(易错题精选)初中数学圆的难题汇编
(易错题精选)初中数学圆的难题汇编
一、选择题
1.如图,在ABC ?中,5AB =,3AC =,4BC =,将ABC ?绕一逆时针方向旋转40?得到ADE ?,点B 经过的路径为弧BD ,则图中阴影部分的面积为( )
A .1463π-
B .33π+
C .3338π-
D .259
π 【答案】D
【解析】
【分析】 由旋转的性质可得△ACB ≌△AED ,∠DAB=40°,可得AD=AB=5,S △ACB =S △AED ,根据图形可得S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ,再根据扇形面积公式可求阴影部分面积.
【详解】
∵将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ,
∴△ACB ≌△AED ,∠DAB=40°,
∴AD=AB=5,S △ACB =S △AED ,
∵S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ,
∴S 阴影=
4025360π?=259π, 故选D.
【点睛】
本题考查了旋转的性质,扇形面积公式,熟练掌握旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前、后的图形全等.
2.如图,⊙O 中,弦BC 与半径OA 相交于点D ,连接AB ,OC ,若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C 的度数是( )
A .25°
B .27.5°
C .30°
D .35°
【答案】D
【解析】 分析:直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B 以及∠ODC 度数,再利用圆
周角定理以及三角形内角和定理得出答案.
详解:∵∠A=60°,∠ADC=85°,
∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°,
∴∠AOC=2∠B=50°,
∴∠C=180°-95°-50°=35°
故选D.
点睛:此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识,正确得出∠AOC度数是解题关键.
3.如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,且CD⊥AB,BC=3,AC=4,则sin∠ABD的值是()
A.4
3
B.
3
4
C.
3
5
D.
4
5
【答案】D
【解析】
【分析】
由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC,再根据勾股定理求得AB=5,即可求sin∠ABD 的值.
【详解】
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴弧AC=弧AD,
∴∠ABD=∠ABC.
根据勾股定理求得AB=5,
∴sin∠ABD=sin∠ABC=4
5
.
故选D.
【点睛】
此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论,熟悉锐角三角函数的概念.4.如图,正方形ABCD内接于⊙O,2,则?AB的长是()
A .π
B .32π
C .2π
D .12
π 【答案】A
【解析】 【分析】连接OA 、OB ,求出∠AOB=90°,根据勾股定理求出AO ,根据弧长公式求出即可.
【详解】连接OA 、OB ,
∵正方形ABCD 内接于⊙O ,
∴AB=BC=DC=AD ,
∴????AB BC
CD DA ===, ∴∠AOB=14
×360°=90°, 在Rt △AOB 中,由勾股定理得:2AO 2=(22)2,
解得:AO=2,
∴?AB 的长为
902180
π′=π, 故选A .
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质,求出∠AOB 的度数和OA 的长是解此题的关键.
5.如图,AC BC ⊥,8AC BC ==,以BC 为直径作半圆,圆心为点O ;以点C 为圆心,BC 为半径作?AB ,过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ,则图中阴影部分的面积是( )
A .20833π-
B .20833π+
C .20833π-
D .20433
π+ 【答案】A
【解析】
【分析】 如图,连接CE .图中S 阴影=S 扇形BCE ?S 扇形BOD ?S △OCE .根据已知条件易求得OB =OC =OD =4,BC =CE =8,∠ECB =60°,OE =43,所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.
【详解】
解:如图,连接CE .
∵AC ⊥BC ,AC =BC =8,以BC 为直径作半圆,圆心为点O ;以点C 为圆心,BC 为半径作弧AB ,
∴∠ACB =90°,OB =OC =OD =4,BC =CE =8.
又∵OE ∥AC ,
∴∠ACB =∠COE =90°.
∴在Rt △OEC 中,OC =4,CE =8,
∴∠CEO =30°,∠ECB =60°,OE =3
∴S 阴影=S 扇形BCE ?S 扇形BOD ?S △OCE
=2260811-4-44336042
ππ???? =
20-833
π故选:A .
