内接圆,外接圆,内心,外心
1. 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形
2. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆
三个顶点都在圆内的三角形叫内接三角形
与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆
三个顶点都在圆外的三角形叫外切三角形
外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点。到三顶点的距离相等。
内接圆的圆心是三角形三角的角平分线的交点。到三边的距离相等
与多边形各角都相交的圆叫做多边型的外接圆。
三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。三角形的外接圆圆心是三条中垂线的交点，直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上。三角形外接圆圆心叫外心
有重心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的焦点，叫做重心）
1．相似三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；
2．相似三角形周长之比等于相似比；
3．相似三角形面积之比等于相似比的平方．
2．三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。
3．垂心：三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心。
4．重心：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。
5．内心：三角形内切圆的圆心。外心：三角形外接圆的圆心。
6．旁心：与三角形的一边和其它两边的延长线相切的圆的圆心，
7．中线：是三角形顶点与其对边中点的连线。三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。
重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心;
垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;
外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心;
内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;
中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。
《立体几何》
点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。
垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。
方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。
立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。
异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。
长方体：长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和：
正棱锥：平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
第七节圆的内接正多边形
3.7 圆的内接正多边形 教学目标：（1）理解正多边形与圆的关系定理； （2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质； （3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念； 教学重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理． 教学难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解． 【知识要点】 1．正多边形的定义： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2．正多边形与圆的有关定理 把圆分成n(n≥3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； (2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形； (3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆。 注意：①依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形，想一想，你能否利用直尺和圆规作已知圆的内接(或外切)正三角形、正方形、正六边形、正十二边形； ②如何证明任何一个正多边形A1A2A3……A n-1A n都有一个外接圆呢？ 我们可过A1、A2、A3三点作一个⊙O，分别连结OA1、OA2、OA3，OA4，通过证明△OA1A2≌△OA3A4，得到OA4=OA3=OA2=OA1. 从而点A4在⊙O上，同理可证A5、A6……A n-1、A n其余各点也都在⊙O上，则可推出此正多边形有一个外接圆。 3. 正多边形的其它性质 (1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 (2)边数相同的正多边形相似，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆。 4. 正多边形的有关计算 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。 正n边形的有关计算公式 注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ? =++0OC OB OA ?? ?=-+-+-=-+-+-0 )()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ??? ?++=++=?3 3321321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 OC OB OA ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为A B C ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为A B C ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O OC c OB b OA a ?=++0为A B C ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b AC c AB + 平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +)，令c b a b c ++= λ O A B C D E O A B C D E
