三角函数的图像和性质(含答案)
三角函数的图像和性质
1．函数）
6
2sin(21π
+=
x y 的单增区间是___________. 【答案】Z k k k ∈??
?
??
?+
-
6,3
πππ
π
2．函数y ＝cos 24x π?
?
-
??
?
的单调递增区间是________． 【答案】388k k ππππ??
????
-
＋，＋(k ∈Z)
3．函数3sin(2)3
y x π
=+图象的对称中心是_______．
【答案】(,0)32
k π
π
-
+
4．若函数f(x)=sin(ωx+6π)（ω>0）的最小正周期是5
π
，则ω=_________。
【答案】10
5．函数)4
tan()(π
+=x x f 单调增区间为（ ）
A ．Z k k k ∈+
-
),2,2(π
πππ B ．Z k k k ∈+),,(πππ
C ．Z k k k ∈+-),4,43(ππππ
D ．Z k k k ∈+-),4
3,4(π
πππ 【答案】C
6．下列函数中周期为π且为偶函数的是 （ ） A ．)22sin(π
-=x y B. )22cos(π
-=x y C. )2
sin(π
+=x y D. )2
cos(π
+
=x y
【答案】A
7．设函数()sin(2)3
f x x π
=+
，则下列结论正确的是
A ．()f x 的图像关于直线3
x π
=对称 B ．()f x 的图像关于点(
,0)4
π
对称
C ．()f x 的最小正周期为2π
D ．()f x 在[0,]12
π
上为增函数 【答案】D
8．如果函数)4
cos(ax y +=π
的图象关于直线π=x 对称，则正实数a 的最小值是( )
A ．41=
a B ．21=a C ．4
3
=a D ．1=a
【答案】C
9．已知ω>0，0<φ<π，直线x =4π和x =54
π是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=( ) （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）34
π
【答案】A 【解析】
试题分析：函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴间的距离等于半个周期，所以2,1T πω==.由
sin()14π?+=得4
π
?=满足0?π<<，故选A.
考点：三角函数的图象及其性质. 10．若当4
x π
=
时，函数()sin()(0)f x A x A ?=+>取得最小值，则函数(
)4
y f x π
=-是（ ）
Ａ．奇函数且图像关于点(
,0)2
π
对称 Ｂ．偶函数且图像关于直线2
x π
=
对称
Ｃ．奇函数且图像关于直线2
x π
=对称 Ｄ．偶函数且图像关于点(
,0)2
π
对称
【答案】D
【解析】由题意知sin()14
π
?+=-，即324
k π
?π=-
； 函数3(
)sin(2)cos 444
y f x A x k A x π
ππ
π=-=-+-=-，所以是偶函数且图像关于点(,0)2π对称.
11．函数()sin 24f x x π?
?
=-
??
?
在区间[0,
]2
π
上的最小值是
A ．-l B
．2 C
．2
- D ．0 【答案】C
【解析】因为[0,]2x π
∈，所以32[,],444x πππ??-∈- ???
因此()sin 2[42f x x π?
?=-∈- ???即函数最小
值是
-
.
12．函数y ＝2sinx 26
3x π
π??≤≤ ???的值域是________．
【答案】[1，2]
【解析】根据正弦函数图象，可知x ＝
6π时，函数取到最小值1；x ＝2
π
时，函数取到最大值2. 13．当7,66x ππ??
∈?
???
时，函数23sin 2cos y x x =--的最小值是_______，最大值是________。
【答案】
7,28
【解析】71,,sin 1,662
x x ππ??∈-≤≤?
???2
2sin sin 1,y x x =-+ 当1sin 4x =
时，min 78y =；当1
sin 1,2
x =-或时，max 2y = 14．已知函数)sin()(?ω+=x A x f ),0,0(π?πω<<->>A 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )
A ．)421sin(2)(π
+
=x x f
B ．)4321sin(2)(π
+=x x f
C ．)421sin(2)(π
-=x x f
D ．)4
321sin(2)(π
-=x x f
【答案】B
【解析】由图象可知函数的最大值为2，最小值为-2，所以2A =; 由图象可知函数的周期324,22T πππ????=?--= ?
