导数的单调性练习题

导数单调性练习题

1．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )

A．a≤0 B．a＜1 C．a＜0 D．a≤1

2．函数

x

x

x

f ln

)

(=，则（）

（A）在

)

,0(∞上递增；（B）在)

,0(∞上递减；

（C）在

)

1

,0(

e上递增；（D）在

)

1

,0(

e上递减

3.函数

32

()31

f x x x

=-+是减函数的区间为( )

A.(2,)

+∞ B.(,2)

-∞ C.(,0)

-∞Ｄ.(0,2)

4、设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图，则导函数f′(x)的图象可能是( )

5．设函数

()

y f x

=的图像如左图，则导函数'()

y f x

=的图像可能是下图中的（）

、

6、曲线y＝1

3

x3＋x在点

?

?

?

?

?

1，

4

3

处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )

A.1

9

B.

2

9

C.

1

3

D.

2

3

7、函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是________

8、函数y＝x sin x＋cos x，x∈(－π，π)的单调增区间是________

9、已知函数f(x)＝x2＋2x＋a ln x，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是________________

10.函数x

e x x

f )3()(-=的单调递增区间是________________

11、求下列函数的导数

（1）y =2

)13(1-x （2）y =sin 3(3x +4π

)

12、求曲线在点(1,1)处的切线方程？

13.已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=求当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程；

(3ln 1)y x x =+

1．A 【解析】

试题分析：当0=a 时,x x f -=)( 在R 上为减函数,成立;

当0≠a 时, )(x f 的导函数为13)(2-='ax x f ,根据题意可知,

013)(2

≤-='ax x f 在R 上恒成立,所以0a <且0?≤,可得0a <.

综上可知0≤a .

考点：导数法判断函数的单调性;二次函数恒成立.

2．D 【解析】

试题分析：因为函数x x x f ln )(=，所以()f x '=lnx+1, ()f x '>0,解得x> 1

e ,则函数的单调递增区间为1(,)

e +∞，又()

f x '<0,解得0

e ).故

选D.

考点：导数与函数的单调性. 3．D 【解析】

试题分析：由()y f x =图象知，函数先增，再减，再增，对应的导数值，应该是先大于零，再小于零，最后大于0.故选D. 考点：导数与函数的单调性. 4．D 【解析】

试题分析：

'1()f x k x =-

，由已知得'

()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1

k x ≥，因为

1x >，所以

101

x <

<，故k 的取值范围是

[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．

5．B 【解析】

试题分析：函数的定义域为),0(+∞，所以01≥-k 即1≥k ，

x x x x x f 214212)(2-=-='，令0)(='x f ，得21=x 或21

-

=x （不在定义域内舍），由于函数在区间（k-1，k+1）内不是单调函数，所以)1,1(21

+-∈k k 即1211+<<

-k k ，解得232

1<

<-k ，综上得23

1<≤k ，答案选B. 考点：函数的单调性与导数

6．D ． 【解析】

试题分析：根据图象可知，函数()f x 先单调递减，后单调递增，后为常数，因此'()f x 对应的变化规律为先负，后正，后为零，故选D ． 考点：导数的运用． 7．A 【解析】

试题分析：方程330x x m -+=在[0,2]上有解，等价于3

3m x x =-在[0,2]上有解，故m 的

取值范围即为函数3()3f x x x =-在[0,2]上的值域，求导可得

22

'()333(1)f x x x =-=-，令'()0f x >可知()f x 在(1,1)-上单调递增，在(,1)(1,)-∞-+∞上单调递减，故当

[0,2]x ∈时max ()(1)2f x f ==，{}min ()min (0),(2)2f x f f ==-，故m 的取值范围[2,2]-.

考点：1、函数单调性，值域；2、导数.

8．C 【解析】

试题分析：由图象可知f （x ）的图象过点（1，0）与（2，0），21,x x 是函数f （x ）的极值点，因此01=++c b ，0248=++c b ，解得3-=b ，2=c ，所以

x x x x f 23)(23+-=，所以263)(2+-='x x x f ，21,x x 是方程0

263)(2=+-='x x x f 的两根，因此221=+x x ，3221=

?x x ，所以383442)(212212

221=

-=?-+=+x x x x x x ，

答案选C.