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆和内切圆 重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。 难点：知识的综合运用。 知识回顾： 1、什么是三角形的外接圆与内切圆 关系定义圆心实质半径图示 外接圆经过三角 形各顶点 的圆 外心 三角形各 边垂直平 分线的交 点 交点到三 角形各顶 点的距离 内切圆与三角形 各边都相 切的圆 内心 三角形各 内角角平 分线的交 点 交点到三 角形各边 的距离 2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆画圆的关键：确定圆心；确定半径 3、性质有哪些 (1)外接圆性质： 锐角三角形外心在三角形内部。
直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆。 直角三角形的外心是斜边的中点。 外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。 (2)内切圆性质： 三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。 一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]（a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2） 直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边） r=(a+b-c)/2 两直角边相加的和减去斜边后除以2 r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长
注意： 等边三角形的内心、外心重合。 主体部分：(未完成) 小结： 1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。 2、会画三角形的外接圆和内切圆。 3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。 4、有关证明题。 练习： 1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（）度。 2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（）度。 3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。 4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（）
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心 1、内心 (1)定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 (2)三角形的内心的性质 ①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 ②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ③s= (r是内切圆半径) 2 ④在Rt△ ABC中，/ C=90 , r=(a+b-c)/2 . ⑤/BOC = 90 +Z A/2 / BOA = 90+/C/2 / AOC = 90+/B/2 2、外心 (1)定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。 (2)三角形的外心的性质 ①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 ③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
④OA=OB=OC=R ⑤/ B0C=2 BAC / AOB=Z ACB / C0A=2 CBA ⑥S A ABC二abc/4R 3、重心 (1)三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。 (2)三角形的重心的性质 ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 ②重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 ③重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 ④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3) ；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：( Z1+Z2+Z3) /3 ⑤重心和三角形 3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 4、垂心 (1)定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。 (2)三角形的垂心的性质 ①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 ②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 ③垂心0关于三边的对称点，均在△ ABC的外接圆上
任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法
任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法 圆与三角形有着密不可分的关系，对于任意一个三角形来说，三角形是圆的内接三角形或是外切三角形。而对于圆来说，三角形必定有它的外接圆和内切圆。那么三角形的各边数量关系与其对应的圆的半径有着怎样的一种关系呢？下面就上述问题作一探索。 一、特殊三角形―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例1、已知R t △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：由题意得；2132==c R ；22 131252=-+=-+=c b a r 。 二、非特殊三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例2、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝14，BC ＝15，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝15－x 。由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即：()2222151413x x --=-，得x=5 33； 再得：AD ＝5 56， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++= ?21 得：()r 1514132 15561521++=?? 得： r ＝4 ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于 E ，连接CE 。则△ABD ∽△AEC ， 则AC AD AE AB = ，即14 556 213=R ，得R ＝865。 例3、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝25，BC ＝17，求 外接圆半径R 和内切圆半径r 值。