【点睛】 本题考查了扇形面积的计算.不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算.
6.如图,ABC ?是O e 的内接三角形,45A ∠=?,1BC =,把ABC ?绕圆心O 按逆时针方向旋转90?得到DEB ?,点A 的对应点为点D ,则点A ,D 之间的距离是()
A .1
B .
2 C .
3 D .2
【答案】A
【解析】
【分析】 连接AD ,构造△ADB ,由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质,证△ADB 和△DBE 全等,从而得到AD=BE=BC=1.
【详解】
如图,连接AD ,AO ,DO
∵ABC ?绕圆心O 按逆时针方向旋转90?得到DEB ?,
∴AB=DE ,90AOD ∠=?,45CAB BDE ∠=∠=?
∴1452
ABD AOD ∠=
∠=?(同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半), 即45ABD EDB ∠=∠=?,
又∵DB=BD ,∴DAB BED ∠=∠(同弧所对应的圆周角相等),
在△ADB 和△DBE 中 ABD EDB AB ED
DAB BED ∠=∠??=??∠=∠?
∴△ADB ≌△EBD (ASA ),
∴AD=EB=BC=1.
故答案为A.
【点睛】
本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用;顶点在圆上,两边都与圆相交的角角圆周角;掌握三角形全等的判定是解题的关键.
7.下列命题是假命题的是( )
A .三角形两边的和大于第三边
B .正六边形的每个中心角都等于60o
C .半径为R 的圆内接正方形的边长等于2R
D .只有正方形的外角和等于360?
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系、中心角的概念、正方形与圆的关系、多边形的外角和对各选项逐一进行分析判断即可.
【详解】
A 、三角形两边的和大于第三边,A 是真命题,不符合题意;
B 、正六边形6条边对应6个中心角,每个中心角都等于
360606??=,B 是真命题,不符合题意;
C 、半径为R 的圆内接正方形中,对角线长为圆的直径2R ,设边长等于x ,则:222(2)x x R +=,解得边长为2x R :=,C 是真命题,不符合题意;
D 、任何凸3n n ≥()
边形的外角和都为360?,D 是假命题,符合题意, 故选D.
【点睛】
本题考查了真假命题,熟练掌握正多边形与圆、中心角、多边形的外角和等知识是解本题的关键.
8.如图,四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形.延长AB 与DC 相交于点G ,AO ⊥CD ,垂足为E ,连接BD ,∠GBC=50°,则∠DBC 的度数为( )
A .50°
B .60°
C .80°
D .90°
【答案】C
【解析】
【分析】 根据圆内接四边形的性质得:∠GBC =∠ADC =50°,由垂径定理得:··CM
DM =,则∠
DBC=2∠EAD=80°.
【详解】
如图,∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∴∠GBC=∠ADC=50°.
∵AE⊥CD,∴∠AED=90°,∴∠EAD=90°﹣50°=40°,延长AE交⊙O于点M.
∵AO⊥CD,∴··
CM DM
,∴∠DBC=2∠EAD=80°.
故选C.
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角,还考查了垂径定理的应用,属于基础题.
9.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
解:如右图,
连接OP,由于OP是Rt△AOB斜边上的中线,
所以OP=1
2
AB,不管木杆如何滑动,它的长度不变,也就是OP是一个定值,点P就在以
O为圆心的圆弧上,那么中点P下落的路线是一段弧线.
故选D.
10.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB⊥CD,垂足为M,则AC 的长为()
A.25cm B.45 cm C.25cm或45cm D.23cm或43cm
【答案】C
【解析】
连接AC,AO,
∵O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,
∴AM=1
2
AB=
1
2
×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时,
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,
∴2222
54
OA AM
-=-=3cm,∴CM=OC+OM=5+3=8cm,
∴AC=2222
AM CM
+=+=cm;
4845
当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,
∵OC=5cm,
∴MC=5?3=2cm,
在Rt△AMC中,AC=2222
+=+=cm.