????
?所以221
=42T ππωπ== 所以，
13-+==2224πππ?????∴ ???，所以函数的解析式为：)4
321sin(2)(π
+=x x f 故答案选B. 考点：三角函数的图象与性质.
15．函数()si ()n f x A x ω?＝＋（000A ω?π>><<，，)的图象如图所示，则(0)f 的值为 （ ）
A ．1
B ．0
C ．2
D ．3 【答案】A
【解析】由已知，4112,(),2,3126
A T ππ
πω==?-==，所以()2sin 2()f x x ?＝＋， 将(
),26π
代人得，()2,s 2si in(6)1n 23ππ??==?＋＋，所以，,326
πππ
??==＋， ()2sin 2(0)2sin 2(),(01662s n 6
)i f x x f πππ
?==＝＋＝＋，故选A ．
考点：正弦型函数，三角函数求值．
16．已知函数()sin()f x x ω?=+的图象如图所示，则(2)f = ．
x y
O 1112
π
6
π
2
2-
第15题图
【答案】【解析】根据38312,,43T T =-==解出3
π4ω=，过点（1，1），所以33sin()1,,
442
πππ??+=+=π
4?=-，
因此(2)f =35sin(
2)sin 4442
πππ?-==- 考点：三角函数的图象 17．将函数sin()6
y x π
=+的图像向左平移π个单位，则平移后的函数图像（ ）
(A)关于直线π3x =
对称 (B)关于直线π
6
x =对称 (C)关于点π03
?? ???
，
对称 (D)关于点π
06
?? ???
，对称 【答案】A
18．将函数 ()sin 26f x x π??=+
??
?
的图像向右平移
6
π
个单位后，所得的图像对应的解析式为（ ）
A ．y =sin 2x
B ．y =cos 2x
C ．y =sin(2)6x π-
D ．y =2sin(2)3
x π+ 【答案】C
【解析】根据三角函数图像变换规律：左正右负，因此图像向右平移6π
个单位，所以
)62sin(]6)6(2sin[π
ππ-=+-=x x y ，选C.
考点：三角函数图像变换 19．要得到)4
2sin(3π
+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象（ ）
A ．向左平移
4π个单位 B ．向右平移4π
个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8
π
个单位
【答案】C
【解析】因为3sin(2)3sin 2()48y x x π
π=+
=+，所以要得到)4
2sin(3π
+=x y 的图象只需将
3sin 2y x =的图象向左平移
8
π
个单位。故C 正确。 考点：三角函数图像的伸缩平移。
20．将函数f(x)＝sin(3x ＋
4π)的图象向右平移3π个单位长度，得到函数y ＝g(x)的图象，则函数y ＝g(x)在[3
π
，23
π
]上的最小值为 ．
【答案】2
-
【解析】由函数平移的规律可得函数3()sin[3()]sin(3)344g x x x π
ππ=-
+=-，因为233
x ππ
≤≤
，可得
3534
44
x x π
ππ
≤-
≤
，结合图象可得最小值为5sin 42π=-． 考点：三角函数的图象和性质
21． 已知函数()y f x =，将()f x 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，然后把所得的图象沿着x 轴向左平移2π
个单位，这样得到的是1sin 2
y x =的图象，那么函数()y f x =的解析式是( ) A.1()sin 222x f x π??=
- ??? B. 1()sin 222f x x π?
?=+ ??? C. 1()sin 222x f x π??=
+ ??? D. 1()sin 222f x x π?
?=- ??
