八年级数学二次根式提高题常考题与培优题含解析
二次根式提高题与常考题型压轴题(含解析)
一．选择题（共13小题）
1．二次根式中x的取值范围是（）
A．x＞3 B．x≤3且x≠0 C．x≤3 D．x＜3且x≠0
2．计算：﹣，正确的是（）
A．4 B．C．2 D．
3．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．
A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣2
4．若1＜x＜2，则的值为（）
A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2
5．下列计算正确的是（）
A．=2B．= C．=x D．=x
6．下列各式变形中，正确的是（）
A．x2?x3=x6B．=|x|
C．（x2﹣）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣）2+
7．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）
A． B．C． D．
8．化简+﹣的结果为（）
A．0 B．2 C．﹣2D．2
9．已知，ab＞0，化简二次根式a的正确结果是（）
A．B． C．﹣D．﹣
10．设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则
﹣的值为（）
A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++1
11．把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）
A． B．C．D．
12．如果=2a﹣1，那么（）
A．a B．a≤C．a D．a≥
13．已知：a=，b=，则a与b的关系是（）
A．ab=1 B．a+b=0 C．a﹣b=0 D．a2=b2
二．填空题（共17小题）
14．如果代数式有意义，那么x的取值范围为．
15．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为．
16．计算：=．
17．观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：a n=；
（2）a1+a2+a3+…+a n=．
18．计算2﹣的结果是．
19．计算（+）（﹣）的结果等于．
20．化简：（0＜a＜1）=．
21．如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是．
22．已知a，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有对．
23．对正实数a，b作定义a*b=﹣a，若2*x=6，则x=．
24．已知x+y=，x﹣y=，则x4﹣y4=．
25．已知=﹣（x，y为有理数），则x﹣y=．
26．已知是正整数，则实数n的最大值为．
27．三角形的三边长分别为3、m、5，化简﹣=．
28．若实数m满足=m+1，且0＜m＜，则m的值为．
29．计算下列各式的值：
；；；．
观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=．
30．观察下列各式：=11+3×1+1，=22+3×2+1，
=32+3×3+1，猜测：=．
三．解答题（共10小题）
31．计算
（1）﹣4+÷
（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．
32．若1＜a＜2，求+的值．
33．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．34．先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．
35．（1）已知|2012﹣x|+=x，求x﹣20132的值；
（2）已知a＞0，b＞0且（+）=3（+5）．求的值．36．观察下列各式及其验证过程：
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反应的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并说明它成立．
37．先化简，再求值：（+）÷，其中a=+1．
38．求不等式组的整数解．
39．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，则三角形的面积S=．
我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=．
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．
40．已知：y=++，求﹣的值．
二次根式提高题与常考题型压轴题(含解析)
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．（2017春?启东市月考）二次根式中x的取值范围是（）
A．x＞3 B．x≤3且x≠0 C．x≤3 D．x＜3且x≠0
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出3﹣x≥0且x≠0，求出即可．
【解答】解：要使有意义，必须3﹣x≥0且x≠0，
解得：x≤3且x≠0，
故选B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识点，能根据题意得出3﹣x≥0且x≠0是解此题的关键．
2．（2017春?萧山区校级月考）计算：﹣，正确的是（）
A．4 B．C．2 D．
【分析】直接化简二次根式进而合并求出答案．
【解答】解：﹣=2﹣=．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
3．（2017春?嵊州市月考）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．
A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣2
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为=4cm，
=2cm，
∴AB=4cm，BC=（2+4）cm，
∴空白部分的面积=（2+4）×4﹣12﹣16，
=8+16﹣12﹣16，
=（﹣12+8）cm2．
故选B．
【点评】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
4．（2016?呼伦贝尔）若1＜x＜2，则的值为（）
A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2
【分析】已知1＜x＜2，可判断x﹣3＜0，x﹣1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，
原式=|x﹣3|+
=|x﹣3|+|x﹣1|
=3﹣x+x﹣1
=2．
故选D．
【点评】解答此题，要弄清以下问题：
1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时，=0；当a小于0时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．
