2020年广东省江门市中考数学试卷-含详细解析

8.

不等式组{

B

2020 年广东省江门市中考数学试卷

一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 9 的相反数是( )

A. ?9

B. 9

C. 1

9

D. ? 1 9

2. 一组数据 2，4，3，5，2 的中位数是( ) A. 5 B.

3.5 C. 3

D. 2.5

3. 在平面直角坐标系中，点(3,2)关于 x 轴对称的点的坐标为(

)

A. (?3,2)

B. (?2,3)

C. (2, ?3)

D. (3, ?2)

4. 一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形的边数为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

5. 若式子√2x ? 4在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是( )

A. x ≠ 2

B. x ≥ 2

C. x ≤ 2

D. x ≠ ?2

6.

△已知 ABC 的周长为 16，点 D ，E ，F 分别为△ ABC 三条边的中点，则△ DEF 的周 长为( ) A. 8 B. 2√2 C. 16 D. 4

7.

把函数y = (x ? 1)2 + 2图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的的数解析式为

( )

A. y = x 2 + 2

C. y = (x ? 2)2 + 2

2 ? 3x ≥ ?1,

x ? 1 ≥ ?2(x + 2)的解集为(

B. y = (x ? 1)2 + 1 D. y = (x ? 1)2 ? 3

)

A. 无解

B. x ≤ 1

C. x ≥ ?1

D. ?1 ≤ x ≤ 1

9.

如图，在正方形 ABCD 中，AB = 3，点 E ，F 分别在边 AB ， CD 上，∠EFD = 60°.若将四边形 EBCF 沿 EF 折叠，点 B 恰 好落在 AD 边上，则 BE 的长度为( )

A. 1

B. √2

C. √3

D. 2

10. 如图，抛物线 y = ax 2 + bx + c 的对称轴是 x = 1，

下列结论：

①abc > 0；②b 2 ? 4ac > 0；③8a + c < 0； ④5a + b + 2c > 0， 正确的有( )

A. 4 个

B. 3 个

C. 2 个

D. 1 个

二、填空题（本大题共 7 小题，共 28.0 分） 11. 分解因式：xy ? x =______．

12. 如果单项式3x m y 与?5x 3y n 是同类项，那么m + n =______． 13. 若√a ? 2 + |b + 1| = 0，则(a + b)2020 =______．

14. 已知x = 5 ? y ，xy = 2，计算3x + 3y ? 4xy 的值为______．

15. 如图，在菱形 ABCD 中，∠A = 30°，取大于1 AB 的

2

长为半径，分别以点 A ， 为圆心作弧相交于两点， 过此两点的直线交 AD 边于点E(作图痕迹如图所示 )，连接 BE ，BD.则∠EBD 的度数为______．

16.如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为

120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，

则该圆锥的底面圆的半径为______m.

17.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯

住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑

捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线

或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，

BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中

点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，

猫与老鼠的距离DE的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

18.先化简，再求值：(x+y)2+(x+y)(x?y)?2x2，其中x=√2，y=√3．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19.某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、

“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级，随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：

等级

人数(人)非常了解

24

比较了解

72

基本了解

18

不太了解

x

(1)求x的值；

(2)若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了

解”垃圾分类知识的学生共有多少人？

20.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，

BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：

△ABC是等腰三角形．

21.已知关于x，y的方程组{ax+2√3y=?10√3,与

{x+by=15的解相同．

?