解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝17－x 。由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即：()()2222172 513x x --=-，得x=12； 再得：AD ＝5， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++= ?21 得：()r 2517132151721++=?? 得： r ＝2 26- ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE 。则△ABE ∽△ADC ， 则AC AE AD AB = ，即252513R = ，得R ＝2 213。 三、小结 例2和例3中，求三角形内切圆半径是通过()r c b a s ABC ++= ?21公式，根据三角形的面积和周长来达到目的。 求三角形外接圆半径是通过三角形相似来计算的。它们有一共同的特征就是要求出一条边上的高线。 例2和例3中的三角形分别是锐角三角形和钝角三角形，为了避免在计算中分类的问题，可统一为选择最长的一边为底边，再计算这条边上的高线即可,这时就不需考虑这个三角形是锐角还是钝角三角形的问题。 2009-1-6
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就 是直角三角形的斜边. 例 1 已知：在AABC 中.AB=13, BC = 12, AC=5 求 AABC 的外接圆的半径. 解:VAB=13, BC = 12, AC=5, .-.AB 2=BC :+AC \ A ZC = 90° , .?.AB 为△ ABC 的外接圆的直径， ???△ABC 的外接圆的半径为. 2、一般三角形 ① 已知一角和它的对边 例 2 如图，在ZXABC 中，AB=10, ZC=100° , 求 AABC 外接圆00的半径.（用三角函数表示） 分析： 利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径 BD,连结AD. 则ZD=180° -ZC=80Q , ZBAD=90° .?沏=竺=旦 sinD sin 80° ??.△ABC 外接圆。。的半径为盘 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一 边，都可以利用本题的方法求岀三 角形的外接圆的半径. 例 3 如图，已知，在AABC 中，AB = 10, ZA=70° , ZB=50° 求AABC 外接圆00的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则ZD=ZC=180° -ZCAB-ZBAC=60° , ZDBA=90° ???△ABC 外接圆O0的半径为￥厲? ② 已知两边夹一角 例 4 如图，已知.在AABC 中，AC=2, BC=3, ZC=60° 求AABC 外接 圆00的半径. 分析：考虑求岀AB,然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD ?作AE 丄BC,垂足为E. 则 ZDBA=90° , ZD=ZC=60° , CE=1AC=1, AE=的， /.AD= AB 10 sinD sin 60° BE=BC-CE=2, AB= y/AE 2 + BE 2 = 41 r c
圆内接正多边形
圆内接正多边形 学习目标： 1、理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半 径、边心距、中心角等概念。 2、掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行有关正 三角形，正方形，正六边形的计算。 1学习过程： 1、复习回顾 正n边形的有关计算公式： 每个内角= ，每个外角= 。 2、预习、交流并展示 阅读课本97页到98页，回答下列问题 （1）都在同一个圆上的正多边形叫做，这个圆叫做该正多边形的。 (2)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形 的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多 边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，正n边 形的中心角是，中心到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的。 如上图，五边形ABCDE是☉O的，☉O是五边形ABCDE 的圆，叫做正五边形ABCDE的中心，是正五边形ABCDE的半径，是正五边形ABCDE的中心角，中心角是
度，OM⊥BC，垂足为M，是正五边形ABCDE的边心距。（3）利用尺规作一个已知圆的内接正多边形 以圆内接正六边形为例： 由于正六边形的中心角为，因此它的边长和外接圆的半径R ，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形。 作法如下： （1）☉O的任意一条直径AD，如图（1） （2）分别以A、D为圆心，以☉O的半径R为半径作弧，与☉O相交于B、F和C，E则A，B，C，D，E，F是☉O的六等分点。 （3）顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA，便得到正六边形ABCDEF，图（2） 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求正六边形的中心角、边长和边心距。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结讲解学习