2、性质：=|a|．
5．（2016?南充）下列计算正确的是（）
A．=2B．= C．=x D．=x
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．
【解答】解：A、=2，正确；
B、=，故此选项错误；
C、=﹣x，故此选项错误；
D、=|x|，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
6．（2016?杭州）下列各式变形中，正确的是（）
A．x2?x3=x6B．=|x|
C．（x2﹣）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣）2+
【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简求出答案．
【解答】解：A、x2?x3=x5，故此选项错误；
B、=|x|，正确；
C、（x2﹣）÷x=x﹣，故此选项错误；
D、x2﹣x+1=（x﹣）2+，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混合运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（2016?巴中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）
A． B．C． D．
【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．
【解答】解：A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；
B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；
C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；
D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．8．（2016?营口）化简+﹣的结果为（）
A．0 B．2 C．﹣2D．2
【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：+﹣=3+﹣2=2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算．
9．（2016?安徽校级自主招生）已知，ab＞0，化简二次根式a的正确结果
是（）
A．B． C．﹣D．﹣
【分析】直接利用二次根式的性质进而化简得出答案．
【解答】解：∵ab＞0，
∴a=a×=﹣．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题关键．
10．（2016?邯郸校级自主招生）设a为﹣的小数部分，b为
﹣的小数部分．则﹣的值为（）
A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++1
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后代、化简、运算、求值，即可解决问题．
【解答】解：∵﹣
=﹣
=
==，
∴a的小数部分=﹣1；
∵﹣
=
=
=，
∴b的小数部分=﹣2，
∴﹣=
=
=
=．
故选B．
【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
11．（2016?柘城县校级一模）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）
A． B．C．D．
【分析】先根据被开方数大于等于0判断出a是负数，然后平方后移到根号内约
分即可得解．
【解答】解：根据被开方数非负数得，﹣＞0，
解得a＜0，
﹣a==．
故选A．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，先根据被开方数大于等于0求出a 的取值范围是解题的关键，也是本题最容易出错的地方．
12．（2016?杨浦区三模）如果=2a﹣1，那么（）
A．a B．a≤C．a D．a≥
【分析】由二次根式的化简公式得到1﹣2a为非正数，即可求出a的范围．
【解答】解：∵=|1﹣2a|=2a﹣1，
∴1﹣2a≤0，
解得：a≥．
故选D
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
13．（2016?临朐县一模）已知：a=，b=，则a与b的关系是（）A．ab=1 B．a+b=0 C．a﹣b=0 D．a2=b2
【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．
【解答】解：a===2+，
b===2﹣，
A、ab=（2+）×（2﹣）=4﹣3=1，故本选项正确；
B、a+b=（2+）+（2﹣）=4，故本选项错误；
C、a﹣b=（2+）﹣（2﹣）=2，故本选项错误；
D、∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2﹣）2=4﹣4+3=7﹣4，
∴a2≠b2，故本选项错误；
故选A．
【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
二．填空题（共17小题）
14．（2017?静安区一模）如果代数式有意义，那么x的取值范围为x＞﹣2．
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x+2＞0，
解得，x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
15．（2016?乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为3．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，
则+|a﹣2|
=5﹣a+a﹣2
=3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．
16．（2016?聊城）计算：=12．
【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．
【解答】解：
=3×÷
=3
=12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
17．（2016?黄石）观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：a n==﹣；；
（2）a1+a2+a3+…+a n=﹣1．
【分析】（1）根据题意可知，a1==﹣1，a2==﹣，a3==2
﹣，a4==﹣2，…由此得出第n个等式：a n==﹣；（2）将每一个等式化简即可求得答案．
【解答】解：（1）∵第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
∴第n个等式：a n==﹣；
（2）a1+a2+a3+…+a n
=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）
=﹣1．
故答案为=﹣；﹣1．
【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
