中考数学折叠问题专项突破4--折叠中直角三角形存在性问题

中考数学折叠问题专项突破4--折叠中直角三角形存在性问题

模块四 图形折叠中的直角三角形存在性问题

【典例1】如图例3-1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为

图例3-1

图例3-2

图例3-3

【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过观察及分析可知∠BED =∠DEF =60°，所以∠AEF =180－120°=60°. 即点E 不可能为直角顶点. 分两种情况考虑：①当∠EAF =90°时，如图例3-2所示.∵∠B =30°，BC =3，∴

30AC tan BC =??=

?2AB AC =，∵∠EAF =90°∴∠AFC =60°，∠CAF =30°

在Rt △ACF 中，有：cos AF AC CAF =÷∠÷

，24BF AF == 由折叠性质可得：∠B =∠DFE =30°，1

22

BD DF BF ==

= ②当∠AFE =90°时，如图例3-3所示.由折叠性质得：∠B =∠DFE =30°，1

22

BD DF BF ==

=

∴∠AFC =60°，∠F AC =30°∴tan 1CF FAC AC =∠?=

=，所以，BF =2，1

12

BD DF BF ==

=，综上所述，BD 的长为2或1. 【小结】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：①遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发

点在于直角顶点的位置；②解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题.

【典例2】如图例4-1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．

图例4-1 图例4-2 图例4-3

【解析】此题以“当△CEB′为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况，即点B′及点E分别为直角顶点.分两种情况考虑：

①当∠CEB′=90°时，如图例4-2所示.

由折叠性质得：AB=AB′，四边形ABE B′是矩形.所以四边形ABE B′是正方形.此时，BE=AB=3.

②当∠CB′E=90°时，如图例4-3所示.

由折叠性质知，∠AB′C=90°，所以∠AB′C+∠CB′E=180°.∴点A、B′、C共线

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=5

由折叠得：AB= AB′=3

所以B′C=2

设BE=x，则B′E=x，EC=4－x

在Rt△ABC中，由勾股定理得：EC2=B′E2+B′C2

即：（4-x）2=x2+22 解得：x=1.5.

综上所述，BE的值为3或1.5.

【小结】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形，要求学生掌握三点共线的理由，折叠的性质及勾股定理的应用.

【典例3】如图例5-1，在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AB AC =，1BC =

+，点M ，N 分别是边

BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ?为

直角三角形，则BM 的长为 ．

图例5-1

图例5-2

图例5-3

【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论. ①当∠CM B ′=90°时，如图例5-2所示.

由折叠知：∠BMN =∠B ′MB =45°，又因为∠B =45°，所以∠BNM =90°，∠MNB ′=90° 即∠BNM +∠MN B ′=180°，所以B 、N 、B ′三点共线，此时B ′与点A 重合.

所以，12BM BC =

= ①当∠CB ′M =90°时，如图例5-3所示.

由折叠知∠B =∠B ′=45°，因为∠C =45°，可得∠B ′MC =45°，所以△B ′MC 是等腰直角三角形

设BM = B ′M =x ，B ′C =x ，则MC =

因为BC ，所以x x +1 解得：x =1，即BM =1.

综上所述，BM 或1. 【小结】根据题意判断C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形三边关系求解.

【典例4】如图例6-1，在∠MAN =90°，点C 在边AM 上，AC =4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A’BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称. D 、E 分别为AC 、BC 的中点，连接DE 并延长交A’B 所在直线于点F ，连接A’E . 当△A’EF 为直角三角形时，AB 的长为

.

图例6-1图例6-2图例6-3

【解析】分两种情况讨论.

①当∠A’FE=90°时，如图例6-2所示.

∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE是三角形ABC的中位线，即DE∥BA

∴∠A’BA=90°，∴四边形AB A’C为矩形

由折叠得AC=A’C，∴四边形AB A’C为正方形，即AB=AC=4.

②当∠A’EF=90°时，如图例6-3所示.

∵∠A’EF=∠CDE=90°，∴A’E∥CD，∴∠DCE=∠CEA’

由折叠知：∠DCE=∠A’CE，∴∠CEA’=∠A’CE，∴A’C=A’E=4

又∵E是BC中点，即A’E是Rt△A’BC的中线，∴BC=2A’E=8

在Rt△A’BC中，由勾股定理得，A’B=

由折叠性质得：AB= A’B=.

综上所述，AB的长为4或.

【小结】利用中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定，用勾股定理求解.