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结 1.内心： （1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 （2）性质：到三边距离相等。 2外心： （1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。 （2）性质：到三个顶点距离相等。 3 重心： （1）三条中线的交点。 （2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。 4 垂心：三条高所在直线的交点。 5 重心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好． 6 垂心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 7内心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”如此定义理当然． 8外心 : 三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 此点定义为“外心”，用它可作外接圆． “内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．保安员服装 管理规定 一、目的 为加强保安队伍的职业化、正规化建设，规范公司保安制服的领用、发放和管理，特制定以下规定：
二、范围 本规定明确了公司保安制服领用、发放范围，收费及折旧办法等。 三、职责 1.财务部负责公司制服的采购。 2.管理部内勤负责公司制服的保管、发放及制服发放名单的统计核实工作。 3.管理部负责员工着装的检查工作。 四、管理内容与要求 1.保安制服分类：共分夏装、春秋装、冬装三种，其中含附件有：帽子1顶， 腰带1条，领带1条；配饰有：硬肩章、软肩章、胸号、胸徽、帽徽及领带夹等。 1)夏装包括：短袖衬衣、夏裤。 2)春秋装包括：长袖衬衣、春秋套装。 3)冬装包括：棉衣。 2.特勤服分类：共分夏装、春秋装、冬装三种，其中含附件有：帽子1顶； 配饰有：肩章、背章、胸号、胸徽、腰带、帽徽等八件套。 1)夏装包括：短袖衬衣、夏裤。 2)春秋装包括：春秋套装。 3)冬装包括：棉衣。
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式
一、任意三角形外接圆半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示） 则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(2 22-=-+= +ab c b a （余弦定理） 而R b R b 22cos ==α，R b R 4sin 22 - = α R a R a 22cos ==β，R a R 4sin 2 2 - = β 即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 442222 22 - ? --? 即有：2 22222222) 4)(4(R a R b R ab ab c b a ---= -+ 所以：)4)(4()( 222222 222 a R b R ab c b a R ab --=-+- 即有：2222242 2224 2 2 2 2 2 )(416)( 4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])( 4[2 2222 2 ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：) )()()((a c b b c a c b a c b a abc R -+-+-+++= 而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：S abc R 4= ※ 另一求法，可用正弦定理，即：R A a 2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+= 所以： 2 222222 2222)(4) 2(12) (cos 12sin 2a c b c b abc bc a c b a A a A a R -+-= -+-= -==
三角形内心、外心专项训练
三角形内心、外心专项 训练 -CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1
内心相关知识 三角形内心、外心专项训练 一、判断题 在同一平面内， 在同一平面内， 三角形三条角平分线交于一点（三角形的内心） 1 、 2 、 3> 4 、 5 、 到三角形三边距离相等的点只有一个到三角形三 边所在直线距离相等的点只有一个 等腰三角形底边中点到两腰的距离相等 三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形 二、填空题 6、如图（1）,点P为△A8C三条角平分线交点，PD丄AB, PE丄BC, PF丄AC,则 PD __________ PE __________ PF. 7、如图（2） , P是ZAOB平分线上任意一点，II PD=2cm,若使P&2cm,则PE与 0B的关系是___________ . 8、如图（3） , CD为RtAAfiC斜边上的高，ZBAC的平分线分别交CD、CB于点￡, F, FG 丄AB,垂足为G,则CF _________________ F G, Z1+Z 3= ____________ 度，Z 2+Z 4= FG. Z 1+ Z 3= CF. 度，Z3Z4, CE 9.如右图，￡、D分别是&& BED、ZEDC的角平分线交于M 求证；A、M、W在 一条直线上. 证明：过点W作WF丄AB, NH丄ED, NKLAC 过 点M 作MJ丄BC, MPMQ丄AC V￡/V￥分Z8￡6 DN 平分ZEDC :.NF _________ NH, NH NK :.NF _________ NK 代W在ZA的平分线上 乂TBM 半分ZABC, CM 半分ZACB AC匕的一点, ZffiC. /BCD的角平分线交于点Z AM在ZA的_____________ 上 AM. W都在ZA的 _____________ 上 ：4、W在一条直线上 三、作图题 10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点 C
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法 江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 ? 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90° ∴AD ＝ D sin AB ＝?60sin 10＝33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 33 10 . ②已知两边夹一角 例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2 1 AC ＝1，AE ＝3， BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7 A B C O A B C O D A B C O D A B C O D E
圆内接正多边形和圆
正多边形和圆 教学目标： （1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理； （2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力； （3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想． 教学重点： 正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理． 教学难点： 对定理的理解以及定理的证明方法． 教学活动设计： （一）观察、分析、归纳： 观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？ 2．正方形的边、角各有什么性质？