18．（2016?哈尔滨）计算2﹣的结果是﹣2．
【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并求解即可．
【解答】解：原式=2×﹣3
=﹣3
=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于掌握二次根式的化简与同类二次根式合并．
19．（2016?天津）计算（+）（﹣）的结果等于2．
【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．
【解答】解：原式=（）2﹣（）2
=5﹣3
=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．
20．（2016?博野县校级自主招生）化简：（0＜a＜1）=﹣a．【分析】结合二次根式的性质进行化简求解即可．
【解答】解：
=
=|a﹣|．
∵0＜a＜1，
∴a2﹣1＜0，
∴a﹣=＜0，
∴原式=|a﹣|=﹣（a﹣）=﹣a．
故答案为：﹣a．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的性质及二次根式的化简．
21．（2016?绵阳校级自主招生）如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是x≤10．
【分析】根据二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得a 的值，根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由最简二次根式与可以合并，得
3a﹣8=17﹣2a．
解得a=5．
由有意义，得
20﹣2x≥0，解得x≤10，
故答案为：x≤10．
【点评】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出关于a的方程是解题关键．
22．（2016?温州校级自主招生）已知a，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有7对．
【分析】A，B只能是15n2，然后分别讨论及的取值，最终可确定有序数对的个数．
【解答】解：15只能约分成3，5
那么A，B只能是15n2
先考虑A这边：
①，那么B可以这边可以是1或者，
此时有：（15，60），（15，15），（60，15），
②，只能B这边也是，
此时有：（60，60），
③，那么B这边也只能是，
∴2×（+）=1，
此时有：（240，240）
④的话，那么B这边只能是，那么2（+）=1，
此时有：（135，540），（540，135）．
综上可得共有7对．
故答案为：7．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，难度较大，关键是根据题意分别讨论
及的取值．
23．（2016?福州自主招生）对正实数a，b作定义a*b=﹣a，若2*x=6，则x= 32．
【分析】根据定义把2*x=6化为普通方程，求解即可．
【解答】解：
∵a*b=﹣a，
∴2*x=﹣2，
∴方程2*x=6可化为﹣2=6，解得x=32，
故答案为：32
【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用新定义把方程化为普通方程是解题的关键．
24．（2016?黄冈校级自主招生）已知x+y=，x﹣y=，
则x4﹣y4=．
【分析】把所给式子两边平方再相加可先求得x2+y2，再求得x2﹣y2，可求得答案．
【解答】解：
∵x+y=，x﹣y=，
∴（x+y）2=x2+2xy+y2=（）2=+，（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2=（）2=﹣，
∴x2+y2=，
又x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=（）（）
==1，
∴x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用乘法公式分别求得x2+y2和x2﹣y2的值是解题的关键．
25．（2016?黄冈校级自主招生）已知=﹣（x，y为有理数），则x﹣y=1．
【分析】把已知条件两边平方，整理可得到x+y﹣2，结合x、y均为有理数，可求得x、y的值，可求得答案．
【解答】解：
∵=﹣，
∴（）2=（﹣）2，即2﹣3=x+y﹣2，
∴x+y﹣2=2﹣=+﹣2，
∵x，y为有理数，
∴x+y=+，xy=×，
由条件可知x＞y，
∴x=，y=，
∴x﹣y=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，由条件求得x、y的值是解题的关键．
26．（2016春?固始县期末）已知是正整数，则实数n的最大值为11．【分析】根据二次根式的意义可知12﹣n≥0，解得n≤12，且12﹣n开方后是正整数，符合条件的12﹣n的值有1、4、9…，其中1最小，此时n的值最大．【解答】解：由题意可知12﹣n是一个完全平方数，且不为0，最小为1，
所以n的最大值为12﹣1=11．
【点评】主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．
27．（2016?山西模拟）三角形的三边长分别为3、m、5，化简﹣= 2m﹣10．
【分析】先利用三角形的三边关系求出m的取值范围，再化简求解即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为3、m、5，
∴2＜m＜8，
∴﹣=m﹣2﹣（8﹣m）=2m﹣10．
故答案为：2m﹣10．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简及三角形三边关系，解题的关键是熟记三角形的三边关系．
28．（2016?武侯区模拟）若实数m满足=m+1，且0＜m＜，则m的
值为．
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出关于m的等式即可得出答案．【解答】解：∵=m+1，且0＜m＜，
∴2﹣m=m+1，
解得：m=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题关键．
29．（2016?龙岩模拟）计算下列各式的值：
；；；．
观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=
102016．
【分析】直接利用已知数据计算得出结果的变化规律进而得出答案．
【解答】解：=10；=100=102；=1000=103；
=10000=104，
可得=102016．
故答案为：102016．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出结果变化规律是解题关键．
30．（2016?丹东模拟）观察下列各式：=11+3×1+1，
=22+3×2+1，=32+3×3+1，猜测：
=20112+3×2011+1．
【分析】根据题意得出数字变换规律进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
=20112+3×2011+1．
故答案为：20112+3×2011+1．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确得出数字变化规律是解题关键．