AM CM
4225
故选C.
11.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,连接OC交⊙O于点D,连接BD,∠
C=40°.则∠ABD的度数是()
A.30°B.25°C.20°D.15°
【答案】B
【解析】
试题分析:∵AC为切线∴∠OAC=90°∵∠C=40°∴∠AOC=50°
∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°∴∠ABD=∠ODB=25°.
考点:圆的基本性质.
12.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC=4,BD为⊙O的直径,则BD等于
()
A.4 B.6 C.8 D.12
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求得∠C=∠ABC=30°,再根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得BD的长.
【详解】
∵∠BAC=120°,AB=AC=4,
∴∠C=∠ABC=30°
∴∠D=30°
∵BD 是直径
∴∠BAD=90°
∴BD=2AB=8.
故选C.
13.如图,在菱形ABCD 中,60ABC ∠=?,1AB =,点P 是这个菱形内部或边上的一点,若以点P ,B ,C 为顶点的三角形是等腰三角形,则P ,D (P ,D 两点不重合)两点间的最短距离为( )
A .12
B .1
C 3
D 31
【答案】D
【解析】
【分析】
分三种情形讨论①若以边BC 为底.②若以边PC 为底.③若以边PB 为底.分别求出PD 的最小值,即可判断.
【详解】
解:在菱形ABCD 中,
∵∠ABC=60°,AB=1,
∴△ABC ,△ACD 都是等边三角形,
①若以边BC 为底,则BC 垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“,即当点P 与点A 重合时,PD 值最小,最小值为1;
②若以边PC 为底,∠PBC 为顶角时,以点B 为圆心,BC 长为半径作圆,与BD 相交于一点,则弧AC (除点C 外)上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形,当点P 在BD 上时,PD 31
③若以边PB 为底,∠PCB 为顶角,以点C 为圆心,BC 为半径作圆,则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形,当点P 与点D 重合时,PD 最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;
上所述,PD 的最小值为31
故选D .
【点睛】
本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
14.如图,以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ,过点C 作直线切半圆于点E ,交AD 边于点F ,则FE EC
=( )
A .12
B .13
C .14
D .38
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OE 、OF 、OC ,利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF =∠FOE ,证明△EOF ∽△ECO ,利用相似三角形的性质即可解答.
【详解】
解:连接OE 、OF 、OC .
∵AD 、CF 、CB 都与⊙O 相切,
∴CE =CB ;OE ⊥CF ; FO 平分∠AFC ,CO 平分∠BCF .
∵AF ∥BC ,
∴∠AFC+∠BCF =180°,
∴∠OFC+∠OCF =90°,
∵∠OFC+∠FOE =90°,
∴∠OCF =∠FOE , ∴△EOF ∽△ECO ,
∴=OE EF EC OE
,即OE 2=EF?EC . 设正方形边长为a ,则OE =
12a ,CE =a . ∴EF =
14a . ∴EF EC =14
. 故选:C .
【点睛】
本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质,其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键..
15.如图,在边长为8的菱形ABCD 中,∠DAB =60°,以点D 为圆心,菱形的高DF 为半径画弧,交AD 于点E ,交CD 于点G ,则图中阴影部分的面积是 ( )
A .183π-
B .183π
C .32316π
D .1839π-
【答案】C
【解析】
【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8,∠ADC=120°,由三角函数求出菱形的高DF ,图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积,根据面积公式计算即可.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB=60°,
∴AD=AB=8,∠ADC=180°-60°=120°,
∵DF 是菱形的高,
∴DF ⊥AB ,
∴DF=AD ?sin60°=383= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2
120(43)84332316360
ππ??=. 故选:C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算;由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键.
16.如图在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =6,BC =8,⊙O 是△ABC 的内切圆,连接AO ,BO ,则图中阴影部分的面积之和为( )
A.10﹣3
2
πB.14﹣
5
2
πC.12 D.14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB,求出△ABC的内切圆的半径,根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算,得到答案.
