一级倒立摆的Simulink仿真设计

单级倒立摆稳定控制

直线一级倒立摆系统在忽略了空气阻力及各种摩擦之后，可抽象成小车和匀质摆杆组成的系统，如图1所示。 mg

θ

杆长为 2u

图1 直线一级倒立摆系统

图2 控制系统结构 假设小车质量M =0.5kg ，匀质摆杆质量m=0.2kg ，摆杆长度2l =0.6m ，x (t )为小车的水平位移，θ为摆杆的角位移，2

/8.9s m g =。控制的目标是通过外力u (t)使得摆直立向上（即0)(=t θ）。该系统的非线性模型为： u ml x

m M ml mgl x ml ml J +=++=++22)sin ()()cos (sin )cos ()(θθθθθθθ ，其中231ml J =。 解：

一、 非线性模型线性化及建立状态空间模型

因为在工作点附近（0,0==θ

θ ）对系统进行线性化，所以 可以做如下线性化处理：

32sin ,cos 13!2!θθθθθ≈-≈-

当θ很小时，由cos θ、sin θ的幂级数展开式可知，忽略高次项后， 可得cos θ≈1，sin θ≈θ，θ’^2≈0；

因此模型线性化后如下：

（J+ml^2）θ’’+mlx ’’=mgl θ (a)

ml θ’’+(M+m) x ’’=u (b) 其中23

1ml J = 取系统的状态变量为,,,,4321θθ ====x x x

x x x 输出T x y ][θ=包括小车位移和摆杆的角位移.

即X=????????????4321x x x x =?????

???????''θθx x Y=??????θx =??????31x x 由线性化后运动方程组得

X1’=x ’=x2 x2’=x ’’=m m M mg 3)(43-+-x3+m

m M 3)(44-+u X3’ =θ’=x4 x4’=θ’’=ml l m M g m M 3)(4)(3-++x3+ml

l m M 3)(43-+-u 故空间状态方程如下：

X ’=????????????'4'3'2'1x x x x =?????????????????

?-++-+-03)(4)(300100003)(4300

0010ml l m M g m M m m M mg ????????????4321x x x x + ????????

??????????-+--+ml l m M m m M 3)(4303)(440 u X ’=????????????'4'3'2'1x x x x =????????????-01818.31001000

06727.20000

10

????????????4321x x x x + ????????????-5455.408182.10 u

Y= ??????31x x =??????01000001 ?????

???????4321x x x x 二、通过Matlab 仿真判断系统的可控与可观性，并说明其物理意义。

（1）判断可控性

代码：

A=[0 1 0 0;

0 0 -2.627 0;

0 0 0 1;

0 0 31.1818 0];

B=[0;1.8182;0;-4.5455];

P=ctrb(A,B);

n=rank(P);

运行了得n= 4

所以P 为满秩，系统能控

（2）判断可观性

代码：

A=[0 1 0 0;

0 0 -2.627 0;

0 0 0 1;

0 0 31.1818 0];

B=[0;1.8182;0;-4.5455];

C=[1 0 0 0;

0 0 1 0];

P=obsv(A,C);

n=rank(P);

运行了得n= 4

所以P 为满秩，系统能观。

三、能否通过状态反馈任意配置系统的极点？若能，通过Matlab 仿真确定反馈控制规律K （如图2），使得闭环极点配置在j ±-=-=-=1,2,14.321λλλ上。并给出系统在施加一个单位脉冲输入时状态响应曲线；

答： 因为系统完全能控，所以能通过状态反馈任意配置系统的极点。

要将闭环极点配置在j ±-=-=-=1,2,14.321λλλ上，所以期望特征方程为

|λI —(A-BK)|=（λ+1）*（λ+2）*(（λ+1）^2+1）

=λ^4+5λ^3+10λ^2+10λ+4

Matlab求解K如下：

A=[0 1 0 0;

0 0 -2.627 0;

0 0 0 1;

0 0 31.1818 0];

B=[0;1.8182;0;-4.5455];

J=[-1 -2 -1+i -1-i];

K=place(A,B,J);

运行得：

K=[ -0.089378 -0.22345 -9.0957 -1.1894];

未加入极点配置。

仿真图：

未进行极点配置仿真电路图（1）X的响应图：

Θ的响应图：

配置后：

加入极点配置仿真图（2）X的响应图：

Θ的响应图：

四、用MatLab中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的K。要求用LQR控制算法控制倒立摆摆动至竖直状态，并可以控制倒立摆左移和右移；

欲对系统进行最优状态反馈设计，及小化性能指标为：

J=1

2∫[X T QX+U T RU]

∞

dt

编写matalab程序如下：A=[0 1 0 0;

0 0 -2.627 0;

0 0 0 1;