考点：导数与极值 9．B 【解析】

试题分析：先求出函数为递增时b 的范围，∵已知

3)2(3123

++++=

x b bx x y ∴

y′=x 2+2bx+b+2，∵f （x ）是R 上的单调增函数，∴x 2+2bx+b+2≥0恒成立，∴△≤0，即b2 b 2≤0，则b 的取值是 1≤b≤2，故选B. 考点：函数的单调性与导数的关系．. 10．D. 【解析】

试题分析：先根据'()()()'()0f x g x f x g x +>可确定[]0)()('

>x g x f ，进而可得到

)()(x g x f 在0

数可确定)()(x g x f 在0>x 时也是增函数．于是构造函数)()()(x g x f x F =知)(x F 在R 上为奇函数且为单调递增的，又因为0)3(=-g ，所以0)3()3(==-F F ，所以0)(

试题分析：令()()(0)f x g x x x =

>，∴2'()()

'()0xf x f x g x x -=<，即()g x 在(0,)+∞上

单调递减，

∴当02x <<时，()(2)0f x f >=，再由奇函数的性质可知当2x <-时，()0f x <，

∴不等式2

()0x f x >的解集为(,2)(0,2)-∞-．

考点：1．奇函数的性质；2．利用导数判断函数的单调性．

12．C 【解析】

试题分析：由22()()f x xf x x '+>，0x <得：23

2()()xf x x f x x '+<，即

23[()]0x f x x '<<，令2()()F x x f x =，则当0x <时，()0F x '<，即()F x 在(,0)-∞是

减函数，

2(2014)(2014)(2014)

F x x f x +=++ ，

(2)4(2)

F f -=-，

(2014)(2)0F x F +-->，

()F x 在(,0)-∞是减函数，所以由(2014)(2)F x F +>-得，20142x +<-，即

2016x <-，故选C

考点：1求导；2用导数研究函数的单调性。

13．（Ⅰ）

()ln 2x f x x =-

；（Ⅱ）1

(,]

2-∞．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求导数得

()a f x b x '=

+，由导数几何意义得曲线()y f x =在点

()()1,1f 处的切线斜率为

'1(1)2k f ==

，且1

(1)2f =-

，联立求

11,2a b ==-，从而确定)(x f 的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式等价于

ln 02x k

x x -

+<，参变分离为

2

ln 2x k x x

<-，利用导数求右侧函数的最小值即可．

试题解析：（Ⅰ）∵

()ln f x a x bx

=+， ∴

()a

f x b x '=

+．

∵直线220x y --=的斜率为12，且曲线()y f x =过点1(1,)2-， ∴()()11,211,2f f ?=-????'=??

即1,21,2b a b ?

=-???

?+=??解得11,2a b ==-

． 所以

()ln 2x

f x x =-

4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得当1x >时，

()0k f x x +

<恒成立即 ln 02x k x x -+<，等价于

2

ln 2x k x x

<-．

令()2

ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--．

令

()1ln h x x x

=--，则

()11

1x h x x x -'=-

=．

当1x >时，

()0

h x '>，函数()

h x 在

()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=．

从而，当1x >时，

()0

g x '>，即函数

()

g x 在

()1,+∞上单调递增，

故

()()1

12g x g >=

．

因此，当1x >时，2

ln 2x k x x

<-恒成立，则

12k ≤． ∴ k 的取值范围是

1(,]

2-∞． 12分 考点：1、导数几何意义；2、利用导数求函数的极值、最值． 14．（1）1a =；（2）详见解析． 【解析】

试题分析：（1）

2

'(x)3x 6x a f =-+，由导数的几何意义得'(0)k f a ==，故切线方程为y 2ax =+，将点-2,0（）代入求a ；（2）曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交

点转化为函数

32()()kx 23(1k)4g x f x x x x =-+=-+-+有且只有零点．一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点，从而判断函数大致图象，再说明与x 轴只有一个交点．本题首先入手点为1k

<，当0x ≤时，'()0g x >，且g(1)k 10-=-<，g(0)4=，

所以g()0x =在(,0)-∞有唯一实根．只需说明当0x >时无根即可，因为(1k)x 0->，

故只需说明

32()340h x x x =-+>，进而转化为求函数()h x 的最小值问题处理． （1）

2'(x)3x 6x a f =-+，'(0)f a =．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为y 2ax =+．由题设得，2

2

a -

=-，所以1a =．

（

2

）

由

（

1

）

得

，

32()32

f x x x x =-++．设

32()()kx 23(1k)4g x f x x x x =-+=-+-+．由题设得1k 0->．当0x ≤时，2'()3610g x x x k =-+->，g()x 单调递增，g(1)k 10-=-<，g(0)4=，所以g()0x =在(,0)-∞有唯一实根．当0x >时，令32()34h x x x =-+，则()()(1k)x ()g x h x h x =+->．2'()3x h x =-63(x 2)x x =-，()h x 在(0,2)单调递减；

