高中物理简谐运动的图像和公式导学案教科版选修讲义全

简谐运动的图像和公式

[目标定位] 1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息．

一、简谐运动的图像

1．坐标系的建立：以横坐标表示时间，纵坐标表示位移，描绘出简谐运动中振动物体离开平衡位置的位移x 随时间t 变化的图像，称为简谐运动的图像(或称振动图像)．

2．图像形状：严格的理论和实验都证明所有简谐运动的运动图像都是正弦(或余弦)曲线． 3. 由简谐运动图像，可找出物体振动的周期和振幅．

想一想 在描述简谐运动图像时，为什么能用薄板移动的距离表示时间？

答案 匀速拉动薄板时，薄板的位移与时间成正比，即x ＝vt ，因此，一定的位移就对应一定的时间，这样匀速拉动薄板时薄板移动的距离就能表示时间．

二、简谐运动的表达式

x ＝A sin(ωt ＋φ)

其中ω＝2πT ，f ＝1

T

，综合可得

x ＝A sin(

2π

T

t ＋φ)＝A sin(2πft ＋φ)．

式中A 表示振动的振幅，T 和f 分别表示物体振动的周期和频率．物体在不同的初始位置开始振动，φ值不同． 三、简谐运动的相位、相位差 1．相位

在式x ＝A sin(2πft ＋φ)中，“2πft ＋φ”这个量叫做简谐运动的相位．

t ＝0时的相位φ叫做初相位，简称初相．

2．相位差

指两振动的相位之差．

一、对简谐运动图像的认识 1．形状：正(余)弦曲线 2．物理意义

表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律． 3．获取信息

(1)简谐运动的振幅A 和周期T ，再根据f ＝1

T

求出频率．

(2)任意时刻质点的位移的大小和方向．如图1－3－1所示，质点在t 1、t 2时刻的位移分别为x 1和－x 2.

图1－3－1

图1－3－2

(3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图1－3－2中a 点，下一时刻离平衡位置更远，故a 此刻质点向x 轴正方向振动．

(4)判断质点的速度、加速度、位移的变化情况：若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小． 注意：振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹．比如弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一直线，而它的振动图像却是正弦曲线．

图1－3－3

【例1】 如图1－3－3所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( ) A ．由P →Q ，位移在增大 B ．由P →Q ，速度在增大 C ．由M →N ，位移先减小后增大 D ．由M →N ，加速度先增大后减小

解析 由P →Q ，位置坐标越来越大，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A 正确，选项B 错误；由M →N ，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因此位移先减小后增大，由a ＝F m ＝－kx m

可知，加速度先减小后增大，选项C 正确，选项D 错误．

答案 AC

借题发挥 简谐运动图像的应用

(1)可以从图像中直接读出某时刻质点的位移大小和方向、速度方向、加速度方向、质点的最大位移．

(2)可比较不同时刻质点位移的大小、速度的大小、加速度的大小．

(3)可以预测一段时间后质点位于平衡位置的正向或负向，质点位移的大小与方向，速度、加速度的大小和方向的变化趋势．

针对训练1 一质点做简谐运动，其位移x 与时间t 的关系图像如图1－3－4所示，由图可知( )

图1－3－4

A ．质点振动的频率是4 Hz

B ．质点振动的振幅是2 cm

C ．t ＝3 s 时，质点的速度最大

D ．在t ＝3 s 时，质点的振幅为零

解析 由题图可以直接看出振幅为2 cm ，周期为4 s ，所以频率为0.25 Hz ，所以选项A 错误，B 正确；t ＝3 s 时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C 正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移，与质点的位移有着本质的区别，t ＝3 s 时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm ，所以选项D 错误． 答案 BC

二、简谐运动的表达式与相位、相位差

做简谐运动的物体位移随时间t 变化的表达式

x ＝A sin(2πft ＋φ)

1．由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A ，频率f 和初相φ.可根据T ＝1

f

求周期，

可以求某一时刻质点的位移x .

2．关于两个相同频率的简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的理解 (1)取值围：－π≤Δφ≤π.

(2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相． Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相． (3)Δφ>0，表示振动2比振动1超前． Δφ<0，表示振动2比振动1滞后．

【例2】 一个小球和轻质弹簧组成的系统按x 1＝5sin ? ????8πt ＋π4cm 的规律振动． (1)求该振动的周期、频率、振幅和初相．

(2)另一简谐运动的表达式为x 2＝5sin ? ????8πt ＋54πcm ，求它们的相位差．

解析 (1)已知ω＝8π rad/s，由ω＝2πT 得T ＝1

4

s ，

f ＝1T ＝4 Hz.A ＝5 cm ，φ1＝π

4

.

