函数单调性最值问题
1、已知函数y=f(x),x属于A,若对任意a,b属于A,当
a小于b时,都有fa小于fb,则方程fx等
于0有几个根
inh077 2014-12-01
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若对任意a,b属于A,当a小于b时,都有fa小于fb
即函数是单调递增函数
所以
方程f(x)=0最多有1个根.
整理帖子379 2014-12-01
2、已知函数y=f（x）,x∈A,若对任意a,b∈A,当a＜
b时,都有f（a）＜f（b）,则方程f（x）=0的根有几个?
窝窝小鱼95 2014-11-29
优质解答下载作业帮App，拍照秒答因为当a＜b时,都有f（a）＜f（b）,所以y=f（x）是单调递增函数,所以它的根有1个或0个2跨跨933 2014-11-29
3、已知函数y=f(x)的定义域是数集A，若对于任意a，
b∈A，当a＜b时都有f(a)＜f(b)，则方程f(x)=0的实
数根？
[ C ]
A．有且只有一个
B．一个都没有
C．至多有一个
D．可能会有两个或两个以上
-------.条件告诉我们F（X）是单调增函数。那么有可能与X 轴有一个交点，或无交点。
------因为对于任意a、b∈A,当a＜b时,都有f（a）＜f（b），所以可以是0＜f（a）＜f（b）或f（a）＜0＜f（b）所以C 对。
4、已知函数y=fx的定义域是数集A，若对于任意ab∈A，当a 2013-02-23 02:27 提问者采纳 1、 0或1个。 假设方程f(x)=0有两个根m,n，则有m≠n，且f(m)=f(n)=0， 当m 这与f(m)=f(n)相矛盾，所以方程f(x)=0的根有0或1个 因为对于任意a,b∈A,当a 所以，函数y=f(x)在定义域A上是单调递增函数， 所以，若两端点值对应的函数值的乘积是非正数，则存在1个实数根使f(x)=0，若是正数，则f(x)=0没有实数根。 2、f(xy)=f(x)+f(y),x>0,y>0 当x>1时，f(x)>0 令x2>x1>0，则x2/x1>1，f(x2/x1)>0 因为，f(x2)-f(x1)=f((x2/x1)×x1)-f(x1) =f(x2/x1)+f(x1)-f(x1) =f(x2/x1)>0 所以，f(x)在（0，∞）上是增函数 因为，f(1/3)=-1 所以，f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=-2 f(x)-f(1/(x-2)≥2 可化为，f(x)-2≥f(1/(x-2)) 即，f(x)+f(1/9)≥f(1/(x-2)) 即，f(x/9)≥f(1/(x-2)) 所以，原不等式可化为不等式组 ①x/9≥1/(x-2)，即x2-2x-9≥0，解得x≥1+√10，或x≤1-√10 ②x>0 ③x-2>0，即，x>2 综合可得，x≥1+√10 所以，x的取值范围为[1+√10，+∞) 5、已知函数y=f(x)的定义域是数集A，若对于任意a,b∈A,当a 2010-10-13 22:54 提问者采纳 因为对于任意a,b∈A,当a 所以函数y=f(x)在定义域A上是单调递增函数， 所以 若两端点值对应的函数值的乘积是非正数，则存在实数根使 f(x)=0， 若是正数，则不存在。 6、 （本小题满分12分） 已知：函数y＝f (x)的定义域为R，且对于任意的a，b∈R，都有f (a＋b)＝f (a)＋f (b)，且当x＞0时，f (x)＜0恒成立． 证明：（1）函数y＝f (x)是R上的减函数． （2）函数y＝f (x)是奇函数． 题型：解答题难度：偏易来源：不详 答案（找作业答案--->>上魔方格） （1）见解析；（2）见解析。 试题分析：（1）设x1＞x2，则x1－x2＞0，而f (a＋b)＝f (a)＋f (b)，所以f (x1)＝f (x1－x2＋x2)＝f (x1－x2)＋f (x2)＜f (x2)， 即f(x1)＜f(x2)，所以函数在R上是减函数．……6分 （2）由f (a＋b)＝f (a)＋f (b)得：f (x－x)＝f (x)＋f (－x)，即f (x)＋f (－x)＝f (0)，而f (0)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．……12分 点评：本题以抽象函数的单调性证明为载体考查了函数的奇偶性的定义，其中利用“凑配法”得到f（0）=0及f（-x）=-f（x）是解答的关键． ? ? ? ? ? ?函数零点的定义： 一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。 ?