 是一个群，取定G u ∈，定义 b u a b a 1*-=， G b a ∈?, 证明><,*G 是一个群。 证明 显然，*是G 上的二元运算。 先证结合律成立。G c b a ∈?,,，有 c u b u a c b a 11 )(*)*(--= )(11c u b u a --= )*(1c b u a -= )*(*c b a = 即运算是可结合的. 由于G a ∈?，有 a u u a u a ==- 1* a a u u a u ==- 1* 故u 是运算*的单位元. 最后证明G a ∈?，u a u 1-是a 在><,*G 中的逆元。由于 )()(*111u a u u a u a u a ---= u a u u a 11)(--= u a a )(1-= u = a u u a u a u a u 111)(*)(---= a u u a u )(11--= )(1a a u -= u = 因此><,*G 是一个群. 离散数学复习注意事项： 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下第一遍与第二遍复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1．下列句子中，（）是命题。 A．2是常数。B．这朵花多好看呀！ C．请把门关上！D．下午有会吗？ 2．令p: 今天下雪了，q:路滑，r:他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（）。 A. p q r ∨→ ∧→ B. p q r C. p q r ∨? ∧∧ D. p q r 3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）。 A.p q ∧ ∧? B.p q C.p q →? ∨? D. p q 4．设() Q x:x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。 P x:x是鸟，() A. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ B. ()(() x P x C. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ D. ()(() x P x 5.设() L x y：x大于等于y；命题“所有整数 f x:x的绝对值，(,) P x:x是整数，() 的绝对值大于等于0”可符号化为（）。 A. (()((),0)) ?→ x P x L f x ?∧B. (()((),0)) x P x L f x C. ()((),0) ?→ xP x L f x ?∧ D. ()((),0) xP x L f x 6.设() F x:x是人，() G x:x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。 A．(()()) ??→? x F x G x ?∧B．(()()) x F x G x C．(()()) ??∧? x F x G x ??∧D．(()()) x F x G x 7.下列命题公式不是永真式的是（）。 A. () p q p →→ →→ B. () p q p C. () →∨ p q p p q p ?∨→ D. () 8．设() R x:x为有理数；() Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为（） 离散数学期末复习 一、选择题 1、下列各选项错误的是 A、??? B、??? C、?∈{?} D、??{?} 2、命题公式(p∧q)→p是 A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、等值式 3、如果是R是A上的偏序关系，R-1是R的逆关系，则R∪R-1是 A、等价关系 B、偏序关系 C、全序关系 D、都不是 4、下列句子中那个是假命题？ A、是无理数. B、2 + 5＝8. C、x+ 5＞3 D、请不要讲话！ 5、下列各选项错误的是？ A、??? B、??{?} C、?∈{?} D、{?}?? 6、命题公式p→（p∨q∨r）是？ A、重言式 B、矛盾式 C、可满足式 D、等值式 7、函数f : N→N, f(x)=x+5,函数f是 A、单射 B、满射 C、双射 D、都不是 8、设D= D、不连通的 9、关系R1和R2具有反自反性，下面运算后，不能保持自反性的是 A、R1?R2 B、R1-1 C、R1?R2 D、R1-R2 10、连通平面图G有4个结点，3个面，则G有（）条边。 