(2)由Δφ＝(ωt ＋φ2)－(ωt ＋φ1)＝φ2－φ1得，Δφ＝54π－π

4＝π.

答案 (1)14 s 4 Hz 5 cm π

4

(2)π

针对训练2 有两个振动，其表达式分别是x 1＝4sin ? ????100πt ＋π3cm ，x 2＝

5sin ? ????100πt ＋π6cm ，下列说确的是

( ) A ．它们的振幅相同

B ．它们的周期相同

C ．它们的相位差恒定

D ．它们的振动步调一致

解析 由简谐运动的公式可看出，振幅分别为4 cm 、5 cm ，故不同；ω都是100π rad/s，所以周期(T ＝2πω)都是150 s ；由Δφ＝(100πt ＋π3)－(100πt ＋π6)＝π6得相位差(为π

6)

恒定；Δφ≠0，即振动步调不一致． 答案 BC

简谐运动的图像

图1－3－5

1．如图1－3－5表示某质点简谐运动的图像，以下说确的是( ) A ．t 1、t 2时刻的速度相同

B．从t1到t2这段时间，速度与位移同向

C．从t2到t3这段时间，速度变大，位移变小

D．t1、t3时刻的回复力方向相反

解析t1时刻振子速度最大，t2时刻振子速度为零，故A不正确；t1到t2这段时间，质点远离平衡位置，故速度、位移均背离平衡位置，所以二者方向相同，则B正确；在t2到t3这段时间，质点向平衡位置运动，速度在增大，而位移在减小，故C正确；t1和t3时刻质点在平衡位置，回复力为零，故D错误．

答案BC

图1－3－6

2．装有砂粒的试管竖直静立于水面，如图1－3－6所示，将管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则如图所示描述试管振动的图像中可能正确的是( )

解析试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移．故正确答案为D.

答案 D

简谐运动的表达式

3．一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin 2.5πt，位移y的单位为m，时间t的单位为s.则( )

A．弹簧振子的振幅为0.2 m

B．弹簧振子的周期为1.25 s

C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零

D ．若另一弹簧振子B 的位移y 随时间变化的关系式为y ＝0.2 sin ? ????2.5πt ＋π4，则振动A 滞后B π

4

解析 由振动方程为y ＝0.1 sin2.5πt ，可读出振幅A ＝0.1 m ，圆频率ω＝2.5π，故周期T ＝2πω＝2π2.5π＝0.8 s ，故A 、B 错误；在t ＝0.2 s 时，振子的位移最大，故速度最小，

为零，故C 正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt ＋π4－2.5πt ＝π

4

，即B 超前

A π4，或说A 滞后

B π4

，选项D 正确．

答案 CD

4．物体A 做简谐运动的振动方程是x A ＝3sin ? ????100t ＋π2 m ，物体B 做简谐运动的振动方程

是x B ＝5sin ? ????100t ＋π6 m ．比较A 、B 的运动( )

A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，

B 的振幅是10 m B ．周期是标量，A 、B 周期相等，都为100 s

C ．A 振动的频率f A 等于B 振动的频率f B

D ．A 的相位始终超前B 的相位π

3

解析 振幅是标量，A 、B 的振动围分别是6 m,10 m ，但振幅分别为3 m,5 m ，A 错；A 、B 的周期均为T ＝2πω＝2π100 s ＝6.28×10－2

s ，B 错；因为T A ＝T B ，故f A ＝f B ，C 对；Δφ＝φA

－φB ＝π

3，为定值，D 对．

答案 CD

题组一 简谐运动的图像

1．关于简谐运动的图像，下列说法中正确的是( ) A ．表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线

B ．由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移大小与方向

C ．表示质点的位移随时间变化的规律

D ．由图像可判断任一时刻质点的速度方向

解析 振动图像表示位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A 错，C 对；由振动图像可判断质点位移和速度大小及方向，B 、D 正确． 答案 BCD

2．如图1－3－7所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说确的是( )

图1－3－7

A ．振动周期是2×10－2

s

B ．第2个10－2

s 物体的位移是－10 cm C ．物体的振动频率为25 Hz D ．物体的振幅是10 cm

解析 振动周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－2

s ．又f ＝1T

，所以f ＝25 Hz ，则A 项错误，C 项正确；正、负最大值表示物

体的振幅，所以振幅A ＝10 cm ，则D 项正确；第2个10－2

s 的初位置是10 cm ，末位置是0，根据位移的概念有x ＝－10 cm ，则B 项正确． 答案 BCD

图1－3－8

3．一质点做简谐运动的振动图像如图1－3－8所示，则该质点( ) A ．在0～0.01 s ，速度与加速度同向 B ．在0.01 s ～0.02 s ，速度与回复力同向 C ．在0.025 s 时，速度为正，加速度为正 D ．在0.04 s 时，速度最大，回复力为零

