中考数学专题题库∶圆的综合的综合题
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．
【答案】（1）证明见解析（2）23
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF?DA，据此解答即可．
【详解】
（1）如图所示，连接OD．
∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD
=，∴OD⊥BC．
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．
又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．
（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．
∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即
∠BED=∠DBE，∴BD=DE．
又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DB
DB DA
=，即DB2=DF?DA．
∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF?DA=12，∴DB=DE=23．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
2．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）30.
【解析】
【分析】
（1）由等角的转换证明出OCA OCE ??≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ?为等边三角形，而得出60BOE ∠=?，根据三角形内角和即可求出答案.
【详解】
（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，
∴OE CD ⊥，
∴90CEO ∠=?，
又∵OC BE ，
∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA
∵OE=OB ，
∴OEB OBE ∠=∠，
∴COE COA ∠=∠，
又∵OC=OC ，OA=OE ，
∴OCA OCE SAS ??≌（）
， ∴90CAO CEO ∠=∠=?，
又∵AB 为⊙O 的直径，
∴AC 为⊙O 的切线；
（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，
∴OF=OB=BF=EF ，
∴OE=OB=BE ，
∴OBE ?为等边三角形，
∴60BOE ∠=?，
而OE CD ⊥，
∴30D ∠=?．
故答案为30．
【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.
3．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接PA ，PB ，PC ．将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P'CB 的位置.
(1)设AB 的长为a ，PB 的长为b(b (2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长. 【答案】(1) S 阴影=(a 2-b 2)；(2)PC=6. 【解析】 试题分析：（1）依题意，将△P′CB 逆时针旋转90°可与△PAB 重合，此时阴影部分面积=扇形BAC 的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积． （2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C 是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC 的长． 试题解析：（1）∵将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P′CB 的位置， ∴△PAB ≌△P'CB ， ∴S △PAB =S △P'CB ， S 阴影=S 扇形BAC -S 扇形BPP′=（a 2-b 2）； （2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB ≌△CP′B ， ∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°， ∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32； 又∵∠BP′C=∠BPA=135°， ∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形． PC==6． 考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质． 4．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作AC、CB、BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点． （1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为； （2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积； （3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为（请用含n的式子表示） 【答案】（1）3π；（2）27π；（3）3． 【解析】 试题分析：（1）先求出AC的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论；（2）先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可； （3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O 重合旋转一周点I 的路径，再用圆的周长公式即可得出． 试题解析：解：（1）∵等边△ABC 的边长为3，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°， AC BC AB ==，∴AC BC l l ==AB l =603180π?=π，∴线段MN 的长为AC BC AB l l l ++=3π．故答案为3π； （2）如图1．∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π， 由题意知，AB ⊥DE ，AG ⊥AF ，∴∠BAG =120°，∴S 扇形BAG =2 1203360 π?=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S 矩形AGHF +S 扇形BAG ）=3（6π+3π）=27π； （3）如图2，连接BI 并延长交AC 于D ．