A、7 B、6 C、5 D、4 二、填空题 1、将下面命题符号化。设p:天冷，q:小王穿羽绒服。只要天冷，小王就穿羽绒服.符号化为 2、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。因为天冷，所以小王穿羽绒服.符号化为 3、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。若小王不穿羽绒服，则天不冷.符号化为 4、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。只有天冷，小王才穿羽绒服.符号化为 离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 离散数学复习资料 一、填空 1. 命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x 为实数，y x y x L >:),(则命题的逻辑谓词公式为 。 2. 设p ：王大力是100米冠军，q ：王大力是500米冠军，在命题逻辑中，命题“王大力不 但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为 。命题“存在一个人不但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为____。 3. 选择合适的论域和谓词表达集合A=“直角坐标系中，单位元（不包括单位圆周）的点集” 则A= 。 4. 设 P （x ）：x 是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x 是奇数 N (x,y)：x 可以整数y 。则谓词 (()(()(,)))x P x y O y N y x ?→?∧ 的自然语言是 对于任意一个素数都存在一个奇数使 该素数都能被整除 。 5. 设个体域是{a,b}，谓词公式()()()()x P x x P x ??∨?写成不含量词的形式是 。 6. 谓词(((,)(,))(,,))x y z P x z P y z uQ x y u ???∧→?的前束范式为 。 7. 命题公式)))(((R Q Q P P A →?∧→?∨?的主合取范式为 ，其编码表示为 。 8. 设E 为全集， ，称为A 的绝对补，记作～A ，且～（～A ）= ，～E = ， ～Φ= 。 9. 设={256},{234},{134}A B C ==，，，，，，，则A-B= ，A ⊕B = ，A ×C = 。 10. 设},,{c b a A =考虑下列子集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =， }},{},{{3c b a S =，}},,{{4c b a S =，}}{},{},{{5c b a S =，}},{},{{6c a a S = 则A 的覆盖有 ，A 的划分有 。 11. 设}2,121{Z x x x x M ∈≤≤=整除，被，}3,121{Z x x x x N ∈≤≤=整除，被，则 =?N M ，=-N M 。 12. 设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则B A ?= ，B A ο= 。 13. A={1，2，3，4，5，6}，A 上二元关系}|,{是素数y x y x T ÷><=，则用列举法 T= ； T 的关系图为 ，T 具有 性质。 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 离散数学习题参考答案 第一章集合 １.分别用穷举法,描述法写出下列集合 （１）偶数集合 (２)36的正因子集合 (３)自然数中3的倍数 (４)大于１的正奇数 (1)E={?,-6,-4,-2,0,2,4,6,?} ={2 i | i∈I } (2) D= { 1, 2, 3, 4, 6, } = {x>o | x|36 } (3) N3= { 3, 6, 9, ```} = { 3n | n∈N } (4) A d= {3, 5, 7, 9, ```} = { 2n+1 | n∈N } ２.确定下列结论正确与否 (１)φ∈φ× (２)φ∈｛φ｝√ (３)φ?φ√ (４)φ?｛φ｝√ (５)φ∈｛ａ｝× (６)φ?｛ａ｝√ (７)｛ａ,ｂ｝∈｛ａ,ｂ,ｃ,｛ａ,ｂ,ｃ｝｝× (８)｛ａ,ｂ｝?