《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第12章 强度理论

工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答

第12章 强度理论

12－1 对于建立材料在一般应力状态下的失效判据与设计准则，试选择如下合适的论述。

（A ）逐一进行试验，确定极限应力；

（B ）无需进行试验，只需关于失效原因的假说； （C ）需要进行某些试验，无需关于失效原因的假说； （D ）假设失效的共同原因，根据简单试验结果。 知识点：建立强度理论的主要思路 难度：一般 解答：

正确答案是 D 。

12－2 对于图示的应力状态（y x σσ>）若为脆性材料，试分析失效可能发生在：

（A ）平行于x 轴的平面； （B ）平行于z 轴的平面； （C ）平行于Oyz 坐标面的平面； （D ）平行于Oxy 坐标面的平面。 知识点：脆性材料、脆性断裂、断裂原因

习题12-2、12-3图

难度：难 解答：

正确答案是 C 。

12－3 对于图示的应力状态，若x y σσ=，且为韧性材料，试根据最大切应力准则，失效可能发生在：

（A ）平行于y 轴、其法线与x 轴的夹角为45°的平面，或平行于x 轴、其法线与y 轴的夹角为45°的平面内；

（B ）仅为平行于y 轴、法线与z 轴的夹角为45°的平面； （C ）仅为平行于z 轴、其法线与x 轴的夹角为45°的平面； （D ）仅为平行于x 轴、其法线与y 轴的夹角为45°的平面。 知识点：韧性材料、塑性屈服、屈服原因 难度：难 解答：

正确答案是 A 。

12－4 铸铁处于图示应力状态下，试分析最容易失效的是： （A ）仅图c ； （B ）图a 和图b ； （C ）图a 、b 和图c ； （D ）图a 、b 、c 和图d 。

知识点：脆性材料、脆性断裂、断裂准则

习题12-4、12-5图

难度：一般 解答：

正确答案是 C 。

12－5低碳钢处于图示应力状态下，若根据最大切应力准则， 试分析最容易失效的是： （A ）仅图d ； （B ）仅图c ； （C ）图c 和图d ； （D ）图a 、b 和图d 。

知识点：韧性材料、塑性屈服、屈服准则 难度：一般 解答：

正确答案是 B 。

2

2

23

1d 3r b 3r a 3r σ

σσσσσσ=

-=

-===

σ

σσσσσ=--=

-=

2

)

(2

3

1c 3r

所以图c 最危险。

12－6 韧性材料所处应力状态如图所示，根据最大切应力准则，试分析二者同时失效的条件是：

（A ）τσ>，3/2στ=； （B ）τσ<，3/4στ=；

（C ）τσ=； （D ）τσ>，3/2τσ=。

知识点：韧性材料、塑性屈服、屈服准则 难度：一般 解答：

正确答案是 A 。 左图：

τ

τσσ24223r >+= （1）

右图：σσ='，τσ=''，τσ-=''' ∴τσσ+=3r （2）

或τττσ2)(3r =--= （3）（由（1），此式舍去） 由（1）、（2），2

24τστσ+=+

∴

τ

σ2

3

=，显然τσ>

∴选：A 。

12－7 承受内压的两端封闭的圆柱状薄壁容器由韧性材料制成。试分析因压力过大表面出现裂纹时，裂纹的可能方向是：

（A ）沿圆柱纵向；

（B ）沿与圆柱纵向成45°角的方向； （C ）沿与圆柱纵向成30°角的方向； （D ）沿环向。

知识点：压力容器的应力分析、韧性材料、塑性屈服、屈服原因

A

45

难度：难 解答：

正确答案是 B 。，则环向应力为 t 1σσ=，m 2σσ=，03=σσσσστ=-=

-=

2

22

3

1max

45°。 12－8 承受内压的两端封闭的圆柱状薄壁容器，由脆性材料制成。试分析因压力过大表面出现裂纹时，裂纹的可能方向是：

（A ）沿圆柱纵向；

（B ）沿与圆柱纵向成45°角的方向； （C ）沿圆柱环向；

（D ）沿与圆柱纵向成30°角的方向。

知识点：压力容器的应力分析、脆性材料、脆性断裂、断裂原因 难度：一般 解答：

正确答案是 A 。

12－9 当韧性材料和脆性材料制成的两个两端封闭的圆柱形薄壁容器因内压发生失效时，试分析断口特征是：

（A ）二者断口均沿着纵截面；

（B ）二者断口均沿着横截面；

（C ）韧性材料容器断口平面平行于轴线并与圆周切线方向成45°角；脆性材料容器断口平面沿纵截面；

（D ）脆性材料容器断口平面平行于轴线并与圆周切线方向成45°角；韧性材料容器断口沿纵截面。

知识点：压力容器的应力分析、韧性材料、脆性材料、屈服断口、断裂断口

难度：一般 解答：

正确答案是 C 。 参见12-7解理由。

12－10 有人说，杆件受拉伸时有][1σσ≤的设计准则，现在又讲“对于韧性材料，应用最大切应力准则或形状改变比能准则”。试问二者是否矛盾？从这里可以得到什么结论？