x?y=2,

x+y=4

(1)求a，b的值；

(2)若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+

b=0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．

22.如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分

∠BCD．

(1)求证：直线CD与⊙O相切；

(2)如图2，记(1)中的切点为E，P为优弧AE上一点，AD=1，BC=2.求tan∠APE

的值．

23.某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个

B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B

(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？

(2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的

3倍．求建造这90个摊位的最大费用．

24.如图，点B是反比例函数y=8(x>0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，

x

垂足为A，C.反比例函数y=k(x>0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别

x

相交于点D，E.连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．

(1)填空：k=______；

(2)△求BDF的面积；

(3)求证：四边形BDFG为平行四边形．

25.如图，抛物线y=3√3x2

bx c与x轴交于A，B

6

两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO=

3AO=3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交

点分别为C，D，BC=√3CD．

(1)求b，c的值；

(2)求直线BD的函数解析式；

(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在

射线BA上．当△ABD△与BPQ相似时，请直接写出

所有满足条件的点Q的坐标．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：9的相反数是?9，

故选：A．

根据相反数的定义即可求解．

此题主要考查相反数的定义，比较简单．

2.【答案】C

【解析】解：将数据由小到大排列得：2，2，3，4，5，

∵数据个数为奇数，最中间的数是3，

∴这组数据的中位数是3．

故选：C．

中位数是指一组数据从小到大排列之后，如果数据的总个数为奇数，则中间的数即为中位数；如果数据的总个数为偶数个，则中间两个数的平均数即为中位数．

本题考查了统计数据中的中位数，明确中位数的计算方法是解题的关键．本题属于基础知识的考查，比较简单．

3.【答案】D

【解析】解：点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为(3,?2)．

故选：D．

根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．

本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

4.【答案】B

【解析】解：设多边形的边数是n，则

(n?2)?180°=540°，

解得n=5．

故选：B．

根据多边形的内角和公式(n?2)?180°列式进行计算即可求解．

本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．

5.【答案】B

【解析】解：∵√2x?4在实数范围内有意义，

∴2x?4≥0，

解得：x≥2，

∴x的取值范围是：x≥2．

故选：B．

根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．此题主要考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．正确把握二次根式的定义是解题关键．

6.【答案】A

【解析】解：∵ D 、E 、F 分别为△ ABC 三边的中点， ∴ DE 、DF 、EF △都是 ABC 的中位线，

∴ DF = 1 AC ，DE = 1 BC ，EF = 1 AC ，

2

2 2

△故 DEF 的周长= DE + DF + EF = 1 (BC + AB + AC) =

2

1 2

× 16 = 8．

故选：A ．

根据中位线定理可得DF = 1 AC ，DE = 1 BC ，EF = 1 AC ，继而结合△ ABC 的周长为 16，

2

2 2

可得出△ DEF 的周长．

此题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半，难度一般．

7.【答案】C

【解析】解：二次函数y = (x ? 1)2 + 2的图象的顶点坐标为(1,2)， ∴向右平移 1 个单位长度后的函数图象的顶点坐标为(2,2)， ∴所得的图象解析式为y = (x ? 2)2 + 2．

故选：C ．

先求出y = (x ? 1)2 + 2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函 数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．

本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的 函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

8.【答案】D

【解析】解：解不等式2 ? 3x ≥ ?1，得：x ≤ 1， 解不等式x ? 1 ≥ ?2(x + 2)，得：x ≥ ?1， 则不等式组的解集为?1 ≤ x ≤ 1， 故选：D ．

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大 大小小无解了确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取 大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

9.【答案】D

【解析】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB//CD ，∠A = 90°， ∴ ∠EFD = ∠BEF = 60°，

∵将四边形 EBCF 沿 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上， ∴ ∠BEF = ∠FEB′ = 60°，BE = B′E ，

∴ ∠AEB′ = 180° ? ∠BEF ? ∠FEB′ = 60°， ∴ B′E = 2AE ，

设BE = x ，则B′E = x ，AE = 3 ? x ， ∴ 2(3 ? x) = x ， 解得x = 2．

故选：D ．

2a = 1，可得b = ?2a ，

n

BE = B′E ，设BE = x ，则B′E = x ，AE = 3 ? x ，由直角三角形的性质可得：2(3 ? x) = x ， 解方程求出 x 即可得出答案．

本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综 合性运用性质进行推理是解此题的关键． 10.【答案】B

【解析】解：由抛物线的开口向下可得：a < 0，

根据抛物线的对称轴在 y 轴右边可得：a ，b 异号，所以b > 0， 根据抛物线与 y 轴的交点在正半轴可得：c > 0， ∴ abc < 0，故①错误；

∵抛物线与 x 轴有两个交点， ∴ b 2 ? 4ac > 0，故②正确；

∵直线x = 1是抛物线y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0)的对称轴，所以?

b

由图象可知，当x = ?2时，y < 0，即4a ? 2b + c < 0， ∴ 4a ? 2 × (?2a) + c < 0， 即8a + c < 0，故③正确；

由图象可知，当x = 2时，y = 4a + 2b + c > 0；当x = ?1时，y = a ? b + c > 0， 两式相加得，5a + b + 2c > 0，故④正确； ∴结论正确的是②③④3个，