｛ａ,ｂ,ｃ,｛ａ,ｂ,ｃ｝｝√(９)｛ａ,ｂ｝∈｛ａ,ｂ,｛｛ａ,ｂ｝｝｝× (１０)｛ａ,ｂ｝?｛ａ,ｂ,｛｛ａ,ｂ｝｝｝√ ３.写出下列集合的幂集 (１)｛｛ａ｝｝ {φ, {{ a }}} ( 2 ) φ {φ} (３)｛φ,｛φ｝｝ {φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} } (４)｛φ,ａ,｛ａ,ｂ｝｝ {φ, {a}, {{a,b }}, {φ}, {φ, a }, {φ, {a,b }}, {a, {a b }}, {φ,a,{ a, b }} } (５)Ｐ(Ｐ(φ)) {φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} } ４.对任意集合Ａ,Ｂ,Ｃ,确定下列结论的正确与否(１)若Ａ∈Ｂ,且Ｂ?Ｃ,则Ａ∈Ｃ√ (２)若Ａ∈Ｂ,且Ｂ?Ｃ,则Ａ?Ｃ× (３)若Ａ?Ｂ,且Ｂ∈Ｃ,则Ａ∈Ｃ× (４)若Ａ?Ｂ,且Ｂ∈Ｃ,则Ａ?Ｃ × ５.对任意集合Ａ,Ｂ,Ｃ,证明 右 分配差差左=--=--)C A ()B A ()C B (A M .D )C B (A )C B (A ) C A ()B A ()C B (A )1(I Y I Y I I I I I Y 右 差分配差左右差的结论差左=--=-------=-)C A ()B A ()C A ()B A () C B (A M . D )C B (A )2)C A ()B A ()C A ()B A ()1()C B (A )1) C A ()B A ()C B (A )2(Y I Y I Y I I I Y I Y Y I 右 交换结合幂等差左=--=-)C A ()B A (,)C B ()A A () C B (A M . D )C B (A ) C A ()B A ()C B (A )3(I I I I I I I I Y I I Y ))B )B (A ())B B ()B A ((,)B )B A (()B )B A ((B )B A (B A B )B A )(4(I I Y I Y I I Y I I Y --⊕=⊕+结合分配对称差差左 右 零一互补==φ-φ-)B A ()B A () A ()U ) B A ((Y Y I I Y 离散数学复习指导Ⅰ 命题逻辑部分 一学习要求 1．理解命题、联结词的含义，掌握命题的符号化； 2．理解命题公式的赋值，能求出公式的真值表，判断公式的类型； 3. 理解公式等值的定义,记住一些基本等值式,能进行等值演算; 4. 体会公式的主范式与公式赋值之间的关系,能利用等值演算求出范式; 5. 理解公式的蕴涵及推理的含义及联系,记住一些基本的推理规则,能用演绎 推理方法进给出推理证明; 二范例 例1 将下列命题符号化 ⑴小王聪明但不用功； ⑵说数理逻辑枯燥无味或毫无价值，那是不对的； ⑶你不及格就要补考。 ⑷不经一事，不长一智； 解：⑴设p：小王聪明，q：小王用功，则该命题可符号化为：q ∧。 p? ⑵ p：数理逻辑枯燥无味，q：数理逻辑毫无价值，则：) ?。 (q p∨ ⑶ p：你及格了；q：你要参加补考，则：q p? ?。 ⑷ p：经一事；Q：长一智，则：q ?。 p? → ⑸这是简单命题，则p：李卫与李星是兄弟。 例2 求命题公式r (的主析取范式和主合取范式，指出公式的成 ∧) q p∨ 真赋值和成假赋值，并判断公式的类型。 解：r q p ∨?)(r p q q p ∨→∧→?))()(( ))(())((r p q r q p ∨→∧∨→? )()(r p q r q p ∨∨?∧∨∨?? 42M M ∧? （主合取范式） 765310m m m m m m ∨∨∨∨∨? ∑?)7,6,5,3,1,0( (主析取范式) 公式的成真赋值为：000，001，011，101，110，111 成假赋值为：010，100 公式为非重言式的可满足式 。 例3 构造下面推理的证明： 前提：s q r p q p ∨→?∧,, 结论：r s ∧ 证：(1) q p ?∧ P; (2) p T(1)化简规则; (3) q ? T(1)化简规则 (4) r p → P; (5) r T(3)(4)假言推理; (6) s q ∨ P; (7) s T(3)(6)析取三段论; (8) r s ∧ T(5)(7)合取式. 例4. 先将下列相关命题符号化,给出推理证明 如果4是偶数,则2不能整除5. 或者7不是素数或者2整除5. 7是素数.因此4不是偶数. 解: 设p: 4是偶数; q: 2能整除5; r: 7是素数; s: 2整除5,则 前提： ,,,r q r q p ∨??→ 结论：.p ? 