归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点． 教师组织学生进行，并可以提问学生问题． （二）正多边形的概念： （1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形． （2）概念理解： ①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….） ②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等． （三）分析、发现： 问题：正多边形与圆有什么关系呢？ 发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？ （四）多边形和圆的关系的定理 定理：把圆分成n(n≥3)等份： 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形； (2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件． (3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形． （五）初步应用 P157练习 1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么? 2．求证：正五边形的对角线相等． （六）小结：
垂心、重心、内心、外心、旁心的定义和性质
垂心、重心、内心、外心、旁心的定义和性质 1.定义 垂心：三角形三条高的交点 重心：三角形三条中线的交点 内心：三角形三条内角平分线的交点即内接圆的圆心 外心：三角形三条边的垂直平分线的交点即外接圆的圆心 旁心：三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点 注意：正三角形中重心、垂心、外心、内心重合，这个点叫中心。 2.性质 垂心：1、锐角三角形垂心在三角形内部，直角三角形垂心在三角形直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外部。 2、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 3、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外 接圆半径之和的2倍。 4、从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。（西姆松线） 重心：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角 形面积平分。 4、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
5、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均， 即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐 标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/ 3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 内心：1、到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。 2、内心都在三角形的内部。 3、设三角形的三个顶点坐标分别为 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)，其对边长分别为 a,b,c，则内心坐标 I((ax_1+bx_2+cx_3)/(a+b+c),(ay_1+by_2+cy_3)/(a+ b+c)) 外心：1、到三角形三顶点的距离相等，都等于外接圆半径R。 2、直角三角形外心在斜边的中点，锐角三角形外心在内部， 钝角三角形外心在外部。 旁心：1、旁心到三边的距离相等。 2、三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。 3、直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半
三角形的外接圆与内切圆半径的求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 ? 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90° ∴AD ＝ D sin AB ＝?60sin 10＝ 33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 33 10 . ②已知两边夹一角 例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2 1 AC ＝1，AE ＝3， BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半 径的求法 江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全 、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边 例 1 已知：在厶 ABC 中，AB= 13，BC= 12, AC= 5 求厶ABC 的外接圆的半径. 解：??? AB= 13 , BC= 12, AC= 5, ??? A B= BC+ AC, ???/ C = 90°, ? AB %A ABC 的外接圆的直径， ? △ ABC 的外接圆的半径为 6.5. 2、一般三角形 ① 已知一角和它的对边 例 2 如图，在△ ABC 中，AB= 10,/ C= 100°, 求厶ABC 外接圆O O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边 AB 的直角三角形. 解：作直径BD 连结AD. 则/ D= 180°-/ C= 80°,/ BAD= 90° ? BD A B = 10 sin D sin80° ? △ ABC 外接圆O O 的半径为 5 sin80° 角形的外接圆的半径 例 3 如图，已知，在△ ABC 中，AB= 10,/ A_ 70°,/ B_ 50° 求厶ABC 外 接圆O O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题 . 解：作直径AD 连结BD. 则/ D=/ C_ 180°-/ CAB- / BAC= 60°,/ DBA_90° ? AD=^ _d _ 20.3 sin D sin 60* 3 ? △ ABC 外接圆O O 的半径为10?、3. 3 ② 已知两边夹一角 例 4 如图，已知，在△ ABC 中，AC_ 2, BC_ 3,/ C_ 60° 求厶ABC 外接圆O O 的半径. 分析：考虑求出 AB,然后转化为①的情形解题. 解：作直 径 AD 连结BD.作AE ± BC 垂足为E. 则/ DBA_ 90°,/ D_/ C_ 60°, CE_ - AC_ 1 , AE_、3 , 注：已知两边和其中一边的对角, 以及已知两角和一边, 都可以利用本题的方法求出三 C B C B