故选：B ．

根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答 问题．

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思 想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式． 11.【答案】x(y ? 1)

【解析】解：xy ? x = x(y ? 1)． 故答案为：x(y ? 1)．

直接提取公因式 x ，进而分解因式得出答案．

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 12.【答案】4

【解析】解：∵单项式3x m y 与?5x 3y n 是同类项， ∴ m = 3，n = 1，

∴ m + n = 3 + 1 = 4．

故答案为：4．

根据同类项的定义(所含字母相同，相同字母的指数相同)可得m = 3，n = 1，再代入代 数式计算即可．

本题考查同类项的定义，正确根据同类项的定义得到关于 m ， 的方程组是解题的关键． 13.【答案】1

【解析】解：∵ √a ? 2 + |b + 1| = 0， ∴ a ? 2 = 0且b + 1 = 0， 解得，a = 2，b = ?1，

∴ (a + b)2020 = (2 ? 1)2020 = 1，

故答案为：1．

本题考查非负数的意义和有理数的乘方，掌握非负数的意义求出a、b的值是解决问题的关键．

14.【答案】7

【解析】解：∵x=5?y，

∴x+y=5，

当x+y=5，xy=2时，

原式=3(x+y)?4xy

=3×5?4×2

=15?8

=7，

故答案为：7．

由x=5?y得出x+y=5，再将x+y=5、xy=2代入原式=3(x+y)?4xy计算可得．

本题主要考查代数式求值，解题的关键是能观察到待求代数式的特点，得到其中包含这式子x+y、xy及整体代入思想的运用．

15.【答案】45°

【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，

∴∠ABD=∠ADB=1(180°?∠A)=75°，

2

由作图可知，EA=EB，

∴∠ABE=∠A=30°，

∴∠EBD=∠ABD?∠ABE=75°?30°=45°，

故答案为45°．

根据∠EBD=∠ABD?∠ABE，求出∠ABD，∠ABE即可解决问题．

本题考查作图?基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

16.【答案】1

3

【解析】解：由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，

则扇形的弧长为：120π×1，

180

而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：

2πr=120π×1，

180

解得，r=1，

3

故答案为：1．

3

求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．

本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．

17.【答案】2√5?2

【解析】解：如图，连接BE，BD．

由题意BD=√22+42=2√5，

∵∠MBN=90°，MN=4，EM=NE，

∴BE=1MN=2，

2

∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，

∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，

∴DE的最小值为2√5?2．

故答案为2√5?2．

如图，连接BE，BD.求出BE，BD，根据DE≥BD?BE求解即可．

本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

18.【答案】解：(x+y)2+(x+y)(x?y)?2x2，

=x2+2xy+y2+x2?y2?2x2

=2xy，

当x=√2，y=√3时，

原式=2×√2×√3=2√6．

【解析】根据整式的混合运算过程，先化简，再代入值求解即可．

本题考查了整式的混合运算?化简求值，解决本题的关键是先化简，再代入值求解．19.【答案】解：(1)x=120?(24+72+18)=6；

(2)1800×24+72=1440(人)，

120

答：根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人．

【解析】(1)根据四个等级的人数之和为120求出x的值；

(2)用总人数乘以样本中“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例．

本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．

20.【答案】证明：∵∠ABE=∠ACD，

∴∠DBF=∠ECF，

∠DBF=∠ECF

在BDF△和CEF中，{∠BFD=∠CFE，

△

BD=CE

∴△BDF≌△CEF(AAS)，

∴BF=CF，DF=EF，

∴BF+EF=CF+DF，

21.【答案】解：(1)由题意得，关于 x ，y 的方程组的相同解，就是程组{x ?

y = 2的解，

解得，x = x = 2√3，

【解析】(1)关于 x ，y 的方程组{ 与{ 的解相同．实际就x + by = 15

∠ABE = ∠ACD

△在 ABE △和

ACD 中，{∠A = ∠A

，

BE = CD

∴△ ABE≌△ ACD(AAS)， ∴ AB = AC ，

∴△ ABC 是等腰三角形．

【解析】△先证 BDF≌△ CEF(AAS)，得出BF = CF ，DF = EF ，则BE = CD ，再证△ ABE≌△ ACD(AAS)，得出AB = AC 即可．