证明: (1) )(p ?? 结论之否定; (2) p T(1)等值式; (3) q p ?→ P; 《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？ 1. 计算：2400 mod 319、2340 mod 11。 2. 设整数a 和b 不全为0，且a 和b 互素。请证明：ab 和a+b 互素。 3. 设n!的标准素因数分解式是 k k p p p εεεΛ2121 请证明： ∑∞=???? ? ?????=1s s i p n i ε，i=1,2,…,k 4. 300！末尾0的个数是？。 5. 解同余方程组：x≡3(mod 8)，x≡11(mod 20)，x≡1(mod 15)。 6. 求p →(p ∧(q →p))的主析取范式和主合取范式。（真值表法和等值演算法） 7. 求谓词公式?x ?y(P(x,y)?Q(x,y))→?x ?yR(x,y)的前束范式。 8. 证明下面的推理： “每个科研工作者都是努力工作的。每个努力工作而又聪明的人都取得事业的成功。某个人是科研工作者并且聪明。所以，某人事业取得成功。” 9. 设R={(1,2),(1,4),(3,3),(4,1)}是集合A={1,2,3,4}上的关系。 （1） R 是自反的吗？是对称的吗？是传递的吗？ （2） R 的自反对称闭包存在吗？ （3） R 的自反传递闭包存在吗？ （4） R 的对称传递闭包存在吗？ （5） R 的自反对称传递闭包存在吗？ （6） R 的反自反闭包存在吗？ （7） R 的反对称闭包存在吗？ 10. 设A={x|x ∈N ，且x|54}，R={(x,y)|x,y ∈A ，且x|y }。 （1） 列出集合A 和R 中的元素； （2） 给出R 的矩阵表示； （3） 证明(A,R)是偏序集，画出哈斯图； （4） 指出(A,R)中的最大元、最小元、极大元、极小元。 11. 设X={(x,y) | x 和y 是不为零的实数}，E 是X 上的关系： 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{ v1.0 可编辑可修改 离散数学知识要点总结 第1章命题逻辑 1、会判断一个语句是否为命题（如P31-习题题） 练习：判断下列语句是否为命题。 (1).3+8=13； (2).离散数学是计算机系的一门必修课； (3).太阳系以外的星球上有生物； (4).你打算考硕士研究生吗 (5).9+5≤12 ； (6). 天上有三个月亮。 (7).x+5 > 6； (8).一定要努力学习！(9).2是素数； (10).x+5 > 6； (11).我正在说谎； (12).x=13. (13).这朵花多好看呀！ (14).7能被2整除. (15).我用的计算机CPU主频是 1G吗 (16).蓝色和黄色可以调成绿 色； (17). 雪是黑色的. (18). 明天会下雨吗； (19).我能进来吗 (20).这个男孩真勇敢呀！ (21).蓝色和黄色可以调成绿 色； (22).x≤3； (23)地球饶着太阳转. (24)青年人多么朝气蓬发呀！ (25).5能被2整除. (26).嫦娥一号太棒了！ (27).台湾是中国的一部分； (29) 你下午有会吗若无会，请 到我这儿来！ (30).请不要讲话！ (31) 5是奇数； (32). 3 2> + x 2、注意五个命题联结词的使用，会将命题进行符号化（如，，题的题型）或在判断体现逻辑联结词的逻辑有关系等。练习：将以下命题符号化 (1)如果你不去逛街，那么我也不去逛街。 (2)小李边吃饭边看电视。 (3)林芳学过英语或日语。 (4)张辉与王丽都是三好生. (5)小王住在101室或102室。 (6).2+2≠4当且仅当王红没努力学习离散数学。 (7)4或6是素数. (8).王晓聪明，但是他不用功. (9)如果今天是1号，则明天是5号。(10).小潘不能既跳舞又唱歌。 (11)如果你来了，他就唱歌而且陪你跳舞。 (12).或者雪是黑色的，或者太阳从东方升起。 (13).王晓既用功又聪明。 (14)2 + 2 ≠ 4 当且仅当美国位于非洲。 (15)小李学过英语或法语。 (16）如果石头会说话，那么月亮上就会出现海洋。(17）.如果天气寒冷，小梅就不去游泳。 （18）小红喜欢看书和画画。 