1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为

【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在R t△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如图2．此时ABEB′为正方形．

【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，

在R t△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC，

∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，

当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，

∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，

∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，

在R t△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=3

2

，∴BE=

3

2

；

②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上BE长为3

2

或3

【小结】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．

2、如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，

PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则AD

DF

的值为

A ．

1113

B ．

1315

C ．

1517

D ．

1719

【分析】根据折叠的性质可得出DC =DE 、CP =EP ，由∠EOF =∠BOP 、∠B =∠E 、OP =OF 可得出△OEF ≌△OBP （AA S ），根据全等三角形的性质可得出OE =OB 、EF =BP ，设EF =x ，则BP =x 、DF =4﹣x 、BF =PC =3﹣x ，进而可得出AF =1+x ．在R t △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得出答案． 【解析】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．

在△OEF 和△OBP 中，∵90EOF BOP B E OP OF ∠∠∠∠=??

==???=?

，∴△OEF ≌△OBP （AA S ），∴OE =OB ，EF =BP ．

设EF =x ，则BP =x ，DF =DE ﹣EF =4﹣x ．

又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC ﹣BP =3﹣x ，∴AF =AB ﹣BF =1+x ．

在R t △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即（1+x ）2+32=（4﹣x ）2，解得：x =0.6，∴DF =4﹣x =3.4，∴

15

17

AD DF =．故选C ． 【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF =1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．

3、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，BE Q是CD上一动点，将△CEQ沿直线EQ折叠后，点C落在点P处，连接P A．点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，当P A的长度最小时，CQ的长为（）

A．3B．3C．3

2

D．3

【解析】如图所示：

在R t△ABE中，AE=．∵BC=3，BE=，∴EC=3-．

由翻折的性质可知：PE=CE=3-．

∵AP+PE≥AE，∴AP≥AE-PE．

∴当点A、P、E一条直线上时，AP有最小值．

∴AP=AE-PE=2-（3-）=3-3．故选A．

4、如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把矩形沿AE 折叠，使点B 落在点B '处．当CEB '?为直角三角形时，BE 的长为____________．

【分析】当△CEB ′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B ′落在矩形内部时，如答图1所示．

连结AC ，先利用勾股定理计算出AC =10，根据折叠的性质得∠AB ′E =∠B =90°，而当△CEB ′为直角三角形时，只能得到∠EB ′C =90°，所以点A 、B ′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B ′处，则EB =EB ′，AB =AB ′=6，可计算出CB ′=4，设BE =x ，则EB ′=x ，CE =8-x ，然后在R t △CEB ′中运用勾股定理可计算出x ．

②当点B ′落在AD 边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB ′为正方形． 【解析】由题意知，需分两种情况讨论：

①当90CB E ?'∠=时，如图1，由折叠得，90AB E B ?'∠=∠=，AB AB '=， ∴180AB C ?'∠=，∴,,A B C '三点共线．在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =， ∴5AC =．∵AB AB 3'==，∴2B C AC AB ''=-=． 设BE x =，则4CE BC BE x =-=-，B E x '=，

在Rt B CE '?中，222B E B C CE ''+=，即222

2(4)x x +=-，解得32

x =

． ②当90B EC ?'∠=时，如图2，由折叠可知ABE AB E '??≌， ∴BE B E '=，90B AB E ?'∠=∠=，

∴四边形ABEB '是正方形，∴3BE AB ==．综上，当CEB '?为直角三角形时，BE 的长为

3

2

或3． 【小结】考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．

5、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为_____．

【分析】利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题．（注意有两种情形）

【解析】如图，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，

∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，

在R t△BCE中，EC==

∴CF＝CE＝，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD﹣CF＝6﹣

当点F在DC的延长线上时，易知EF⊥EF′，CF＝CF′＝，∴DF＝CD+CF′＝

【小结】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE的等腰三角形，属于中考常考题型．

6、如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =45°，AB =4，点P 为线段AB 上一动点，过点P 作PE ⊥AB 交直线AD 于点E ，将∠A 沿PE 折叠，点A 落在F 处，连接DF ，CF ，当△CDF 为直角三角形时，线段AP 的长为__________．

【分析】分两种情形讨论：①如图1，当DF ⊥AB 时，△CDF 是直角三角形；②如图2，当CF ⊥AB 时，△DCF 是直角三角形，分别求出即可．

【解析】分两种情况讨论：①如图1，当DF ⊥AB 时，△CDF 是直角三角形． ∵在菱形ABCD 中，AB =4，∴CD =AD =AB =4．

在R t △ADF 中，∵AD =4，∠DAB =45，DF =AF ，∴AP 1

2

=AF = ②如图2，当CF ⊥AB 时，△DCF 是直角三角形．

在R t △CBF 中，∵∠CFB =90°，∠CBF =∠A =45°，BC =4，∴BF =CF ，∴AF AP 12

=

AF =2AP 2

【小结】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，正确画出图象，注意分类讨论的思想，属于中考常考题型．