函数零点具有的性质： 对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有： (1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号， ?方程的根与函数的零点的联系： 方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点 7、已知定义在R上的函数f(x)是增函数,且经过A(0,-1),B(3,1)两点,那么|f(x+1)|<1的解集是？ 2009-10-18 12:33 miss_sore 分类：教育/科学| 浏览1423 次附带计算过程哦 分享到： 2009-10-18 12:43 提问者采纳 因为函数在R上时单调增函数的，所以只需求出 满足f(x1+1)=1 和满足f(x2+1)=-1 的x1,x2即可 此时的[x2,x1]就是解集 恰好：f(0)=-1 所以x2+1=0 ,所以x2=-1 f(3)=1 所以x1+1=3 ,所以x1=2 所以解集是(-1,2) 8、已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≧0时， ． （I）求f（-1）的值； （II）求函数f（x）的值域A； （III）设函数的定义域为集合B，若A B，求实数a的取值范围． 题型：解答题难度：中档来源：辽宁省月考题 解：（I）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数 ∴f（-1）=f（1） 又x≥0时， ∴，即f（-1）=． （II）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数f（x）的值域A即为x≧0时，f（x）的取值范围， 当x≧0时，故函数f（x）的值域A=（0，1]．（III）∵ 定义域B={x|﹣x2+（a﹣1）x+a≧0}={x|x2-（a﹣1）x﹣a≦0} 由x2-（a-1）x-a≦0 得（x-a）（x+1）≦0 ∵A B ∴B=[-1，a]，且a≧1 ∴实数a的取值范围是{a|a≧1} 9、二题===== 1.（1）若奇函数y=f(x)是定义在[-1,1]上的减函数,且 f(1-a)+f(1-a2)大于0,求a的取值范围 （2）若函数是定义在R上的偶函数,且在区间（负无穷,0）上是增函数,又f(2a-1)大于f(3-a),求a的取值范围 2.已知函数f(x)=(ax2+1)/(bx+c)(a,b,c属于Z)是奇函数, 且f(1)=2,f(2)小于3 （1）求a,b,c的值 （2）当x小于0时,讨论函数f(x)的单调性. 凌风筛乔33 2014-12-13 优质解答下载作业帮App，拍照秒答 1 (1). 注意“定义域”! f(1-a)+f(1-a2)＞0推出 f(1-a)＞-f(1-a2)即 f(1-a)＞f(a2-1) 所以,有如下不等式组 -1≤1-a≤1 -1≤a2-1≤1 1-a＜a2-1 综合可解出 0≤a≤2 0≤a 2 ≤2即-√2≤a≤0或0≤a≤√2 a2+a -2＞0即a ＞1或a ＜-2. 综上所述：1＜a≤√2 (2).因为 f(x)为偶函数且在（负无穷,0】上递增, 由对称性可得f(x)在【0,正无穷）上单调递减 因为函数是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|) f(2a-1)>f(3-a)可化为：f(|2a-1|)>f(|3-a|) 因为f(x)在【0,正无穷）上单调递减, 所以|2a-1| bbGH10CV05 2014-12-13 10、 已知函数f （x ）是 R 上的增函数，A （0，-1），B （3，1）是其图象上的两点，那么|f （x ）|＜1的解集是（ ） A ．（-3，0） B ．（0，3） C ．（-∞，-1]∪[3，+∞） D ．（-∞，0]∪[1，+∞） 题型：单选题难度：中档来源：不详 答案（找作业答案--->>上魔方格） |f（x）|＜1等价于-1＜f（x）＜1， ∵A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，∴f（0）＜f（x）＜f（3） ∵函数f（x）是R上的增函数， ∴0＜x＜3 ∴|f（x）|＜1的解集是（0，3） 故选B． 11、求函数f(x)=x平方-2x-3,x属于(-1,2]的值域zyjwfvuf 2014-10-22 优质解答下载作业帮App，拍照秒答f(x)=(x-1)2-4 所以f(x)最小=f(1)=-4 当x趋近于-1时,f(x)趋近于0 所以值域为[-4,0) 12、函数y=x^2-2x-3/x^2-1的值域为多少落幕的光华| 14-02-09 1条回答 分享 QQ空间新浪微博腾讯微博人人网.