知识点：最大切应力准则、形状改变比能准则 难度：一般 解答：

二者不矛盾，对于韧性材料，在平面拉伸时，01>σ，032==σσ，

]

[14r r3σσσσ<==。

12－11 对于纯切应力状态，若将设计准则写成][ττ≤，试确定两种情

形下许用切应力][τ与许用拉应力][σ之间的关系：

1．脆性材料； 2．韧性材料。 知识点：强度理论 难度：一般 解答：

纯剪应力状态时b 1τσ=，02=σ，b 3τσ-=

1．对于脆性材料，用最大拉应力理论的失效判据：b b στ= 则选][][στ=

][11r σσσ≤=，即][1στσ≤=

由 ][ττ≤，即][][τσ=

用最大伸长线应变理论b b b )0(σττ=--，b b 5.0στ=，则选][5.0][στ=，与最大剪应力理论相同。

2．对于韧性材料，用最大剪应力理论：

s

1τσ=，02=σ，s 3τσ-=

][2313r στσσσ≤=-=，即

]

[2

1στ≤

由 ][ττ≤，即

][21][στ=

由失效判据：s s s )(σττ=--，∴s s 5.0στ=，则选：][5.0][στ= 用歪形能理论失效判据

s

s 2132322214r 3])()()[(21στσσσσσσσ≤=-+-+-=

，s s 31στ≤

则选

]

[3

1][στ=

由][ττ=，则]

[577.0][3

1][σστ==

12－12 构件中危险点的应力状态如图所示。试选择合适的准则对以下两种情形作强度校核：

1．构件为钢制

x σ= 45MPa ，y σ= 135MPa ，z σ= 0，xy τ= 0，

拉伸许用应力][σ= 160MPa 。 2．构件材料为铸铁

x σ= 20MPa ，y σ= -25MPa ，z σ= 30MPa ，xy τ= 0，][σ= 30MPa 。

知识点：屈服准则、断裂准则 难度：一般 解答：

1．][MPa 135313r σσσσ<=-=强度满足。 2．][MPa 3011r σσσ===强度满足。

12－13 对于图示平面应力状态，各应力分量的可能组合有以下几种情形，试按最大切应力准则和形状改变比能准则分别计算此几种情形下的计算应力。

1．x σ= 40MPa ，y σ= 40 MPa ，xy τ= 60 MPa ； 2．x σ= 60MPa ，80-=y σMPa ，40-=xy τMPa ； 3．40-=x σMPa ，y σ= 50 MPa ，xy τ= 0；

习题12-12图

习题12-13图

4．x σ= 0，y σ= 0，xy τ= 45 MPa 。

知识点：最大切应力准则、形状改变比能准则 难度：一般 解答： 1．

60

40)2

(

2

2

2±=+-±+=

xy y

x y

x τσσσσσ

1σ= 100 MPa ，2σ= 0，203-=σMPa

120313r =-=σσσMPa

4.111)12020100(21

2224r =++=

σMPa

2．

2

22

2407010)2

(

2

+±-=++±+=

xy y

x y

x τσσσσσ

1σ= 70.6 MPa ，2σ= 0，6.903-=σMPa

2.161313r =-=σσσMPa

140)2.1616.906.70(21

2224r =++=

σMPa

3． 1σ= 50 MPa ，2σ= 0，403-=σMPa

903r =σMPa

1.78)904050(21

2224r =++=

σMPa

4． 45±=σMPa ，

∴ 1σ= 45 MPa ，2σ= 0，453-=σMPa

90

3r =σMPa

9.77)904545(21

2224r =++=

σMPa （9.7734r ==xy τσMPa ）

12－14 钢制零件上危险点的平面应力状态如图所示。已知材料的屈服应力s σ= 330MPa 。试按最大切应力准则，确定下列情形下是否发生屈服，并对于不屈服的情形确定它们的安全因数。

