八年级初二数学 勾股定理练习题附解析

一、选择题

1．如图，已知ABC 中，4AB AC ==，6BC =，在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，则这样的点P 共有（ ）．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：

①BD =CE ， ②BD ⊥CE ， ③∠ACE +∠DBC=30°， ④(

)2

22

2BE AD AB

=+．

其中，正确的个数是（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．如图，在RtΔABC 中，∠ACB ＝90°，AC =9，BC =12，AD 是∠BAC 的平分线，若点P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC ＋PQ 的最小值是( )

A ．

245

B ．

365

C ．12

D ．15 4．△ABC 的三边分别为,,a b c ，下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有（ ）

①222a c b -=;②2

()()0a b a b c -++=;③ ∠A ＝∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C ＝

1∶2∶3 ;⑤111

,,345

a b c ===;⑥10,a = 24,b = 26c = A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

5．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =6，DC =2，点P 是AB 上的

动点，则PC +PD 的最小值为（ ）

A ．8

B ．10

C ．12

D ．14

6．如图所示，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.用，表示直角三角形的两直角边（），请仔细观

察图案.下列关系式中不正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．在平面直角坐标系内的机器人接受指令“[α，A]”(α≥0，0°＜A ＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点，正前方为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[4，30°]后位置的坐标为( ) A ．(－2，23)

B ．(－2，－23)

C ．(－2，－2)

D ．(－2，2)

8．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 的中点 B ．BC 的中点

C ．AC 的中点

D ．C ∠的平分线与AB 的交点

9．如图，已知数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，过点A 作直线l 垂直于

PA ，在l 上取点B ，使1AB =，以点P 为圆心，以PB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 所表示的数为（ ）

A 5

B 51

C 51

D ．51-

10．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定

ABC 的形状是（ ）

A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．以上都不对

二、填空题

11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是_____．

12．如图，四边形ABDC中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝43，则该四边形的面积是______．

13．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____．

14．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC边上的高AD＝4，则△ABC的周长为__________.

15．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．

16．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．

17．如图，正方体的底面边长分别为2cm 和3cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm ．

18．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号) ①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°

19．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．

20．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB ， 且3，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是____________．

三、解答题

21．如图，△ABC 和EDC ?都是等边三角形，7,3,2AD BD CD =

==求:（1）AE

长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．

22．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？

（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？

23．如图，已知ABC ?中，90B ∠=?，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ?边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．

（1）当2t =秒时，求PQ 的长；

（2）求出发时间为几秒时，PQB ?是等腰三角形？

（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．

24．如图，△ABC 中，90BAC ∠=?，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ?<∠

（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).

（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.

25．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题

问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．

（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝，BC＝，AC＝．△ABC 的面积是．

（2）已知△PMN中，PM＝17，MN＝25，NP＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积．

26．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），

①若△DMN的边与BC平行，求t的值；

②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

图1 图2 备用图 27．（知识背景）

据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数． （应用举例）

观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…

可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且 勾为3时，股14(91)2=

-，弦1

5(91)2

=+； 勾为5时，股112(251)2=-，弦1

13(251)2

=+； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：

（1）如果勾为7，则股24＝ 弦25＝

（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股

＝ ，弦＝ ． （解决问题）

观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空： （3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则

b = ，

c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．

（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37．

28．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．

（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45?，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90?，此时点E 、G 恰好分别落在线段

AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．

29．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点

E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．

（2）如图1，求AF的长．

（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．

①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．

②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．

30．如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知

AB=10,BC=6,AC=8.

(1)求证:△ADG≌△BDF；

(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；

(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；

(4)求线段EF长度的最小值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【分析】

在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，分三种情况分析：AP BP =、AB BP =、AB AP =；根据等腰三角形的性质分别对三种情况逐个分析，即可得到答案． 【详解】

根据题意，使得ABP △成为等腰三角形，分AP BP =、AB BP =、AB AP =三种情况分析：

当AP BP =时，点P 位置再分两种情况分析： 第1种：点P 在点O 右侧，AO BC ⊥于点O

∴2

2

172AO AB BC ??=-= ???

设OP x = ∴2227AP AO OP x =

+=+

∵4AB AC ==

∴1

32

BO BC =

= ∴3BP BO OP x =+=+

∴27=3x x ++ ∴2x =-，不符合题意；

第2种：点P 在点O 左侧，AO BC ⊥于点O

设OP x = ∴2227AP AO OP x ++∴3BP BO OP x =-=- 273x x +=-

∴2x =，点P 存在，即1BP =；

当AB BP =时，4BP AB ==，点P 存在；

当AB AP =时，4AP AB ==，即点P 和点C 重合，不符合题意； ∴符合题意的点P 共有：2个 故选：B ．

本题考查了等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的性质，从而完成求解．

2．B

解析：B 【分析】

①由AB=AC ，AD=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ；

②由三角形ABD 与三角形ACE 全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ；

③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°； ④由BD 垂直于CE ，在直角三角形BDE 中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断． 【详解】 解：如图，

① ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ， 即∠BAD=∠CAE ， ∵在△BAD 和△CAE 中，

AB AC BAD CAE AD AE ??

