高中数学 极限的概念素材

极限的概念（4月27日）

教学目的：理解数列和函数极限的概念；

教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；

教学难点：数列和函数极限的理解

教学过程：

一、实例引入：

例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地ann天截下的2）求前)1）求第，并分析变化趋势；天剩余的木棒长度（(尺进行下去。（n b(尺)木棒的总长度，并分析变化趋势。n

an无限趋近于观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数无限增大时，数列的项n aa Aa?可以任意地靠近，意指“无限趋近于常数A某个常数A无限趋近于0（即）。nnn an”即“动点，

希望它有多近就有多近，只要充分大，就能达到我们所希望的那么近。A n a?A可以任意小。到A的距离n二、新课讲授

1、数列极限的定义：

{a}an无限趋近于某个常数A的项一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列（即．．．．．nn a?A}{a无限趋近于，那么就说数列0）的极限是A，记作nn lima?A

nn??an?nn趋向于无∞”表示“”的极限等于A。注：①上式读作“当“趋向于无穷大时，n a A?lima?nn?A 无限增大的意思。∞时，有时也记作当穷大”，即nnn??②引例中的两个数列的极限可分别表示为

_____________________，____________________

③思考：是否所有的无穷数列都有极限？

例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

111123n，，…，，…；（2），，，…，，11 （），…；1?n432n32 n)10.(?，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，2（3）－2，－，－2，…，－2，…；n)?1(，…，，…；

（5）－1,1，－1

：注：几个重要极限1limC?C0lim?（C是常数）（1）（2）n?n?n??nn

)1(q?limq?01q?}{q：，即（3）无穷等比数列）的极限是0 （??n x??时函数的极限、当 21xy?画出函数的图像，观察当自变量（取正值且无限增大时，函数值的变化情1）x1

x?y y

趋向于正无穷大时，函数函数值无限趋近于0，这时就说，当况：x10lim?，记作：0的极限是x???x x取正值且无限增大时，如果函数一般地，当自变量x

O

x)(xy?f趋向于正无穷大时，就说当函的值无限趋近于一个常数A，limf(x)?A)(xy?f，记作：A 数的极限是x??????xf(x)?A时，也可以记作，当1x xy?无限增大时，函数取负值而（2的值无限趋）从图中还可以看出，当自变量x11xlim0??y，记作：的极限是近于0，这时就说，当趋向于负无穷大时，函数0xx??x?x x y?f(x)的值无限趋近于一，当自变量一般地无限增大时，如果函数取负值而limf(x)?A x)(?yfx，记作：，就说当A个常数趋向于负无穷大时，函数A的极限是???x

x???f(x)?A也可以记作，当时，1xy?的绝对值无限增大时，函数）从上面的讨论可以知道，当自变量的值都无（3x11x0?lim?y的极限是0，记作限趋近于0，这时就说，当趋向于无穷大时，函数xx??x xy?f(x)的值无限趋近于一个的绝对值无限增大时，如果函数一般地，当自变量limf(x)?A x)y?f(x的极限是常数A，就说当A趋向于无穷大时，函数，记作：x??x??f(x)?A 时，也可以记作，当xf(x)?Cf(x)?C C函数当自变量的绝对值无限增大时，是常数），（特例：对于函数xf(x)?C C，即趋向于无穷大时，函数的极限就是当的值保持不变，所以limC?C x??例2：判断下列函数的极限：

1xx lim10)(lim（1）2）（2??x???x?14lim lim（3

（4））2x?x???x

三、课堂小结、数列的极限 1?x?时函数的极限 2、当四、练习与作业、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限1111，，…，，…；（2））（11，7，7，7，…，7，…；

249n n)?1111(, ?,,?, ,）（3；n2482（4）2，4，6，8，…，2n，…；1，…；，…，，，）（ 50.10.010.001n10．

121,?,?1?，）0 （…，6，…；n3211111?n),(?1,?,7…，），…；（

1?4n322n149,,,…，），…；（85555n1??1)(…，2，…，, （9）－2, 0，－、判断下列函数的极限：2xx2.0lim.4lim1 2）（（1）???x???x1lim(?1)lim）4）（（3

4x??x?x?51xx)lim()lim(（（ 5）6）410????x?x?15lim lim）（7（8）21?x??x?x?补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点。（1）求证：MN⊥AB；P（2）若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为θ，

能否确定θ，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线？

若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。N AD M CB