1．0σ= 207 MPa ； 2．0σ= 248 MPa ； 3．0σ= 290 MPa 。

知识点：最大切应力准则、形状改变比能准则 难度：一般 解答： 1．0σ= 207 MPa

103

207)2

(

2

2

2±-=++±+=

xy y

x y

x τσσσσσ

∴ 1σ= 0，1042-=σMPa ，3103-=σMPa

3103r =σMPa s σ<

065.1310330

s ==

n

2． 0σ= 248 MPa ；103248±-=σ ∴ 1σ= 0，1452-=σMPa ，3513-=σMPa

351

3r =σMPa s σ>

3． 0σ= 290 MPa 。

103290±-=σ

习题12-14、12-15图

∴ 1σ= 0，1872-=σMPa ，3933-=σMPa

3933r =σMPa s σ>

12－15 试根据形状改变比能准则，重解习题12－14。 知识点：形状改变比能准则 难度：一般 解答： 1．

273)310206104(21

])()()[(2

1

2222132322214r =++=-+-+-=

σσσσσσσMPa s σ<

21.1273330

s ==

n

2．

306)351206145(21

2224r =++=

σMPa s σ<

08.1306330

s ==

n

3．

341)393206187(21

2224r =++=

σMPa s σ>

12－16 钢制构件上危险点的平面应力状态如图所示。已知材料的屈服应力为s σ= 300 MPa 。试按形状改变比能准则，确定下列情形下是否发生屈服，并对于不发生屈服的情形确定它们的安全因数。