∠∠???＝＝＝

∴△BAD ≌△CAE （SAS ）， ∴BD=CE ， 故①正确； ②∵△BAD ≌△CAE ， ∴∠ABD=∠ACE ， ∵∠ABD+∠DBC=45°， ∴∠ACE+∠DBC=45°，

∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°， ∴∠BDC=90°，

故②正确；

③∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD+∠DBC=45°， ∵∠ABD=∠ACE ∴∠ACE+∠DBC=45°， 故③错误； ④∵BD ⊥CE ，

∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2，

∵△ADE 为等腰直角三角形， ∴AE=AD ， ∴DE 2=2AD 2，

∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2， 在Rt △BDC 中，BD BC <， 而BC 2=2AB 2， ∴BD 2<2AB 2， ∴(

)2

22

2BE AD AB <+

故④错误，

综上，正确的个数为2个． 故选：B ． 【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

3．B

解析：B 【分析】

过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点E 作EQ ⊥AC 于点Q ，EQ 交AD 于点P ，连接CP ，此时PC+PQ=EQ 是最小值，根据勾股定理可求出AB 的长度，再根据EQ ⊥AC 、∠ACB=90°即可得出EQ ∥BC ，进而可得出AE EQ

AB BC

=，代入数据即可得出EQ 的长度，此题得解. 【详解】

解：如图所示，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点E 作EQ ⊥AC 于点Q ，EQ 交AD 于点P ，连

接CP ，此时PC+PQ=EQ 是最小值，

在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12， ∴2215AB AC BC +=，

∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠CAD=∠EAD ，

在△ACD 和△AED 中，90CAD EAD ACD AED AD AD ?

∠=∠??∠=∠=??=?

，

∴△ACD ≌△AED （AAS ）， ∴AE=AC=9．

∵EQ ⊥AC ，∠ACB=90°， ∴EQ ∥BC ，

AE EQ

AB BC

∴

=， ∴

91512

EQ =， 65

3EQ ∴=

. 故选B.

【点睛】

本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题以及平行线的性质，找出点C 的对称点E ，及通过点E 找到点P 、Q 的位置是解题的关键．

4．D

解析：D 【分析】

根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】

解：∵222a c b -=，得222a b c =+，符合勾股定理逆定理，则①正确； ∵2

()()0a b a b c -++=，得到222a c b +=，符合勾股定理逆定理，则②正确； ∵∠A ＝∠B -∠C ，得∠B=∠A+∠C ， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B=90°，故③正确；

∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°， ∴3

18090123

C ∠=??

=?++，故④正确；

∵222111()()()45

3

+≠，则⑤不能构成直角三角形，故⑤错误； ∵222102426+=，则⑥能构成直角三角形，故⑥正确； ∴能构成直角三角形的有5个； 故选择：D. 【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形.

5．B

解析：B 【分析】

过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ，此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．由DC ＝2，BD ＝6，得到BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°，于是得到∠CBC ′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】

解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ．

此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小． ∵DC ＝2，BD ＝6， ∴BC ＝8，

连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°， ∴∠CBC ′＝90°，

∴BC ′⊥BC ，∠BCC ′＝∠BC ′C ＝45°， ∴BC ＝BC ′＝8，

根据勾股定理可得DC ′＝22228610BC BD '+=+=． 故选：B ．

【点睛】

此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P 为何位置时 PC ＋PD 的值最小是解题的关键．

6．D

解析：D

【解析】

【分析】

利用勾股定理和正方形的面积公式，对公式进行合适的变形即可判断各个选项是否争取.【详解】

A中，根据勾股定理等于大正方形边长的平方，它就是正方形的面积，故正确；B中，根据小正方形的边长是2它等于三角形较长的直角边减较短的直角边即可得到，正确；

C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；

D中,根据A可得，C可得，结合完全平方公式可以求得

，错误.

故选D.

【点睛】

本题考查勾股定理.在A、B、C选项的等式中需理解等式的各个部分表示的几何意义，对于D选项是由A、C选项联立得出的.

7．B

解析：B

【解析】

根据题意，如图，∠AOB=30°，OA=4，则AB=2，OB=23，所以A(－2，－23)，故选B.