圆的内心与外心专题训练
序号72 设计者： 设计时间 ：2015、11、17 课题 三角形内心与外心 课型 习题课 教 学 目 标 知识目标 掌握基本图形的常用辅助线做法，会运用相关知识解决问题 能力目标 会从已知条件下找到问题解决思路。 一、目标导学，引入新课 1、学会内心的应用，以加深对三角形内切圆的理解。 2、复习三角形的内心、外心的定义、性质。 二、自主学习，合作交流 1、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE ，OF ，DE ，DF ， 那么∠EDF 等于 2、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，?则∠DOE= 3、如图，△ABC 中，∠BOC=140°，I 是内心，O 是外心，则∠BIC= 。 4、如图．在△ABC 中，AC=b ，AB=c ，BC=a 它的内切圆与AB 、BC 、AC 分别相切与E 、D 、F ，则AE=AF= ，BE=BD= ，CD=CF= 三、疑难点拨，因势利导 例题：如图，⊿ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心， 求证：①BD=CD=ID ； ②∠AIB =90°+2 1 ∠ACB ; I O B C F E D O A B C 图1E O I C B A
图4 E I D C O B A 变式1：如图2，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC. 变式2：如图3，若∠BAC =90°，AB=8，AC=6，求DI 、OI 的长。 变式3、如图3，若∠BAC =90°，DI=24，求⊙O 的半径。 变式4、如图4，若∠BAC =90°，IE ⊥AC 于E ，OB=R ，IE=r ， 求证：AD r R 2 2 =+ 四、练习检测，自我反思 1、如图3，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF∥AB，与AC 、BC 分别交于点E 、F 。 求证：EF=AE+BF A B C D I O E 图2 图3I D C O B A 图3 I D C O B A
三角形的外接圆及内切圆
三角形的外接圓及內切圓 學習階段：三 學習範疇：度量、圖形與空間範疇 學習單位：以演繹法學習幾何 基本能力： KS3-MS9-3 識別三角形的中線、垂直平分線、高線及角平分線簡介： 1.教師派發「三角形的外接圓及內切圓」工作紙。 2.學生利用Java檔案“Circle1.html”及“Circle2.html”去完成工作 紙。（此檔案需與其他在Circles.zip內的所有檔案放於同一folder 內才可執行，電腦亦需安裝了Java軟體。） 3.學生利用檔案“Circle1.html”，在Java的互動幾何的環境中， 拖拉一個圓的中心，令到圓通過其中兩個頂點。再透過電腦追蹤 中心點的軌跡，從而認識到圓心的軌跡是一條垂直平分線，再認 識到外接圓的中心是三條垂直平分線的相交點。 4.學生再利用檔案“Circle2.html”，在Java的互動幾何的環境 中，拖拉一個圓的中心，令到圓與其中兩條邊只相交於一點。再 透過電腦追蹤中心點的軌跡，從而認識到圓心的軌跡是一條角平 分線，再認識到內切圓的中心是三條角平分線的相交點。
學習單位：以演繹法學習幾何–「三角形的外接圓及內切圓」工作紙 三角形的外接圓及內切圓 題一：三角形的外接圓 開啟檔案“Circle1.html”，可看到以下畫面： 畫面顯示 ABC及一個通過B的圓，它的圓心O可被隨意拖拉到不同的位置。 1. 將O拖拉到不同的位置，令它通過B及C。電腦會以紅點記錄O的位置，並以紅 色虛線連起O及C，如圖1所示。 圖1 2. 若一個圓通過B及C，它的圓心O必須位於通過的 線上。
3. 將O拖拉到不同的位置，令它通過B及A。電腦會以綠點記錄O的位置，並以綠 色虛線連起O及A，如圖2所示。 圖2 4. 若一個圓通過B及A，它的圓心O必須位於通過的 線上。 5. 若一個圓通過A及C，它的圓心O必須位於通過的 線上。 6. 三角形的外接圓的圓心O是三角形的三條線的交點。 題二：三角形的內切圓 開啟檔案“Circle2.html”，可看到以下畫面： 畫面顯示 ABC及一個與AB只相交於一點的圓，它的圓心I可被隨意拖拉到不同的位置。
3.8 圆内接正多边形 教学设计
《圆内接正多边形》 教学目标为： 知识目标： （1）掌握正多边形和圆的关系； （2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念； （3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题； （4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形. 能力目标：学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，培养学生的概括能力和实践能力. 情感目标：通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识. 教学重点：掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算. 教学难点：正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题. 教学设计 第一环节课前准备 活动内容：社会调查（提前一周布置） 以4人合作小组为单位，开展调查活动： （1）各尽所能收集生活中各行各业、各学科中应用的各种正多边形形状的物体或照片. （2）对收集的其中最感兴趣的一件正多边形形状的物体进行研究. 第二环节情境引入 活动内容：各小组派代表展示自己课前所调查得到的正多边形形状的物体（可以是照片、资料、也可以是亲自仿制），并解说从中获取的知识（选3—4个小组代表讲解）
第三环节 圆内接正多边形的概念 活动内容：学习圆内接正多边形及有关概念 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆. 把一个圆n 等分（3≥n ），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形. 如图3－35，五边形ABCDE 是圆O 的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的中心；OA 是这个正五边形的半径；AOB ∠是这个正五边形的中心角；BC OM ⊥，垂足为M ，OM 是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义. 第四环节 例题学习 例：如图3－36，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4=OC ，BC OG ⊥，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距. 解：连接OD ∵六边形ABCDEF 为正六边形 ∴?=?=∠606 360COD ∴COD ?为等边三角形. ∴4==OC CD 在COG Rt ?中，4=OC ，2=CG ∴32=OG ∴正六边形ABCDEF 中心角为?60，边长为4，边心距为32. 第五环节 尺规作图 活动内容：1、用尺规作一个已知圆的内接正六边形. 2、用尺规作一个已知圆的内接正四边形. 3、思考：作正多边形有哪些方法？ 第六环节 练习与提高 活动内容：1、分别求出半径为6cm 的圆内接正三角形的边长和边心距.