三．解答题（共10小题）
31．（2017春?临沭县校级月考）计算
（1）﹣4+÷
（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．
【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式=3﹣2+
=3﹣2+2
=3；
（2）原式=1﹣5+1+2+5
=2+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
32．（2017春?沂源县校级月考）若1＜a＜2，求+的值．【分析】根据a的范围即可确定a﹣2和a﹣1的符号，然后根据算术平根的意义进行化简求值．
【解答】解：∵1＜a＜2，
∴a﹣2＜0，a﹣1＞0．
则原式=+
培优专题：二次根式
二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式，其中0 a≥。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0 a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件： 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出： (0) a a =≥，在此我们可将其拓展为： a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () （1）、根据二次根式的这个性质进行化简： ①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简 2a ②化简求值： 1 a a= 1 5 ③已知， 1 3 2 m -<< ，化简2m ④______ =； ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. （2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二．二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即0 ≥ a
②二次根式a 是非负数，即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1 ＜x ≤3 例2（1）化简x x -+-11＝_______． (2) x ＋y )2，则x －y 的值为( ) (A)－1． (B)1． (C)2． (D)3． 例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 （1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四，拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。 （2）若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 （3 a ，小数部分为 b ，求a 2+b 2 的值。 （4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。 5a a b -（的整数部分为a ，小数部分为b ，求的值。 2、巧变已知，求多项式的值。 32351 x x x x = +-+（1）、若的值。
《二次根式》培优试题及答案
1 《二次根式》提高测试 （一）判断题：（每小题1分，共5分） 1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）【提示】 2 )2(-＝|－2|＝2．【答案】×． 2．3－2的倒数是3＋2． （ ）【提示】 231-＝432 3-+＝－（3＋2）．【答案】×． 3． 2 )1(-x ＝2)1( -x ．…（ ）【提示】 2 )1(-x ＝|x －1|，2)1( -x ＝x －1（x ≥1） ．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4． ab 、 3 1 b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ）【提示】 3 1 b a 3、b a x 2- 化成最 简二次根式后再判断．【答案】√． 5． x 8， 3 1，2 9x +都不是最简二次根式．（ ） 2 9x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x __________时，式子 3 1 -x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－ 8 15 27102 ÷3 1225a ＝_．【答案】－2a a ． 【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a － 12-a 的有理化因式是____________． 【提示】（a －12 -a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12 -a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122 +-x x ＝________________． 【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10．方程 2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】2 2d c ＝|cd |＝－cd ． 【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2 )(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）． 12．比较大小：－721_________－3 41 ．【提示】27＝28，43＝48． 【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－ 28 1 与－48 1的大小． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 【答案】40． 【点评】 1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0． 15．x ，y 分别为8－ 11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．
八年级数学培优题精选18例
八年级数学培优题精选18例（含答案） 例题1、如图，四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B' 处，点A 对应点为A' ，且B'C = 3 ，则AM 的长是（B） A、1.5 B、2 C、2.25 D、2.5 例题2、如图，一只蚂蚁沿着边长为2 的正方体表面从点A 出发，经过三个面爬到点B ，如果它运动的路径是最短，则AC 的长度是多少？ 答案：AC =2√10 / 3。 例题3、如图所示，是由8 个全等的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成一个大正方形，如果最大的正方形的面积是25 ，最小正方形的面积为1 ，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则a^2 - b^2 是多少？