8．A

解析：A

【分析】

先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置．

【详解】

解：如图

∵AB 2=2890000，BC 2=640000，AC 2=2250000 ∴BC 2+AC 2=AB 2， ∴△ABC 是直角三角形，

∴活动中心P 应在斜边AB 的中点． 故选：A ． 【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC 是直角三角形．

9．B

解析：B 【分析】

由数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，得PA=2，根据勾股定理得PB 而即可得到答案． 【详解】

∵数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1， ∴PA=2，

又∵l ⊥PA ，1AB =，

∴PB =

∵

∴数轴上点C 1． 故选B ． 【点睛】

本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理，掌握数轴上两点之间的距离求法，是解题的关键．

10．C

解析：C 【分析】

利用勾股定理的逆定理可以推导出ABD △是直角三角形.再利用勾股定理求出A C ，可得出AB=AC ，即可判断. 【详解】

解：由已知可得CD=BD=5,

22251213+=

即222BD AD AB +=,

ABD ∴是直角三角形，90ADB ∠=?，

90ADC ∴∠=?

222AD CD AC ∴+=

13AC ∴=

13AB AC ∴==

故ABC 是等腰三角形. 故选C 【点睛】

本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握定理是解题关键.

二、填空题

11．（0，21009） 【解析】

【分析】本题点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系．

【详解】∵∠OAA 1=90°，OA=AA 1=1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，再以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…，

∴OA 1，OA 2=）2，…，OA 2018=）2018， ∵A 1、A 2、…，每8个一循环， ∵2018=252×8+2

∴点A 2018的在y 轴正半轴上，OA 2018=2018

=21009，

故答案为（0，21009）.

【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．

12． 【分析】

延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=?，在Rt ABE ?中，利用含30角的直

角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出AE =．同理，在Rt DEC ?中

求出2CE CD ==12DE ==，然后根据CDE ABE ABDC S S S ??=-四边形，计算即可求解． 【详解】

解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，

∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=?，AB AC ⊥，BD CD ⊥， ∴60C ∠=°， ∴30E ∠=?， 在Rt ABE ?中，

4AB =，30E ∠=?，

∴28BE AB ==，

AE ∴=．

在Rt DEC ?中，

30E ∠=?，CD =

2CE CD ∴==

12DE ∴=，

∴1

443832

ABE S ?=??=，

1

43122432

CDE S ?=??=，

24383=163CDE ABE ABDC S S S ??∴=-=-四边形． 故答案为：163．

【点睛】

本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

13．．（3，4）或（2，4）或（8，4）． 【分析】

题中没有指明△ODP 的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P 的坐标． 【详解】

解：（1）OD 是等腰三角形的底边时，P 就是OD 的垂直平分线与CB 的交点，此时OP ＝PD ≠5；

（2）OD 是等腰三角形的一条腰时：

①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 在直角△OPC 中，CP 22OP OC -2254-3，则P 的坐标是（3，4）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 过D 作DM ⊥BC 于点M ，

在直角△PDM 中，PM 22PD DM -3，

当P 在M 的左边时，CP ＝5﹣3＝2，则P 的坐标是（2，4）； 当P 在M 的右侧时，CP ＝5+3＝8，则P 的坐标是（8，4）． 故P 的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）． 故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键. 14．1425+或825+ 【分析】

分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长． 【详解】

解：分两种情况考虑：

如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，

在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=2222543AC AD -=-=，

∴BC=253+，

∴△ABC 的周长为：652531425+++=+； 如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，

在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，

∴BC=253-，

∴△ABC 的周长为：65253825++=+

综合上述，△ABC 的周长为：1425+或825+； 故答案为：1425+或825+. 【点睛】

此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 15．7或29或65 【分析】

分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时． 【详解】

（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时． ∵AC =CD =4，BC =3，∴BD =CD +BC =7；

（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 与E ，连接BD ． 在Rt △BDE 中DE =2，BE =5，∴BD 2229DE BE =

+=； （3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 于E ， 在Rt △BDE 中，DE =4．BE =7，∴BD 2265DE BE =+=．

故答案为：7或29或65．

【点睛】

本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．

16．4或2510 【分析】

分三种情况讨论：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ；③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ．分别画图，并求出BD ．

①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．∵∠DAC=90°，且AD=AC，

∴BD=BA+AD=2+2=4；

②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，

∴∠DCE=45°．

又∵DE⊥CE，

∴∠DEC=90°，

∴∠CDE=45°，

∴CE=DE=2

2

2

2

?=．

在Rt△BAC中，BC22

22

=+=22，∴BD2222

2222

BE DE（）（）

=+=++= 25；

③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．

∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，

∴AD=DC=AC sin45°=2

2

2?=．

又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠BCD=90°．

又∵在Rt△ABC中，BC22

22

=+=22，

∴BD2222

22210

BC CD

=+=+=

（）（）．

故BD的长等于4或510．

故答案为4或510．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，17．5