? 【答案】D
【解析】由题意曲线与y=1 /2 sinx 的图象沿x 轴向右平移π /2 个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到y=f （x ）的图形，故y=1/ 2 sinx 的图形沿x 轴向右平移π 2 个单位所得图形对应的函数解析式为y=1 /2 sin(x-π /2 )，然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的一半，所得的图形对应的解析式为y=1/ 2 sin(2x-π/ 2 ) 故选D
22．将函数()3sin(2)6
g x x π
=+图像上所有点向左平移
6
π
个单位，再将各点横坐标缩短为原来的12倍，得
到函数f(x)，则（ ）
A ．f(x)在(0)4π，单调递减
B ．f(x)在3()44ππ
，单调递减
C ．f(x)在(0)4π，单调递增
D ．f(x)在3()44
ππ
，单调递增
【答案】A
【解析】将函数()3sin(2)6
g x x π
=+
图像上所有点向左平移
6
π个单位，得
3sin[2(x )]3cos 2x 66y ππ
=++=，再将各点横坐标缩短为原来的1
2倍，得()3cos 4x f x =，当
x (0,)4
π
∈时，4x (0,)π∈，因为cos y t =递减，而t 4x =，故函数()f x 递减，故选A.
考点：三角函数的图象和性质.
23．已知函数)6
2sin(2π
-
=x y .
（1）写出它的振幅、周期、频率和初相； （2）求这个函数的单调递减区间；
（3）求出使这个函数取得最大值时，自变量x 的取值集合，并写出最大值。 【答案】（1）振幅2，周期π，频率
1π，初相6π-（2）()5,36k k k z ππππ??
++∈????
（3）当
,3
x k k z
π
π=
+∈，函数有最大值2y =
【解析】（1）振幅2，周期2,2T ππ==，
频率11f T π==，初相6π-（2）令3
222262
k x k πππππ+≤-≤+整理得
536k x k π
πππ+≤≤+（3）函数最大值为2，此时需满足22,623
x k x k k Z πππ
ππ-=+∴=+∈ 考点：三角函数性质
24．已知函数()sin(3)(0,0)f x A x A ??π=+><<在12
x π
=时取得最大值4．
(1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的解析式； (3)若[,0]4
x π
∈-
,求()f x 的值域.
【答案】(1)
23
π;(2)()4sin(3)4f x x π
=+;(3)[4,-.
【解析】（1）3
22π
ω
π
=
=
T (2)()412
f x x π
Q =
在时取得最大值,432,()12
2
A k k Z π
π
?π∴=?
+=
+∈且
2,(),0()4sin(3)4
44
k k Z f x x π
π
π
?π?π?Q =
+∈<<∴=
∴=+即又
（3）[,0]4
x π
∈-
时，3[,]4
24
x π
ππ
+
∈-
1sin(3)42x π-≤+≤
44sin(3)4
x π
-≤+≤()f x 的值域为[4,-
考点：1.由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2.三角函数的周期性及其求法． 25．已知函数),0,0)(sin()(π?ω?ω<>>+=A x A x f 的图象的一个最高点为),2,12
(π
-与之相邻的与x 轴
的一个交点为).0,6
(π
（1）求函数)(x f y =的解析式；
（2）求函数)(x f y =的单调减区间和函数图象的对称轴方程；
（3）用“五点法”作出函数)(x f y =在长度为一个周期区间上的图象.
【答案】（1）()22sin 23
f x x π?
?=+
??
?
（2）()5,1212k k k Z ππππ??-
++∈????
，()122k x k Z ππ=-+∈.
（3）见解析
【解析】⑴由题意，2A =，
46124T πππ??=--= ???，所以T =π，所以2ω
π
=π，2ω=． 所以()()2sin 2f x x ?=+，将,212π??- ???代入，得sin 16?π??
-+= ???，因为?<π，所以3?2π=，
所求函数解析式为()2sin 23f x x 2π?
?=+ ??
?．
⑵由
()3222232k x k k π2ππ+π++π∈Z ≤≤，得51212
k x k ππ
-+π+π≤≤， 所以函数的单调减区间是()5,1212k k k ππ??-+π+π∈????
Z ．
由()232x k k 2ππ+=+π∈Z （k ∈Z ）
，得122
k x ππ=-+， 所以函数图象的对称轴方程为()122
k x k ππ
=-+∈Z ．
⑶
1）列表 x 3π- 12π-
6π 125π 3
2π
223x π+ 0 2π π 2
3π
2π y 0 2 2-
0 2 13分 2）描点画图
16分
考点：1.求三角函数解析式；2.三角函数的性质；3.五点作图法.