平行四边形标准讲义

(1) 演变关系: (2) 从属关系:

（一）平行四边形的性质

1. 平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

2. 平行四边形的性质：

（1）平行四边形的对边平行且相等;

（2）平行四边形的对角相等, 邻角互补;

（3）平行四边形的对角线互相平分.

（4）平行四边形是中心对称图形, 对角线的交点是它的对称中心; 3. 平行四边形的面积

平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.

(二)平行四边形的判定

1. 平行四边形的判定方法5种：

从边看

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

从角看------ 两组对角分别相等

从对角线看---对角线互相平分

2. 三角形中位线定理

定义: 连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.

定理: 三角形的中位线平行于三角形的第三边, 并且等于第三边的一半.

结论: 三角形共有三条中位线, 并且它们又重新构成一个新的三角形其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一;

（三）矩形

1. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2. 矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质

（1）矩形对边平行且相等；（2）矩形四个角都是直角；(3) 矩形对角线互相平分且相等；

（4）矩形是轴对称图形, 有２条对称轴，对称轴是对边中点所在直线；是中心对称图形, 对称中心是两条对角线的交点.

3. 直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4. 矩形的判定方法

（1）有一个角是直角的平行四边形;

（2）有三个角是直角的四边形;

（3）对角线相等的平行四边形.

5. 矩形的面积公式（类比平行四边形）：矩形面积 = 底×高

（四）菱形

1. 定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2. 性质: 菱形具有平行四边形的一切性质：

（1）菱形四条边都相等;（2）菱形对角相等

（3）菱形对角线互相垂直平分, 并且每一条对角线平分一组对角；

（4）菱形是轴对称图形, 有２条对称轴，对称轴是对角线所在直线；是中心对称图形, 对称中心是两条对角线的交点.

3. 判定:（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）四条边都相等的四边形；

（3）对角线互相垂直的平行四边形；

4.菱形的面积:

（1）类比平行四边形面积公式: 底×高

1ab

（2）两条对角线乘积的一半.若a、b分别表示两条对角线的长, 则S菱形=

2

（五）正方形

1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2. 性质：（1）边-------四条边都相等, 对边平行;

（2）角-------四个角都相等且都是直角;

（3）对角线----①相等；②互相垂直平分；③每一条对角线平分

一组对角；

④两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形.

（4）是轴对称图形, 有4条对称轴；是中心对称图形, 对称中心是两条对角线的交点.

3. 判定：（1）先证它是矩形, 再证一组邻边相等；（2）先证它是菱形, 再证一个角是直角.

4. 面积：（1）正方形的面积等于边长的平方；

（2）正方形的面积等于两条对角线的乘积的一半.

结论：周长相等的四边形中, 正方形的面积最大.

（六）梯形知识点

1. 定义：一组对边平行, 另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

特殊梯形的定义：①等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；

②直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.

2. 等腰梯形的性质:（1）等腰梯形两腰相等, 两底平行；

（2）等腰梯形同一底上的两个角相等； （3）等腰梯形两条对角线相等；

（4）等腰梯形是轴对称图形,有一条对称轴, 过两底中点的直线

是它的对称轴.

3. 等腰梯形的判定:（1）定义：即先判定梯形, 再证明两腰相等；

（2）同一底上的两角相等的梯形； （3）对角线相等的梯形.

4. 梯形的中位线定理

（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． ※（2）结论：梯形的中位线平行于两底, 且等于两底和的一半. 5. 梯形的面积公式: （1）S =

2

1

(上底+下底) × 高 ※（2）S = 中位线×高

解决梯形问题常用的方法

在研究梯形的问题中, 常通过添加辅助线将其转化为三角形和特殊的四边形． 梯形中常用的辅助线： ① 平移腰 ② 作高 ③ 平移对角线 ④ 延长两腰

⑤ 有一腰中点时, 作另一腰的平行线

⑥ 有一腰中点时, 常把一底的端点与中点连接并延长, 与另一底的延长线相交 ⑦ 有底的中点时, 常过中点作两腰的平行线

练习1

1．菱形的定义：__________________

的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还有：菱形的四条边

______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是______________________________．

3. 若菱形的两条对角线长分别是6cm ，8cm ，则它的周长为______cm ，面积为______cm 2．

4. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果EF ＝2，那么菱形

ABCD 的周长是

5. 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4． 求：(1)∠ABC 的度数；(2)菱形ABCD 的面积．