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；证明三角形全等是解题的关 键．

x + y = 4

x = 3

解得，{y = 1，代入原方程组得，a = ?4√3，b = 12；

(2)当a = ?4√3，b = 12时，关于 x 的方程x 2 + ax + b = 0就变为x 2?4√3x + 12 = 0， 1 2

又∵ (2√3)2 + (2√3)2 = (2√6)2，

∴以2√3、2√3、2√6为边的三角形是等腰直角三角形．

ax + 2√3y = ?10√3, x ? y = 2, x + y = 4

x + y = 4

是方程组{x ? y = 2的解，可求出方程组的解，进而确定 a 、b 的值；

(2)将 a 、b 的值代入关于 x 的方程x 2 + ax + b = 0，求出方程的解，再根据方程的两个

解与2√6为边长，判断三角形的形状．

本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次 方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键． 22.【答案】(1)证明：作OE ⊥ CD 于 E ，如图 1 所示： 则∠OEC = 90°，

∵ AD//BC ，∠DAB = 90°，

∴ ∠OBC = 180° ? ∠DAB = 90°， ∴ ∠OEC = ∠OBC ， ∵ CO 平分∠BCD ， ∴ ∠OCE = ∠OCB ，

∠OEC = ∠OBC

△在 OCE △

和 OCB 中，{∠OCE = ∠OCB ，

OC = OC

∴△ OCE≌△ OCB(AAS)， ∴ OE = OB ， 又∵ OE ⊥ CD ，

∴直线 CD 与⊙ O 相切；

(2)解：作DF ⊥ BC 于 F ，连接 BE ，如图所示： 则四边形 ABFD 是矩形， ∴ AB = DF ，BF = AD = 1，

∴ CF = BC ? BF = 2 ? 1 = 1， ∵ AD//BC ，∠DAB = 90°，

∴AD、BC是⊙O的切线，

由(1)得：CD是⊙O的切线，

∴ED=AD=1，EC=BC=2，

∴CD=ED+EC=3，

∴DF=√CD2?CF2=√32?12=2√2，

∴AB=DF=2√2，

∴OB=√2，

∵CO平分∠BCD，

∴CO⊥BE，

∴∠BCH+∠CBH=∠CBH+∠ABE=90°，

∴∠ABE=∠BCH，

∵∠APE=∠ABE，

∴∠APE=∠BCH，

∴tan∠APE=tan∠BCH=OB=√2．

BC2

【解析】(1)证明：作OE⊥CD于E△

，证OCE≌△OCB(AAS)，得出OE=OB，即可得

出结论；

(2)作DF⊥BC于F，连接BE，则四边形ABFD是矩形，得AB=DF，BF=AD=1，

则CF=1，证AD、BC是⊙O的切线，由切线长定理得ED=AD=1，EC=BC=2，

则CD=ED+EC=3，由勾股定理得DF=2√2，则OB=√2，证∠ABE=∠BCH，由圆

周角定理得∠APE=∠ABE，则∠APE=∠BCH，由三角函数定义即可得出答案．

本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质、勾股定理、

圆周角定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，

根据题意得：60=60?3，

x+2x5

解得：x=3，

经检验x=3是原方程的解，

所以3+2=5，

答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90?a)个，

由题意得：90?a≥3a，

解得a≤22.5，

∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，

∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，

此时最大费用为：22×40×5+30×(90?22)×3=10520，

答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．

【解析】(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)

平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的3这个

5

等量关系列出方程即可．

(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90?a)个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数

1 1 2m

)，

设直线 DE 的表达式为：y = s x + n ，将点 D 、E 的坐标代入上式得{m1 = ms + n

b =

2m 2 x +

2m ，令y = 0，则x = 5m ，故点F(5m, 0)，

2m 2 x +

2m ，令y = 0，则x = 5m ，故点F(5m, 0)，

本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找 到符合题意的数量关系．

24.【答案】2

【解析】解：(1)设点B(s, t )，s t = 8，则点M(1 s , 1 t )，

2

2

则k = 1 s ? 1 t = 1 s t = 2，

2

2 4

故答案为 2；

(2) △ BDF 的面积=△ OBD 的面积= △?? BOA ? △?? OAD = 2 × 8 ? 2 × 2 = 3

；

(3)设点D(m, 2 )，则点B(4m, 2 )，

m

m

∵点 G 与点 O 关于点 C 对称，故点G(8m, 0)，

则点E(4m,

1

2 = 4ms + n ，解

2m

k = ?