∵I 是△ABC 的重心也是内心，∴∠DAI =30°， AD =12AC =32，∴OI =AI =32 30AD cos DAI cos ∠=? =3，∴当它第1次回到起始位置时，点I 所经过的路径是以O 为圆心，OI 为半径的圆周，∴当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为n ?2π?3=23n π．故答案为23n π． 点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出AC 的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I 第一次回到起点时，I 的路径，是一道中等难度的题目． 5．如图，AC 是⊙O 的直径，OB 是⊙O 的半径，PA 切⊙O 于点A ，PB 与AC 的延长线交于点M ，∠COB ＝∠APB ． （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）当MB ＝4，MC ＝2时，求⊙O 的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】 【分析】 （1）根据题意∠M +∠P ＝90°，而∠COB ＝∠APB ，所以有∠M +∠COB ＝90°，即可证明PB 是⊙O 的切线. （2）设圆的半径为r ,则OM =r +2,BM=4,OB =r ,再根据勾股定理列方程便可求出r . 【详解】 证明：（1）∵AC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ， ∴PA ⊥OA ∴在Rt △MAP 中，∠M +∠P ＝90°，而∠COB ＝∠APB ， ∴∠M +∠COB ＝90°， ∴∠OBM ＝90°，即OB ⊥BP ， ∴PB 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 的半径为r ， 2OM r ∴=+ ,OB r = ,4BM = OBM ?为直角三角形 ∴222OM OB BM =+ ，即222(2)+4r r += 解得：r ＝3， ∴⊙O 的半径为3． 【点睛】 本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径，另一种是证明半径垂直. 6．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是弧AB 上任一点（点P 不与A 、B 重合），连AP ，BP ，过C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M ， （1）求证：△PCM 为等边三角形； （2）若PA ＝1，PB ＝2，求梯形PBCM 的面积． 【答案】（1）见解析；（21534 【解析】 【分析】 （1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM 为等边三角形； （2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM 为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可． 【详解】 （1）证明：作PH ⊥CM 于H ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠APC=∠ABC=60°， ∠BAC=∠BPC=60°， ∵CM ∥BP ， ∴∠BPC=∠PCM=60°， ∴△PCM 为等边三角形； （2）解：∵△ABC 是等边三角形，△PCM 为等边三角形， ∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA ， ∴∠BCP=∠ACM ， 在△BCP 和△ACM 中， BC AC BCP ACM CP CM =??∠=∠??=? ， ∴△BCP ≌△ACM （SAS ）， ∴PB=AM ， ∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3， 在Rt △PMH 中，∠MPH=30°， ∴PH=332 ， ∴S 梯形PBCM = 12（PB+CM ）×PH=12×（2+3）×33=1534． 【点睛】 本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题． 7．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，过点C 的切线交AB 的延长线于点F ，连接DF . （1）求证：DF 是O 的切线； （2）连接BC ，若30BCF ∠=?，2BF =，求CD 的长. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】 【分析】(1) 连接OD,由垂径定理证OF 为CD 的垂直平分线，得CF=DF ，∠CDF=∠DCF ，由∠CDO=∠OCD ，再证∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，可得OD ⊥DF ，结论成立. (2) 由∠OCF=90°, ∠BCF=30°，得∠OCB=60°，再证ΔOCB 为等边三角形，得∠COB=60°，可得∠CFO=30°，所以FO=2OC=2OB ，FB=OB= OC =2，在直角三角形OCE 中，解直角三角形可得CE,再推出CD=2CE. 【详解】（1）证明：连接OD ∵CF 是⊙O 的切线 ∴∠OCF=90° ∴∠OCD+∠DCF=90° ∵直径AB ⊥弦CD ∴CE=ED ，即OF 为CD 的垂直平分线 ∴CF=DF ∴∠CDF=∠DCF ∵OC=OD ， ∴∠CDO=∠OCD ∴∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90° ∴OD ⊥DF ∴DF 是⊙O 的切线 （2）解：连接OD ∵∠OCF=90°, ∠BCF=30° ∴∠OCB=60° ∵OC=OB ∴ΔOCB 为等边三角形， ∴∠COB=60° ∴∠CFO=30° ∴FO=2OC=2OB ∴FB=OB= OC =2 在直角三角形OCE 中，∠CEO=90°∠COE=60° CE 3sin COE OC ∠== ∴CF 3= ∴CD=2 CF 23= 【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形. 解题关键点：熟记切线的判定定理，灵活运用含有30°角的直角三角形性质，巧解直角三角形. 8．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ k CQ +=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“K 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ=BQ ，2AQ k CQ = （或2BQ CQ ）． 已知在平面直角坐标系xoy 中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C 的半径为r ． （1）如图1，当2r =时， ①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，求k 的值． ②A 2(1+2，0)是否为⊙C 的“2相关依附点”． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当r=1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值． ②当3k =时，求r 的取值范围． （3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围． 【答案】（1）2．②是；（2）①3k = ②r 的取值范围是12r <≤；（3） 333b -<． 【解析】 【分析】 （1）①如图1中，连接AC 、1QA ．首先证明1QA 是切线，根据2AQ k CQ =计算即可解决问题； ②根据定义求出k 的值即可判断； （2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与 C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，根据定义计算即可； ②如图3中，若直线QM 与C 不相切，设直线QM 与C 的另一个交点为N （不妨设 QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=，2CQ ，推出2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，可得当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设C 经过点Q ，此时2r ，因为点Q 早C 外，推出r 的取值范围是12r <； （3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <．当2r 时，C 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<． 【详解】 （1）①如图1中，连接AC 、1QA ． 由题意：1OC OQ OA ==，∴△1QA C 是直角三角形，190CA Q ∴∠=?，即 11CA QA ⊥，1QA ∴是C 的切线，12222QA k QC ∴= == ②2(12,0)A +在C 上，2212122 k +∴==，2A ∴是C 的“2相关依附点”． 2 （2）①如图2，当1r =时，不妨设直线QM 与C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥． (1,0)Q -，(1,0)C ，1r =，2CQ ∴=，1CM =，∴3MQ =，此时 23MQ k CQ ==； ②如图3中，若直线QM 与C 不相切，设直线QM 与C 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=，2CQ =， ∴2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ += ==，∴当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设C 经过点Q ，此时2r ，点Q 早C 外，r ∴的取值范围是12r <． （3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <． 当2r 时，C 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =+经过点Q 时，3b =3y x b =-+经过点E 时，33b =，∴满足条件的b 的取值范围为333b -<． 【点睛】 本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A （或点 )B 是C 的“k 相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题． 9．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在CB 的延长线上，连结AC 、AE ，∠ACB =∠BAE =45°． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若AB=AD，AC=32，tan∠ADC=3，求BE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 5 2 BE= 【解析】试题分析：（1）连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论；（2）过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD，得到∠ACD=∠ACB=45°，在Rt△AFC中可求得AF ＝3，在Rt△AFD中求得DF＝1，所以AB＝AD＝10，CD= CF+DF=4，再证明 △ABE∽△CDA，得出BE AB DA CD =，即可求出BE的长度； 试题解析： （1）证明：连结OA，OB， ∵∠ACB=45°， ∴∠AOB=2∠ACB= 90°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=45°， ∵∠BAE=45°， ∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°， ∴OA⊥AE． ∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：过点A作AF⊥CD于点F，则∠AFC=∠AFD=90°．∵AB=AD， ∴AB =AD ∴∠ACD=∠ACB=45°， 在Rt△AFC中， ∵AC=32∠ACF=45°， ∴AF=CF=AC·sin∠ACF =3， ∵在Rt △AFD 中， tan ∠ADC=3AF DF =， ∴DF =1， ∴223110AB AD ==+=， 且CD = CF +DF =4， ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ABE =∠CDA ， ∵∠BAE =∠DCA ， ∴△ABE ∽△CDA ， ∴ BE AB DA CD =， ∴1010 =， ∴52BE = ． 10．如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ． （1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标； （2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线． 【答案】(1) B （ ，2）．(2)证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）在Rt △ABN 中，求出AN 、AB 即可解决问题； （2）连接MC ，NC ．只要证明∠MCD=90°即可 试题解析：（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2）， ∴AN=4， ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：NB=，∴B（，2）． （2）连接MC，NC ∵AN是⊙M的直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°， 在Rt△NCB中，D为NB的中点， ∴CD=NB=ND， ∴∠CND=∠NCD， ∵MC=MN， ∴∠MCN=∠MNC， ∵∠MNC+∠CND=90°， ∴∠MCN+∠NCD=90°， 即MC⊥CD． ∴直线CD是⊙M的切线． 考点：切线的判定；坐标与图形性质．