A

B

C

D

E

A

B

C D

E

6、菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm ，求菱形的周长和面积

7、如图，已知四边形ABCD 是菱形，点E 、F 分别是边CD 、AD 的中点，求证：AE=CF

练习2

1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．

2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．

E F

D

C

B

A

3. 若正方形的边长为a ，则其对角线长为______

4、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．

5、如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE 、DG ，求证：BE=DG

6、已知：如图，正方形ABCD 中，点E 、M 、N 分别在AB 、BC 、AD 边上，CE ＝MN ， ∠MCE ＝35°，求∠ANM 的度数．

7．已知：如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，且AE ＝AB ，EF ⊥AC ，交BC 于

F ．求证：BF ＝EC ．

G

F

E

D

C

B

A

练习3

1．梯形有关概念：一组对边平行而另一组对边______的四边形叫做梯形，梯形中平行的两边叫做底，按______分别叫做上底、下底(与位置无关)，梯形中不平行的两边叫做______，两底间的______叫做梯形的高．一腰垂直于底边的梯形叫做

______；两腰______的梯形叫做等腰梯形．

2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=72°，∠C=36°，AD=6cm，BC=15cm，求CD 的长

3.在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，则梯形中位线的长等于多少

4. 如图所示，在直角梯形ABCD中，已知底AD=6cm，BC=11cm，腰CD=12cm，求

这个直角梯形的周长．D

C

B

A

练习题4

1. 等腰梯形的性质：等腰梯形中______的两个角相等，两腰______，两对角线

______，等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，______就是它的对称轴．

2．等腰梯形的判定：______的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角______的梯形是等腰梯形．

3. 等腰梯形的上、下底和腰分别是4cm、10cm和5cm，则此梯形的高为___________，面积为____________

4、等腰梯形两底之和是10，两底差是4，一底角是45°，则其面积是多少?

5、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，延长CB到E，使EB＝AD，连结

AE．求证：AE＝CA．

四边形期末复习

一、选填题

1、如图，在平行四边形ABCD中，∠A=130°，在AD上取DE=DC，则∠ECB的度数

是 .

2、如图，在ABCD 中，已知AB =9㎝，AD =6㎝，BE 平分∠ABC 交DC 边于点E ，则DE 等于

㎝.

3、已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ；④BC AD =．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ ）

（A ）6种 （B ）5种 （C ）4种 （D ）3种

4、如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，

DF BA ∥．下列四种说法： ①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠=，

那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形其中，正确的有 .（只填写序号）

5、 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AE ⊥BD 于E ，∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC =_______.

6、 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，若△ABC 的周长比△AOB 的周长大10cm ，则边AD 的长是_______.

7、如图,菱形ABCD 边长为4,∠A=60°,E 、F 分别为AD 、BD 的中点，点G 在DC 上，△EGF 的面积为 ．

8、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为（ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．3

1题

2题

5题 7题 8题

9、等腰梯形的下底是上底的3倍，上底与高相等，则下底角的度数为 .

10、等腰梯形中位线等于它的腰长，若腰长等于5，则等腰梯形的周长是 .

11、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，BD⊥CD于D，若梯形的周长为35cm，则AD的长为 cm.

12、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .

13、如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，2

CM=，点P是BD上一动点，则PM PC

+的最小值是 .

14、如图，平行四边形中，E是CD的中点，F是AE的中点，

FC与BE交于G．求证：GF＝GC．

15、若矩形ABCD的一条角平分线BE分AD边为5cm和4cm两部分，求BE长和矩形ABCD的面积.

C

D

E F

G

17、如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且＝

ED ，EF ⊥ED ．

求证：AE 平分∠BAD ．

18、Rt △ABC ，∠A=90°，∠B 的平分线交AC 于D ，自A 作BC 的垂线交BD 于E ，自D?作DF?⊥BC ，

求证：四边形AEFD 为菱形．

19、如图，已知ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交DC 于E ，DF BC ⊥于F ，交AE 于G ，且DF AD =.（1）试说明DE BC =；

（2）试问AB 与DG FC +之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由.

20、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AC ⊥BD ，过D 点作DE ∥AC 交BC 的延长线于E 点。

(1)求证：四边形ACED 是平行四边形； (2)若

AD=3，BC=7，求梯形ABCD 的面积；

21、在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；

(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的1

6；

(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

23、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CD=10，AB=5，∠ADC=60°，求梯形的腰长.

24、已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC＝BC＋AD．求∠DBC的度数．

25、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2．点O是AC的中点，过点O的

直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE ∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．

(1)①当α＝______°时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为______；

②当α＝______°时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为______；

(2)当α＝90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．