答案：a^2 - b^2 = 5 。 例题4、如图，一辆小汽车在一条城市街路上沿东西方向行驶，某一时刻刚好行驶到距车速检测仪A 点距离为40 米的C （位于A 点北偏东30°处）处，过了3 秒钟，到达B 点，（位于A 点北偏西45°）此时小汽车距车速检测仪间的距离为60 米，若规定小汽车在城街路上行驶的速度不得超过25 米/秒，请问这辆汽车是否超速？ 解：过点A 作AD⊥BC 于点D ，由题意知：∠DBA = 45°， ∴BD = AD ， ∵AB = 60 米， ∴BD = √（AB^2 - AD^2）= 30√2 米， 由题意知：∠DAC = 30°，AC = 40 米， ∴DC = 1/2 AC = 20 米， ∴BC = BD + CD = （30√2 + 20）米， ∴v = （30√2 + 20）÷3 ≈24 米/秒< 25="" 米/秒=""> ∴这辆汽车不超速。 例题5、实数a 在数轴上的位置如图所示，则
《二次根式》培优专题一精编版
二次根式培优专题 、【基础知识精讲】 1. 二次根式：形如...a （其中a ______ ）的式子叫做二次根式。 2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含______ 。 3. 同类二次根式： 二次根式化成______________ 后，若 ___________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： （1）G.-/a ）= ____ （其中a ___ ）（ 2）a2 = _______ （其中a ___ ） 5. 二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。 JOb= _________ （其中a^_ b ______ ）；J a= ______________ （其中a—一b ____ ）. \ b （4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如,3的有理化因式就是,3 , .8的有理化因式可以是8也可以是2 , ，b 的有理化因式就是需- Ub . （5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式，都适用于二次根式的运算. （6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式. 6. 双重二次根式的化简： 二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是： 设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b，贝U a 2、 b = （x y） 2、_ xy = C、x）2（、._ y）22 xy = （、x .. y）2
八年级数学培优练习题及答案大全
八年级数学培优练习题及答案大全 1．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为． A． B．2.C．D．3.2.如图，在周长为20cm的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE 的周长为 4cm 6cm8cm 10cm AE O B C A F M DQ 3题 o B C N 3、如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45，且
AE+AF=ABCD的周长是 4、如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC 的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的Ｆ点处，BQ为折痕，则∠FBQ＝ A 0° B 5° C 0° D 15° 5、如图所示,在正方形ABCD中,点E、F、G、H均在其内部，且DE＝EF＝FG＝GH＝HB＝2,∠E=∠F=∠G=∠H=60°,则正方形ABCD的边长为 A. B.2 C. D.32 6、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是． 7、已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是． 8、如图OA、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动 路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线BA表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是。
人教【数学】数学 二次函数的专项 培优练习题及详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值； （3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）9 4 ；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣ 3）． 【解析】 试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解； （2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答； （3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可； （4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可． 试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0）， ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ，解得 4 3 b c =- ? ? = ? ，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣ （x﹣3 2 ）2+ 9 4 ．∵a=﹣1＜0，∴当x= 3 2 时，线段PD的长度有最大值 9 4 ；
《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)
《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0； 2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有 ()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a =2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2 的不同： ( 2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即： x m x m 2-=(m ＜0)． （2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算