1．0τ= 60 MPa ； 2．0τ= 120 MPa ； 3．0τ= 130 MPa 。

知识点：形状改变比能准则

难度：一般

习题12-16、12-17图

解答： 1．0τ= 60 MPa

1

.781906050190)2

(

2

222

2±=+±=+-±+=

xy y

x y

x τσσσσσ

∴ 1σ= 268 MPa ，2σ= 112 MPa ，3σ= 0

233)268112156(21

2224r =++=

σMPa s σ<

29.1233300

s ==

n

2．0τ= 120 MPa

1301901205019022±=+±=σ

∴ 1σ= 320 MPa ，2σ= 60 MPa ，3σ= 0

295)32060260(21

2224r =++=

σMPa s σ<

02.1295300

s ==

n

3．0τ= 130 MPa

1391901305019022±=+±=σ

∴ 1σ= 329 MPa ，2σ= 51 MPa ，3σ= 0

307)32951278(21

2224r =++=

σMPa s σ>

12－17 试根据最大切应力准则重解习题12－16。 知识点：最大切应力准则 难度：一般 解答：

习题12-18图

1．268313r =-=σσσMPa s σ<

12.1268300

s ==

n

2． 3r σ= 320 MPa 3． 3r σ= 329 MPa

12－18 铝合金制成的零件上危险点处的平面应力状态如图所示。材料的屈服应力s σ= 250MPa 。试按下列准则分别确定其安全因数。

1．最大切应力准则； 2．形状改变比能准则。

知识点：最大切应力准则、形状改变比能准则 难度：一般 解答：

39

10536)2

12090(212090)2

(

222

22±=+-±+=

+-±+=

xy y

x y

x τσσσσσ

1σ= 144 MPa ，2σ= 66 MPa ，3σ= 0

1． 3r σ= 144 MPa

736.1144250

3s ==

n

2．

125)1446678(21

2224r =++=

σ

0.2125250

4s ==

n

12－19 铝合金制成的零件上危险点的平面应力状态如图所示。已知材料的屈服应力s σ= 250MPa 。试按下列准则分别确定其安全因数。

1．形状改变比能准则； 2．最大切应力准则。

知识点：最大切应力准则、形状改变比能准则 难度：一般 解答：

2.834536)230120(23012022

±=++±-=

σ

1σ= 128.2 MPa ，2.383-=σMPa ，2σ= 0

1．

151)2.1282.384.166(21

2224r =++=

σMPa

656.1151250

4s ==

n

2． 3r σ=166.4 MPa

50.14.166250

3s ==

n

12－20 铝合金制成的零件上某一点处的平面应力状态如图所示，其屈服应力s σ= 280MPa 。试按最大切应力准则确定。

1．屈服时的y σ的代数值； 2．安全因数为1.2时的y σ值。 知识点：最大切应力准则 难度：一般 解答： 1．

习题12-19图

①设：

2

21100)2

80(

2

80+-++=

y

y

σσσ

2

22100)2

80(

2

80+--+=

y

y

σσσ

3σ= 0 280

100)2

80(

2

80s 223r ==+-++=

σσσσy

y

得 y σ= 230 MPa ②设：

2

21100)2

80(

2

80+-++=

y

y

σσσ

2

σ= 0

2

23100)2

80(

2

80+--+=

y

y

σσσ

280

100)2

80(

2223r =+-=y

σσ

得 116-=y σMPa

∴ y σ= 230 MPa 或116-=y σMPa 2． 2

.1280100)2

80(

2

80223r =

+-++=

y

y

σσσ，y σ= 168 MPa 或

2

.1280100)2

80(

222313r =

+-=-=y

σσσσ，40-=y σMPa

∴ y σ= 168 MPa 或40-=y σMPa

12－21 铝铸件中危险点处的应力状态如图所示。已知材料的拉伸和压缩强度极限分别为

+

b

σ= 80MPa 和-b

σ= 200 MPa 。试用莫尔准则确定是否

发生失效，并确定其安全因数。

知识点：建立强度理论的主要思路

习题12-21图

难度：一般 解答： （a ）

7.761675)232

(23222±=+±=

σ

∴ 1σ= 92.7 MPa ，2σ= 0，7.603-=σMPa

117

)7.60(200807.923-b

b 1=--=-+

σσσσMPa

1684.011780

b <==

n ，失效

（b ）

755560)210010(21001022

±=+-±+=

σ

∴ 1σ= 130 MPa ，2σ= 0，203-=σMPa

138

)20(200801303-b

b 1=--=-+

σσσσMPa

1580.013880

b <==

n ，失效

12－22 两种应力状态分别如图a 和b 所示，若二者的σ、τ数值分别相等，且||||τσ>。试：

1．应用最大切应力准则分别计算两种情形下的计算应力3r σ； 2．应用形状改变比能准则，判断何者较易发生屈服，并写出它们的设计准则。

知识点：最大切应力准则、形状改变比能准则 难度：一般 解答：

1．（a ）

2

2)2

(2τσ

σ

σ+±=

2

2223r 4)2

(2τστσ

σ+=+=

（b ）τσ=2，τσ-=3

σ

σ=1

τσσ+=3r

2．（a ）]

[3224r στσσ≤+=

（b ）

][3])(4)[(21

222224r στστσττσσ≤+=+++-=

用形状改变比能，相当应力相同。

12－23 薄壁圆柱形锅炉容器的平均直径为1250mm ，最大内压强为23个大气压（1个大气压0.1MPa ），在高温下工作时材料的屈服应力s σ= 182.5MPa 。若规定安全因数为1.8，试按最大切应力准则设计容器的壁厚。

知识点：压力容器应力分析、最大切应力准则 难度：一般

解答：

t

pD

21=

σ，

t

pD 42=

σ，03=σ s

s 13][2n t pD

r σσσσ===

=

壁厚：

2.145

.18228

.112503.22][2s s =???=?==

σσn pD pD t mm

12－24 平均直径D = 1.8m 、壁厚δ= 14mm 的圆柱形容器，承受内压作用。若已知容器为钢制，其屈服应力s σ= 400MPa ，要求安全因数ns = 6.0。试分别应用以下准则确定此容器所能承受的最大内压力。

习题12-23解图

1．用最大切应力准则； 2．用形状改变比能准则。

知识点：压力容器应力分析与设计、最大切应力准则、形状改变比能准则

难度：一般 解答：

δ

σ21pD =

，

δ

σ42pD =

，03=σ 1．

s

s 3r ][2n pD

σσδσ=≤=

037.10

.618004001422s s =???=≤

Dn p δσMPa

2．

s

s 222

4r )2()4()4[(21n pD pD pD σδδδσ≤++=

s

s

43n pD σδ≤

197

.10

.61800340014434s

s =????=

≤

Dn p δσMPa

12－25 薄壁圆柱形容器受外压力作用，已知压力p = 15MPa ，圆柱外径D = 80mm ，材料的许用应力][σ= 160MPa 。试按形状改变比能准则确定容器壁厚δ。

知识点：压力容器应力分析与设计、形状改变比能准则 难度：一般 解答：

1．01=σ，

δ

σ42pD -

=，

δ

σ23pD -

=

][)2()4()4[(21222

4r σδδδσ≤++=

pD pD pD

][43σδ≤pD

25.3160480

153][43=???=≥

σδpD mm

2． 151-=σMPa ，

δ

σ42pD

-

=，

δ

σ23pD -

=

][)152()4()415[(21

2224r σδδδσ≤+-+++-=

pD pD pD 令

δ

4pD x =

，则上式变为：

2222][2)152()15(σ≤-++-x x x x = 99.774

x pD =δ4，00.3774.99480

154=??==x pD δmm

考虑压力容器内表面01=σ，所以仍取δ= 3.25mm 。

习题12-25图