解析 F 、a 与x 始终反向，所以由x 的正负就能确定a 的正负．在x －t 图像上，图线各点切线的斜率表示该点的速度，由斜率的正负又可确定v 的正负，由此判断A 、C 正确． 答案 AC

4．图1－3－9甲所示为以O 点为平衡位置，在A 、B 两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是( )

图1－3－9

A．在t＝0.2 s时，弹簧振子可能运动到B位置

B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同

C．从t＝0到t＝0.2 s的时间，弹簧振子的动能持续地增加

D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同

答案 A

图1－3－10

5．如图1－3－10所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说确的是( )

A．在第1 s，质点速度逐渐增大

B．在第1 s，质点加速度逐渐增大

C．在第1 s，质点的回复力逐渐增大

D．在第4 s质点的动能逐渐增大

E．在第4 s质点的势能逐渐增大

F．在第4 s质点的机械能逐渐增大

解析在第1 s，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第4 s，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒，选项B、C、D正确．

答案BCD

6．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t 关系的图像是( )

解析 根据F ＝－kx 及牛顿第二定律得a ＝F m ＝－k m

x ，当振子具有沿x 轴正方向的最大加速度时，具有沿x 轴负方向的最大位移，故选项A 正确，选项B 、C 、D 错误． 答案 A

图1－3－11

7．图1－3－11为甲、乙两单摆的振动图像，则( )

A ．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l 甲∶l 乙＝2∶1

B ．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l 甲∶l 乙＝4∶1

C ．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g 甲∶g 乙＝4∶1

D ．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g 甲∶g 乙＝1∶4

解析 由图像可知T 甲∶T 乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l 甲∶l 乙＝4∶1；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g 甲∶g 乙＝1∶4. 答案 BD

8．如图1－3－12甲、乙所示为一单摆及其振动图像，由图回答：

图1－3－12

(1)单摆的振幅为________，频率为________，摆长约为________；图中所示周期位移x 最大的时刻为____________．

(2)若摆球从E 指向G 为正方向，α为最大摆角，则图像中O 、A 、B 、C 点分别对应单摆中的________点．一个周期加速度为正且减小，并与速度同方向的时间围是________．势能

增加且速度为正的时间围是________．

解析 (1)由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为 3 cm.从横坐标可直接读取完成一个全振动的时间即周期T ＝2 s ，进而算出频率f ＝1T ＝0.5 Hz ，算出摆长l ＝gT

2

4π2＝1 m.

从题图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5 s 末和1.5 s 末．

(2)题图中O 点位移为零，O 到A 的过程位移为正，且增大，A 处最大，历时1

4周期，显然摆

球是从平衡位置E 起振并向G 方向运动的，所以O 点对应E 点，A 点对应G 点．A 点到B 点的过程分析方法相同，因而O 、A 、B 、C 点对应E 、G 、E 、F 点．摆动中EF 间加速度为正，靠近平衡位置过程中速度逐渐减小且加速度与速度方向相同，即从F 到E 的运动过程对应题图中C 到D 的过程，时间围是1.5 s ～2 s ．摆球远离平衡位置势能增加，即从E 向两侧摆动，又因速度为正，显然是从E 到G 的过程．对应题图中为O 到A 的过程，时间围是0～0.5 s.

答案 (1)3 cm 0.5 Hz 1 m 0.5 s 末和1.5 s 末 (2)E 、G 、E 、F 1.5 s ～2 s 0～0.5 s 题组二 简谐运动的表达式与相位、相位差

9．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm ，周期为0.5 s ，初始时具有负方向最大加速度，则它的振动方程是( )

A ．x ＝8×10－3

sin ? ????4πt ＋π2m

B ．x ＝8×10－3

sin ? ????4πt －π2m

C ．x ＝8×10－1

sin ? ????πt ＋32πm

D ．x ＝8×10－1

sin ? ????4π

t ＋π2m

解析 ω＝2πT ＝4π，当t ＝0时，具有负向最大加速度，则x ＝A ，所以初相φ＝π

2，表达

式为x ＝8×10－3

·sin ? ????4πt ＋π2m ，A 对．

答案 A

10．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sin π

4t ，，则质点( )