三角形的内心和外心
三角形的内心和外心 一、提出问题 问题1（2013元调，10）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB与∠AOB的关系为（） A．∠AIB=∠AOB B. ∠AIB≠∠AOB C. 2∠AIB?1 2 ∠AOB=180° D. 2∠AOB?1 2 ∠AIB=180° 二、分析与解决问题 三、小结：四、拓展（同一三角形内心与外心→关联三角形内心与外心） 问题2（2014元调，10）如图扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，P为 ⌒ AD上任意一点（不与A、D重合）.PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ内心，过O、I、D三点的圆的半径为r，则当P在 ⌒ AD上运动时，r的值满足（） A. 0 五、巩固练习（线段关系运用） 1. BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点（不与B、C重合），I为△ABC的内心，BI、CI延长线分别交⊙O于E、F，IK⊥BC于K. 连EF交AB、AC于M、N，则下列结论： ①△AMN是等腰直角三角形；②E为△AIC外心； ③AB+AC=BC+√；④AB?AC=2BK?CK. 正确的是2．△ABC内接于⊙O，D为 ⌒ AB中点，AB=9，AC=6，且I为CD 上一点且DI=DA ①求证：I为△ABC内心. ②若IK⊥BC于K，求BK—CK的值. 3．⊙O中，AB是直径，D为半圆中点，C为 ⌒ BD上一 点. ①求证：AC?BC=√2CD. ②若I为△ABC内心，IP⊥AC于P，当CD=√2，IP=1 时，求S△ABC. C B A 三角形的内心和外心第2页，共2页 三角形的外接圆和内切圆 1、一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 2、下列说法正确的是（ ） A ．三点确定一个圆 B ．三角形有且只有一个外接圆 C ．四边形都有一个外接圆 D ．圆有且只有一个内接三角形 3.如右图，I 是ABC ?的内心，则下列式子正确的是（ ） A 、∠BIC=?180-2∠A B 、∠BIC=2∠A C 、∠BIC=?90+∠A/2 D 、∠BIC=?90-∠A/2 4、等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍． A ． 2 3 B ． 3 3 C ． 3 D ． 2 1 5.ABC ?外切于⊙O ，E 、F 、G 分别是⊙O 与各边的切点，则EFG ?的外心是ABC ?的 。 6.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ． 7. 等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为R r ,，则R r := ． 8.ABC ?的内切圆⊙I 与AB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F 点，且∠FID=∠EID=?135，则ABC ?为 9、设I 是△ABC 的内心，O 是△ABC 的外心 ，∠A=80°，则∠BIC= ，∠BOC= 。 10、．若三角形的三边长为5、12、13，则其外接圆的直径长等于 ，其内切圆的直径长为 。 11、如图11，⊙I 切△ABC 于D 、E 、F ，∠C=60°，∠EIF=100°，则∠B= 。 12、．如图12，⊙O 内切于Rt △ABC ，∠C=90°，D 、E 、F 为切点。若∠AOC=120°，则∠OAC= ， ∠B= ；若AB=2cm ，则AC= ,△ABC 的外接圆半径= ，内切圆半径= 。 13、如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50°求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 14.已知：如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，若 ∠FDE=70°，求∠A 的度数． A B C I E F 图11 A E B D O 图12 A B C O D · I A B C 圆内接正多边形 章节内容《圆内接正多边形》 时间班级九年级 课程标准了解正多边形与圆的关系；作圆的内接正方形和正六边形。 教材内容分析 本课内容是北师大版数学教科书九年级下册第三章第八节《圆内接正多边形》，是学生掌握了正多边形的相关知 识以及圆的性质。这些知识都将为本节的学习起着重要的铺垫作用。本节内容正多边形和圆也是今后进一步研究圆的性 质的基础，在教材中有着承上启下的重要地位。本节课从定性、定量的两个角度去讨论，挖掘蕴含的数学知识，把感性 认识转化成理性认识，具体到抽象，让学生主动参与，亲身 体验知识的发生与发展的过程。利用正多边形和圆的关系， 把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想。 学情分析 学生有自主学习的兴趣，但缺少思考的习惯，研究问题只停留在表层，另外学生之间的差距有点大，有的同学积极主动，有的则很被动，另外因年龄原因，课堂上氛围一般，不算积极踊跃。 教学设计整体 思路 根据《数学课程标准》中"要引导学生投入到探索与交流的学习活动中"的教学要求,本节课教学过程我是这样设计的:复习旧知;自学时光；例题讲解；探索新知；课堂小结；课堂检测六个教学环节 学习目标1.通过阅读课本能说出圆的内接正多边形的有关概念； 并会应用正多边形的知识进行有关的计算；2.经历作图，会利用等分圆的方法画圆的内接正方形和 正六边形。 评价设计随堂练习和课本习题以及能力提高检测本节课目标。 教学环节教学过程设计意图 环节1 复习旧知复习正多边形的定义和内角和以及外 角和等知识。 以复习旧知的形式引出 本节新课。 环节2 自学时光学生自主阅读课本总结圆内接多 边形的定义及相关概念。 概念性知识让学生自主 完成，培养学生的自学 能力。 环节3 例题讲解本环节一是检验学生学习状况，二是让学生产生一种利用新知解决问题的成就感，提升学生学习积极性. 环节4 探索新知圆内接正六边形的画法。 通过教师讲解，学生掌 握画正六边形的方法。 环节5 课堂小结本节课你学会了什么？ 学生谈论总结，回顾本 节课的内容。 环节6 课堂检测课堂检测习题 学生自主练习，检查本 节课的知识掌握情况。三角形的外接圆和内切圆
【教学设计】圆内接正多边形