共有 1 位网友向您献上回答啦，对答案满意？赶快给出你的好评，感谢他们吧！好评回答大道臸简 | 14-02-10 解： 【法一】 定义域x2-1≠0 解得x≠±1 y=(x2-2x-3)/(x2-1) =[(x+1)(x-3)]/[(x+1)(x-1)] =(x-3)/(x-1) =1-2/(x-1) 当x=-1时，y=1-2/(-1-1)=2 又x≠-1，所以y≠2 因为2/(x-1)≠0，所以y≠1 所以值域为(-∞，1)∪(1，2)∪(2，+∞) 【法二】 判别式法： y=(x2-2x-3)/(x2-1) yx2-y=x2-2x-3 (y-1)x2+2x+3-y=0 ① ①y-1≠0时， 因为x存在 所以 △=22-4(y-1)(3-y)≥0 即 y2+2y+2≥0 因为y2+2y+2=(y+1)2+1＞0恒成立 ②y-1=0时，即y=1 将y=1代入①得 2x+2=0，解得x=-1 又当x=-1时，x2-1=0 不满足定义域，舍去 故y≠1 由①知y≠2 综上：值域y∈(-∞，1)∪(1，2)∪(2，+∞) 复合函数的函数定义域求法、单调性的判定、。 2010-05-13 21:49 _ナ兰|分类：数学|浏览2355次 分享到： 2010-05-14 14:53 提问者采纳 热心网友 复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ①若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出 ②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数的定义域是内函数的值域。 复合函数的话 可以把函数化成几个单一的函数。 比如说y=4/(x+5) 我们可以看成是y=5/x 和y=x+5两个函数的复合,然后分别确定两个函数的单调区间，当然前边那个只是举例，事实上一般都比那个复杂。 确定完单一函数的单调区间后取交集,比如：第一个单一函数的单调区间是（3，6）递增，[6，12）递减，（13，15）递增（假设这就是定义域） 第二个函数的单调区间是（3，12）单调递减，（13，15）递增 那么我们就要取他们的单调交集 因为第二个函数的递减区间是（3，12） 而第一个正好是（3，6）和[6,12) 那么就可以直接划分成（3，6），[6,12)，（13，15）三个集合 第一个集合是增减（即第一个函数是增，第2个函数是减） 依此类推，第二个集合是减减，第三个增增 有一个定理是复合函数的单调性是 增增得增 减减得增 增减得减 其实就是正负号相乘，正正得正，负负得正 关键在于找到单一函数和取对交集 最后,说明： 1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域。 2、函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。 2013-11-03最新采纳 对于两个函数的复合，要求内层函数的值域和外层函数的定义域交集不空才有意义。例如lg(1-x^2)有意义，而lg(-1-x^2)就没有意义。对于多个函数进行的多层复合也有类似要求。如果进行复合的各层函数单调性是明确的，那么复合函数的单调性类似乘法运算的符号规则：同号相乘得正，异号相乘得负。并且规定增函数对应正号，减函数对应负号。那么增函数复合的结... 展开全部 13、求函数y=2x-1-√13-4x 的最大值. √为根号下. 方法：1、先求定义域，由根号里的式子得x。先求根号的定义域。由根号里的式子得x<=13/4。 当y=2x-1-0时是最大的. 所以13-4x=0 x=13/4 y=2*13/4-1-√13-4*13/4=11/2 2、另一种办法：令a=√(13-4x) 则a>=0，a2=13-4x x=(13-a2)/4 y=2*(13-a2)/4-1-a =-a2/2-a+11/2 =-(1/2)(a+1) 2+6 a>=0，则对称轴在定义域的左边，开口向下 所以a>=0时，y递减 所以a=0时，y最大=11/2 。 14、已知函数f（x）对任意实数x,y恒有f（x+y）=f （x）+f（y）且当x＞0,f（x）＜0.