1

得{

2m 2，

5 2m

故直线 DE 的表达式为：y = ?

1 5

故 FG = 8m ? 5m = 3m ，而BD = 4m ? m = 3m = FG ， 则FG//BD ，故四边形 BDFG 为平行四边形．

(1)设点B(s, t )，s t = 8，则点M(1 s , 1 t )，则k = 1 s ? 1 t = 1 s t = 2；

2

2

2

2

4

(2) △ BDF 的面积=△ OBD 的面积= △?? BOA ? △?? OAD ，即可求解；

(3)确定直线 DE 的表达式为：y = ? 1 5

即可求解．

本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积 的计算等，综合性强，难度适中． 25.【答案】解：(1) ∵ BO = 3AO = 3， ∴点B(3,0)，点A(?1,0)，

∴抛物线解析式为：y = 3+√3 (x + 1)(x ? 3) = 3+√3 x 2 ? 3+√3 x ? 3+√3，

6

6 3 2

∴ b = ? 3+√3，c = ? 3+√3；

3

2

(2)如图 1，过点 D 作DE ⊥ AB 于 E ，

OE

，

∴CO//DE，

∴BC=BO，

CD OE

∵BC=√3CD，BO=3，

∴√3=3

∴OE=√3，

∴点D横坐标为?√3，

∴点D坐标(?√3,√3+1)，

设直线BD的函数解析式为：y=kx+b，

由题意可得：{√

3+1=?√3k+b，

0=3k+b

k=?√3

解得：{3，

b=√3

∴直线BD的函数解析式为y=?√3x+√3；

3

(3)∵点B(3,0)，点A(?1,0)，点D(?√3,√3+1)，

∴AB=4，AD=2√2，BD=2√3+2，对称轴为直线x=1，∵直线BD：y=?√3x+√3与y轴交于点C，

3

∴点C(0,√3)，

∴OC=√3，

∵tan∠COB=CO=√3，

BO3

∴∠COB=30°，

如图2，过点A作AK⊥BD于K，

∴ BQ =

4√3

×(2 32)

∴ AK = 1 AB = 2，

2

∴ DK = √AD 2 ? AK 2 = √8 ? 4 = 2， ∴ DK = AK ，

∴ ∠ADB = 45°，

如图，设对称轴与 x 轴的交点为 N ，即点N(1,0)，

若∠CBO = ∠PBO = 30°，

∴ BN = √3PN = 2，BP = 2PN ，

∴ PN = 2√3，BP = 4√3，

3

3

△当 BAD∽△ BPQ ，

∴ BP = BQ ，

BA

BD

3 √ 4

=2 2√3，

3

∴点Q(1 ? 2√3 , 0)；

3

△当 BAD∽△ BQP ，

∴ BP = BQ ，

BD

AB

∴ BQ =

4√3

×4 3

2√32

= 4 ? 4√3，

3

∴点Q(?1

4√3 , 0)； 3

若∠PBO = ∠ADB = 45°，

∴ BN = PN = 2，BP = √2BN = 2√2， △当 BAD∽△ BPQ ，

∴ BP = BQ ，

AD

BD

∴ 2√2 =

BQ

2√2 2√32

，

∴ BQ = 2√3

2

∴点Q(1 ? 2√3, 0)； △当 BAD∽△ PQB ，

∴ BP = BQ ，

BD

AD

∴点Q(5?2√3,0)；

综上所述：满足条件的点Q的坐标为(1?2√3,0)或(?1+4√3,0)或(1?2√3,0)或(5?

33

2√3,0)．

【解析】(1)先求出点A，点B坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解；(2)过点D作DE⊥AB于E，由平行线分线段成比例可求OE=√3，可求点D坐标，利

用待定系数法可求解析式；

(3)利用两点距离公式可求AD，AB，BD的长，利用锐角三角函数和直角三角形的性质可求∠ABD=30°，∠ADB=45°，分∠ABP=30°或∠ABP=45°两种情况讨论，利用相

似三角形的性质可求解．

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，相似三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．