【详解】
解:设⊙O与△ABC的三边AC、BC、AB的切点分别为D、E、F,连接OD、OE、OF,
在Rt△ABC中,AB=22
AC BC
+=10,
∴△ABC的内切圆的半径=6810
2
+-
=2,
∵⊙O是△ABC的内切圆,
∴∠OAB=1
2
∠CAB,∠OBA=
1
2
∠CBA,
∴∠AOB=180°﹣(∠OAB+∠OBA)=180°﹣1
2
(∠CAB+∠CBA)=135°,
则图中阴影部分的面积之和=
22
2
902113525 210214
36023602
ππ
π??
-+??-=-,
故选B.
【点睛】
本题考查的是三角形的内切圆与内心、扇形面积计算、勾股定理,掌握扇形面积公式是解题的关键.
17.如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC=26°,则∠COB的度数是()
A.52°B.64°C.48°D.42°
【答案】A
【解析】
【分析】
由OC⊥AB,利用垂径定理可得出,再结合圆周角定理及同弧对应的圆心角等于圆
周角的2倍,即可求出∠COB的度数.
【详解】
解:∵OC⊥AB,
∴,
∴∠COB=2∠ADC=52°.
故选:A.
【点睛】
考查了圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系,利用垂径定理找出是解题的关键.
18.如图所示,AB是⊙O的直径,点C为⊙O外一点,CA,CD是⊙O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=30°,则∠DBA的大小是()
A.15°B.30°C.60°D.75°
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
连接OD,∵CA,CD是⊙O的切线,
∴OA⊥AC,OD⊥CD,
∴∠OAC=∠ODC=90°,
∵∠ACD=30°,
∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°,
∵OB=OD,
∴∠DBA=∠ODB=1
2
∠AOD=75°.
故选D.
考点:切线的性质;圆周角定理.
19.如图,⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM:OC=3:
5,则AB 的长为( )
A .91cm
B .8cm
C .6cm
D .4cm
【答案】B
【解析】
【分析】 由于⊙O 的直径CD =10cm ,则⊙O 的半径为5cm ,又已知OM :OC =3:5,则可以求出OM =3,OC =5,连接OA ,根据勾股定理和垂径定理可求得AB .
【详解】
解:如图所示,连接OA .
⊙O 的直径CD =10cm ,
则⊙O 的半径为5cm ,
即OA =OC =5,
又∵OM :OC =3:5,
所以OM =3,
∵AB ⊥CD ,垂足为M ,OC 过圆心
∴AM =BM ,
在Rt △AOM 中,22AM=5-3=4,
∴AB =2AM =2×4=8.
故选:B .
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形,是解题的关键.
20.如图,弧 AB 等于弧CD ,OE AB ⊥于点E ,OF CD ⊥于点F ,下列结论中错误..的是( )
A .OE=OF
B .AB=CD
C .∠AOB =∠CO
D D .O
E >OF
【答案】D
【解析】
【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系可得B 、C 正确,根据垂径定理和勾股定理可得A 正确,D 错误.
【详解】
解:∵??AB CD =,
∴AB =CD ,∠AOB =∠COD ,
∵OE AB ⊥,OF CD ⊥,
∴BE =
12AB ,DF =12
CD , ∴BE =DF ,
又∵OB =OD , ∴由勾股定理可知OE =OF ,
即A 、B 、C 正确,D 错误,
故选:D .
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系,垂径定理,勾股定理,熟练掌握基本性质定理是解题的关键.
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初中数学易错题 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是() A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是() A、2a B、2b b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度() A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有() A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是() A、两点确定一条直线 B、线段是直线的一部分 C、一条直线不是平角 D、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的图象与x轴的交点情况是 ( ) A、当m≠3时,有一个交点 B、1 m时,有两个交点 ≠ ± C、当1 m时,有一个交点 D、不论m为何值,均无交点 = ± 7、如果两圆的半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且(d-r)2=R2,则