离散数学试题(Ｂ卷答案１） 一、证明题(10分） 1）(P∧（Ｑ∧Ｒ）)∨(Q∧R）∨（Ｐ∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧Ｒ）∨((Q∨P）∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((Ｐ∨Ｑ）∧R）∨((Ｑ∨P)∧Ｒ) (（P∨Q）∨（Ｑ∨P))∧Ｒ （(P∨Ｑ)∨(Ｐ∨Q))∧R T∧Ｒ(置换)Ｒ 2) x (A(x)B(ｘ）)xA(x)xＢ(ｘ) 证明：x(A(ｘ)B(x))x(Ａ(ｘ)∨B(x)） x A(ｘ)∨xB（ｘ) xA(x)∨xB(x） xＡ(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨（Q∧R)）(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分）。 证明：(P∨（Q∧R))(P∧Q∧R)（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨Ｒ))∨（P∧Q∧Ｒ） （Ｐ∧Q)∨（P∧R)）∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧Ｒ)∨(P∧Q∧Ｒ))∨(P∧Ｑ∧R）)∨(Ｐ∧Q∧R） m0∨ｍ1∨m２∨ｍ７ Ｍ３∨M４∨Ｍ５∨M6 三、推理证明题（１0分) 1）Ｃ∨D，（C∨D)E, E(A∧B)，(A∧Ｂ)(R∨S)R∨Ｓ证明：(１） (C∨D) E ?P (2) E（A∧Ｂ) ??P （3) (Ｃ∨D）（A∧B) Ｔ（1）(2），I (4) （A∧B)(R∨S）??P (5) (Ｃ∨D)(Ｒ∨S) ? T(3)(4)，I (6） C∨Ｄ P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(ｘ)Ｑ(y)∧R(ｘ)），xＰ(ｘ)Q（y)∧x(Ｐ(x)∧R(x)) 证明(1)ｘP(x) Ｐ （2)Ｐ(ａ） T(1），ＥS (3)ｘ（P(x)Q（y)∧R(x）) Ｐ (４)P(a)Q（y)∧R(a） T(3)，ＵS (５)Q（ｙ)∧R(a） T(2)（4），I （6）Q(y) Ｔ(５)，I （7)R(ａ) T(5),I (8)P(a)∧Ｒ（ａ) T(2)(7),I （9)x(Ｐ(x）∧R(x)) Ｔ(8),ＥG (10)Q(ｙ)∧x(P(x)∧R(ｘ)) Ｔ(６）(9)，I 四、某班有２5名学生,其中14人会打篮球,１2人会打排球，6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解：A，B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则｜A|=1２，|Ｂ|＝6,｜Ｃ|=14，｜A∩C|=6，｜B∩C｜=5，|Ａ∩Ｂ∩C｜=２。 先求|A∩B|。 ∵6＝|（Ａ∪C)∩B|=|（A∩B）∪（Ｂ∩C)|=|（A∩B）|＋|（B∩C）｜-|A∩B∩C|=|(Ａ∩B)|+5-２，∴|(A∩B）|=３。 于是|A∪Ｂ∪C｜=12+6+14-6-5－３＋２=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知Ａ、B、Ｃ是三个集合,证明A-(B∪Ｃ)=(A-B)∩(Ａ-C）(10分)。 证明：∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） xＡ∧(xＢ∧x C） （x A∧x B）∧(x A∧ｘC） x（A-B）∧x(Ａ-C） ｘ（Ａ-Ｂ）∩(A-C） ∴Ａ-（B∪Ｃ)=（Ａ－B）∩(A－Ｃ） 六、已知R、S是Ｎ上的关系,其定义如下：R={ 《离散数学》习题与解答 第一篇数理逻辑 第一章命题逻辑 1-1（1）指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题指出他的真值 a)离散数学是计算机科学系的一门必修棵 b)∏> 2 吗？ c)明天我去看电影 d)请勿随地吐痰 e)不存在最大质数 f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲的语言就容易多了 g)9+5<12 h)x<3 i)月球上有水 j)我正在说假话 [解] a)不是命题 b)是命题,真值视具体情况而定 c)不是命题 d)是命题,真值为t e)是命题,真值为t f)是命题,真值为f g)不是命题 h)是命题, 真值视具体情况而定 i)不是命题 1-2(1)用P表示命题“天下雪”,(又表示命题“我将去镇上”,R表示命题“我有时间”.以符号形式写出下列命题: (a)如果天不下雪和我有时间,那么我将去镇上. (b)我将去镇上，仅当我有时间. (c)天不下雪 (d)天下雪,那么我不去镇上 [解] a)(┐P∧R)→Q b)Q→R c)┐P d)P→┐Q 1-2(2)将下面这段述中所出现的原子命题符号化,并指出他们的真值,然后将这段述中的每一命题符号化 2 是有理数是不对的.2是偶素数.2或4是素数.