A ．第1 s 末与第3 s 末的位移相同

B ．第1 s 末与第3 s 末的速度相同

C ．第3 s 末与第5 s 末的位移方向相同

D ．第3 s 末与第5 s 末的速度方向相同

解析 根据x ＝A sin π

4t 可求得该质点振动周期为T ＝ 8 s ，则该质点振动图像如右图所

示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s 末和第3 s 末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A 正确，B 错误；第3 s 末和第5 s 末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C 错误，D 正确． 答案 AD

11．一个质点做简谐运动的图像如图1－3－13所示，下列叙述中正确的是( )

图1－3－13

A ．质点的振动频率为4 Hz

B ．在10 s 质点经过的路程为20 cm

C ．在5 s 末，质点做简谐运动的相位为32

π

D ．t ＝1.5 s 和t ＝4.5 s 两时刻质点的位移大小相等，都是 2 cm

解析 由振动图像可直接得到周期T ＝4 s ，频率f ＝1

T

＝0.25 Hz ，故选项A 错误；一个周期

做简谐运动的质点经过的路程是4A ＝8 cm,10 s 为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm ，

选项B 正确；由图像知位移与时间的关系为x ＝A sin(ωt ＋φ0)＝0.02sin ? ??

??π2t m.当t ＝5 s

时，其相位ωt ＋φ0＝π2×5＝5

2π，故选项C 错误；在1.5 s 和4.5 s 两时刻，质点位移相

同，与振幅的关系是x ＝A sin 135°＝2

2

A ＝ 2 cm ，故D 正确． 答案 BD

图1－3－14

12．如图1－3－14所示，一弹簧振子在M 、N 间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O 为平衡位置，MN ＝8 cm.从小球经过图中N 点时开始计时，到第一次经过O 点的时间为0.2 s ，

则小球的振动周期为________s ，振动方程为x ＝________cm .

解析 从N 点到O 点刚好为T 4，则有T 4＝0.2 s ，故T ＝0.8 s ；由于ω＝2πT ＝5π

2

，而振幅为

4 cm ，从最大位移处开始振动，所以振动方程为x ＝4cos 5π

2t cm.

答案 0.8 4cos 5π

2t

13.

图1－3－15

如图1－3－15所示为A 、B 两个简谐运动的位移－时间图像．请根据图像写出：

(1)A 的振幅是________ cm ，周期是________ s ；B 的振幅是________cm ，周期是________s.

(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式； (3)在时间t ＝0.05 s 时两质点的位移分别是多少？

解析 (1)由图像知：A 的振幅是0.5 cm ，周期是0.4 s ；B 的振幅是0.2 cm ，周期是0.8 s. (2)由图像知：t ＝0时刻A 中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φ＝π，由T ＝0.4 s ，得ω＝2π

T

＝5π.则简谐运动的表达式为x A ＝0.5sin(5πt ＋π) cm.t ＝0时刻B 中振动

的质点从平衡位置沿正方向已振动了14周期，φ＝π2，由T ＝0.8 s 得ω＝2π

T ＝2.5π，则

简谐运动的表达式为x B ＝0.2sin ?

????2.5πt ＋π2cm.

(3)将t ＝0.05 s 分别代入两个表达式中得：x A ＝0.5sin(5π×0.05＋π) cm＝－0.5×2

2

cm ＝－

24 cm ，x B ＝0.2sin ?

????2.5π×0.05＋π2cm ＝0.2sin 58π cm. 答案 (1)0.5 0.4 0.2 0.8 (2)x A ＝0.5sin(5πt ＋π)cm，x B ＝0.2sin ? ????2.5πt ＋π2cm (3)x A ＝－

2

4 cm ， x B ＝0.2sin 58

π cm.

14．有一弹簧振子在水平方向上的B 、C 之间做简谐运动，已知B 、C 间的距离为20 cm ，振

子在2 s 完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t ＝0)，经过1

4周期

振子有正向最大加速度．

图1－3－16

(1)求振子的振幅和周期；

(2)在图1－3－16中作出该振子的位移—时间图像； (3)写出振子的振动方程．

解析 (1)x BC ＝20 cm ，t ＝2 s ，n ＝10，由题意可知：A ＝x BC 2＝20 cm

2＝10 cm ，T ＝t n ＝2 s

10

＝0.2 s.

(2)由振子经过平衡位置开始计时经过1

4周期振子有正向最大加速度，可知振子此时在负方

向最大位移处．所以位移—时间图像如图所示．

(3)由A ＝10 cm ，T ＝0.2 s ，ω＝2π

T

＝10π rad/s，故振子的振动方程为x ＝10sin(10πt

＋π)cm.

答案 (1)10 cm 0.2 s (2)如解析图所示

(3)x ＝10sin(10πt ＋π)cm