在(2,)+∞单调递增．所以()()(2)0g x h x h >≥=．所以()=0g x 在(0,)+∞没有实根，综上，()=0g x 在R 上有唯一实根，即曲线()y

f x =与直线2y kx =-只有一个交点．

考点：1、导数的几何意义；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值．

15．（1）

5

4a =

；（2）单调递增区间()5,+∞，单调递减区间()0,5，()=

f x 极小()5ln5

f =-

【解析】

试题分析：（1）由

()2311()ln 424x a a f x x f x x x x '=

+--?=--，

而曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x

y 21

=

，所以()12f '=-，解方程可得a

的值；

（2）由（1）的结果知()2225315145()ln 442444x x x f x x f x x x x x --'=+--?=--=

于

是可用导函数求()

f x 的单调区间；

试题解析：

解：（1）对

()

f x 求导得

()211

4a f x x x '=

--，由()f x 在点()()1,1f 处切线垂直于直线

12y x =

知()32,4f x a '=--=-解得

5

4a =； （2）由（1）知53

()ln 442x f x x x =+--，则()222

15145,444x x f x x x x --'=--=

令()0f x '=，解得1x =-或5x =.因1x =-不在

()

f x 的定义域

()0,+∞内，故舍去.

当()

0,5x ∈时，

()0,

f x '<故

()

f x 在

()0,5内为减函数； 当

()

5,x ∈+∞时，

()0,f x '>故

()

f x 在

()5,+∞内为增函数；

由此知函数

()

f x 在5x =时取得极小值

()5ln5

f =-.

考点：1、导数的求法；2、导数的几何意义；3、导数在研究函数性质中的应用.

16．（1）详见解析；（2）1

2.

【解析】

试题分析：（1）先求出导数方程

()0

f x '=的根，对此根与区间

[]1,e 的位置关系进行分类

讨论，确定函数在区间[]1,e 上的单调性，从而求出函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值；

（2）构造函数

()()

22g x x mf x =-，

利用导数求出函数()g x

的极值点22m x =，并确定函数()g x 的单调性，得到()()220

0g x g x '=???=??，消去22x 并化简得到222ln 10x x +-=，通过构造函数()2ln 1

h x x x =+-并利用导数研究函数()h x 的单调性并结合()10h =

，得到12m =，从而求出

m 的值.

（1）

()11ax f x a x x -'=

-=，0x >，

令()0f x '=得1x a =. 因为10,x a ??∈ ???时，()0f x '>，1,x a ??∈+∞ ???时，()0f x '<， 所以()f x 在10,a ?? ???递增，在

1,a ??+∞ ???递减； ①当

101a <

≤时，即1a ≥时，()f x 在[]1,e 上递减，

所以1x =时

()

f x 取最大值

()1f a

=-；

②当

11e a <

<时，即11a e <<时，()f x 在11,a ?? ??

?递增，在1,e a ?? ???递减， 所以

1

x a =

时，()f x 取最大值1ln 1f a a ??

=-- ???；

③当1e a ≥即

10a e <≤

时，()f x 在()1,e 递增， 所以x e =时

()

f x 取最大值

()1f e ae

=-；

（2）因为方程

()2

2mf x x =有唯一实数解，即2

2ln 20x m x mx --=有唯一实数解，

设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222x mx m

g x x --'=，

令

()0

g x '=，2

0x mx m --=，因为0m >，0x >，

所以102m x -=<

（舍去），22m x +=

，

当()

20,x x ∈时，

()0

g x '<，

()

g x 在

()20,x 上单调递减，

当

()2,x x ∈+∞时，

()0g x '>，

()

g x 在

()2,x +∞上单调递增，

所以()

g x 最小值为

()

2g x ，

则()()22

00g x g x =???'=??，即2

2222

22ln 200x m x mx x mx m ?--=?--=?，

所以

222ln 0

m x mx m +-=，即

222ln 10

x x +-=，

设

()()

2ln 10h x x x x =+->，

()2

10h x x '=

+>

，

()2

10h x x =

+>恒成立，故()h x 在()0,+∞单调递增，

()0

h x =至多有一解，

又()10h =，所以21x =

，即12m +=，解得

1

2m =. 考点：1.分类讨论；2.函数的最值；3.函数的零点