如果2是素数则3也是素数.2是素数当且仅当3也是素数. [解]:述中出现5个原子命题，将他们符号化为: P: 2 是有理数其真值为F Q:2是素数其真值为T R:2是偶数其真值为T S:3是素数其真值为T U:4是素数其真值为F 述中各命题符号化为: ┐P;Q∧R;Q∨U;Q→S;Q＜＝＞S 1-2(3)将下列命题符号化 a)如果3+3=6,则雪是白色的. b)如果3+3≠6,则雪是白色的 c)如果3+3=6,则雪不是白色的. d)如果3+3≠6,则雪不是白色的 e)王强身体很好，成绩也很好. f)四边形ABCD是平行四边形,仅当其对边平行 [解]:设P:3+3=6 Q:雪是白色的 R:王强成绩很好S:王强身体很好 U: 四边形ABCD是平行四边形V: 四边形ABCD的对边是平行的于是: a)可表示为:P→Q b)可表示为: ┐P→Q c)可表示为: P→┐Q d)可表示为：┐P→┐Q e)可表示为：S∧R f)可表示为:U＜＝＞V 1-3(1)判别下列公式中哪些是合式公式,那些不是合式公式 a) (Q→R∧S) b) (P＜＝＞(R→S)) c) ((┐P→Q)→(Q→P))) d) (RS→T) e)((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))) [解]: a)不是合式公式(若规定运算符优先级后也可以作为合式公式) b)是合式公式 c)不是合式公式(括号不配对) d)不是合式公式 e)是合式公式 1-3(2)对下列各式用指定的公式进行代换: a) (((A→B)→B)→A),用（A→C）代换A，用（（B∧C）→A代换B。 b)((A→B)∨(B→A),用B代换A,A代换B. [解]:a)((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b)((B→A)∨(A→B)) 1-3(3)用符号形式写出下列命题 a)假如上午不下雨,我去看电影;否则就在家里读书或看报. b)我今天进城,除非下雨. c)仅当你走,我将留下. [解]a)设P:上午天下雨. Q:我去看电影 《离散数学》期末考试试题 一、 填空题（每空2分，合计20分） 1. 设个体域为{2,3,6}D =-, ():3F x x ≤，():0G x x >。则在此解释下公式 ()(()())x F x G x ?∧的真值为______。 2. 设:p 我是大学生，:q 我喜欢数学。命题“我是喜欢数学的大学生”为可符合化 为 。 3. 设{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B -=________，A B ⊕=________。 4. 合式公式()Q P P ?→∧是永______式。 5. 给定集合{1,2,3,4,5}A =，在集合A 上定义两种关系： {1,3,3,4,2,2}R =<><><>, {4,2,3,1,2,3}S =<><><>， 则_______________S R =ο，_______________R S =ο。 6. 设e 是群G 上的幺元，若a G ∈且2a e =,则1a -=____ , 2a -=__________。 7． 公式))(()(S Q P Q P ?∧?∨∧∨?的对偶公式为 。 8. 设{2,3,6,12}A =, p 是A 上的整除关系，则偏序集,A <>p 的最大元是________，极小元是_ _。 9. 一棵有6个叶结点的完全二叉树，有_____个内点；而若一棵树有2个结点度数为2，一 个结点度数为3，3个结点度数为4，其余是叶结点，则该树有_____个叶结点。 10. 设图,G V E =<>, 1234{v ,v ,v ,v }V =，若G 的邻接矩阵????????????=0001001111011010A ，则1()deg v -=________, 4()deg v +=____________。 二、选择题（每题2分，合计20分） 1．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨? ； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={(完整word版)离散数学期末练习题带答案
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