数学实验概率论与数理统计分册习题1

数学实验

概率论与数理统计分册习题

第1章古典概率

2．碰运气能否通过英语四级考试

大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种综合考试,具有一定难度。这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、写作等。除写作占15分外,其余85道为单项选择题,每道题附有A、B、C、D 四个选项。这种考试方法使个别学生产生碰运气和侥幸心理,那么,靠运气能通过英语四级考试吗?

解：假设学生作文得满分，即15分，85道选择题每道题都靠蒙，即每道题做对的概率为1/4，得60分则通过考试。

则该同学通过考试的概率为：

4540 45

????

? ?

????

>> nchoosek(85,40)*(1/4)^45*(3/4)^40

ans =

2.3448e-008

即：8

2.344810-

由此可见，即使该同学作文满分，靠运气通过考试的概率也是如此的低，所以可以认为靠运气不能通过英语四级考试。

3.在区域H＝{(x，y)| (x，y)∈Q，x2+y2≤1}，Q＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}上考虑计算二重积分（利用Monte-carlo法）：

dxdy

) sin(

解：积分区域如右图所示：

6.某糖果生产厂将产品包装成500克一袋出售，在众多因素的影响下包装封口后一袋的重量是随机变量，设其服从正态分布N(m ，b 2)，其中b 已知，m 可以在包装时调整，出厂检验时精确地称量每袋重量，多余500克的仍按500克一袋出售，因而厂家吃亏；不足500克的降价处理，或打开封口返工，或直接报废，这样厂方损失更大，问如何调整m 的值使得厂方损失最小？

解：假设b=1

【实验方案】

1．设定x 为产品包装后的重量，依题意x 为一随机变量，且服从正态分布N(m ，b 2)，概率密度函数为：

2)(21

)(b m x e b x f --=π，（－∞0为已知，m 待定。

当成品重量M 给定后，记：

P ＝P(x≥M)＝()M f x dx ∞

P ’＝P( x

故而有： P ＋P’＝1

由以上分析，可将上式的第一项作为目标函数J(m)：

J(m)＝)(m P m ，P(m)表示概率P ＝P(x≥M)是m 的函数分析题意可知，厂方损失Y 由两部分组成：

（1）x≥L 时，多余部分，重量为（x －L ）；

（2）x

Y ＝()()()M

M x M f x dx xf x dx ∞-∞-+??＝m －MP 2．上式中的Y 即为没生产一袋糖果所损失的平均重量，所以生产N 袋糖果，得到N P 袋成品，损失总重量为（mN －MN P ），因此每得到一袋成品所损失糖果的平均重量J 1为：

2 J 1＝mN MPN m M PN P

-=-

3．求函数J(m)的最小值点即可。

4．问题的简化：设F(x)为正态分布N(m ，b 2)的分布函数，Φ(x)为标准正态分布的分布函数，则，

J(m)＝)(m P m ＝1()m F M -＝1()m M m b

--Φ 令c ＝b m ，d ＝M b

，z ＝d －c 则上式可简化为： J(z)＝

1()M bz z --Φ 【实验过程】

1．生成目标函数：

在Matlab 的Medit 建立文件Jmin ．m ：

function J=Jmin(m)

J=m/(1-normcdf( (500-m),0,1));

2．画目标函数的图形：

在Matlab 的Medit 窗口建立文件figer ．m ：

for m=5000:0.001:510

J=Jmin(m);

plot(m,J)

hold on

end

运行结果为：