又f（1）=-2. （1）判断f（x）的奇偶性. （2）求f（3）在区间[-3,3]上的最大值. （3）解关于x的不等式f（ax^2）-2f(x)＜f(ax)+4 夏末秋凉丶遄 2014-09-29 优质解答下载作业帮App，拍照秒答（1） 令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0 又令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),对任意的x都恒成立 所以f(x)为奇函数 （2） 设x1,x2∈R,且x1>x2,则x1-x2>0 f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2) 又因为当x＞0,f（x）＜0 所以f(x1-x2) 惷公子 2014-09-29 其他回答 令x，y均等于0，f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0 令y=-x，f（0）=f（x）+f（-x）=0，所以f（x）=-f （-x），即函数为奇函数 令x<0,则-x>0,f(-x)=-f（x）＜0,所以f（x）>0,[-3，3]上的最大值在-3处取得， f（3）=f（1）+f（2）=3f(1)=-6,最大值f（-3）=-f （3）=6 f（ax^2）-2f(... 祸祸1987 2014-09-30 全部展开令x，y均等于0，f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0 令y=-x，f（0）=f（x）+f（-x）=0，所以f（x）=-f （-x），即函数为奇函数 令x<0,则-x>0,f(-x)=-f（x）＜0,所以f（x）>0,[-3，3]上的最大值在-3处取得， f（3）=f（1）+f（2）=3f(1)=-6,最大值f（-3）=-f （3）=6 f（ax^2）-2f(x)=f（ax^2）-f(x)-f(x)=f（ax^2-2x）f（2）=2f（1）=-4，f（-2）=4，f(ax)+4=f(ax)+f（-2）=f（ax-2） 即f（ax^2-2x）ax^2-(2+a)x+2>0 (x-1)(ax-2)>0 a<0,(x-1)(-ax+2)<0,2/aa>0,(x-1)(ax-2)>0, 0 a>=2,2/a 祸祸1987 2014-09-30 收起 15、已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y）=f （x）+f（y）-1，且当x>0 时， f（x）＞1． （1）求证：函数f（x）在R上是增函数； （2）若关于x的不等式的解集为{x|-3＜x ＜2＝，求f（2009）的值； （3）在（2）的条件下，设,若数列从第k项开始的连续20项之和等于102，求k的值． （1）证明：设x1＞x2，则x1-x2＞0，从而f（x1-x2）>1,即f（x1-x2）-1＞0．………2分 , 故f（x）在R上是增函数．…4分 （2）设2 =f（b），于是不等式为． 则,即．………6分 ∵不等式f（x2-ax +5a）<2的解集为{x|-3 于是,解得∴f（1）＝2．………8分 在已知等式中令x=n,y=1,得f（n+1）-f（n）=1． 所以{f（n）}是首项为2,公差为1的等差数列． f（n）=2+（n-1）×1=n+1，故f（2009）=2010．………10分 （3）． 设从第k项开始的连续20项之和为T k，则． 当k≥13时，a k=|k-13|=k-13，T k≥T13=0＋1＋2＋3＋…＋19=190＞102．（11分） 当k<13时，a k=|k-13|＝13-k． T k=（13-k）+（12一k）＋…＋1＋0＋1＋…＋（k＋6）=k2一7k＋112． 令kk＋112＝102，解得k=2或k＝5．………14分 （注：当k≥13时，a k=|k一13|=k一13，令 , 无正整数解．得11分） 函数的单调性与最值 1.下列函数中，在区间（-1，1）为减函数的是（ ） A ．x y -=11 B ．x y cos = C ．)1ln(+=x y D ．x y -=2 2.函数)82ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是（ ） A ．)2,(--∞ B ．)1,(-∞ C ．),1(+∞ D ．),4(+∞ 3.若函数m x x x f +-=2)(2在),3[+∞上的最小值为1，则实数m 的值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．1 4函数x x x f -=1)(的单调递增区间是（ ） A ．)1,(-∞ B ．),1(+∞ C ．)1,(-∞，),1(+∞ D ．)1,(--∞，),1(+∞ 5设函数)1()(,0,10,00,1)(2-=?? ???<-=>=x f x x g x x x x f ，则函数g (x)的单调递减区间是（ ） A ．]0,(-∞ B ．)1,0[ C ．),1[+∞ D ．]0,1[- 6.若函数R x x a x x f ∈++=,2)(2在区间),3[+∞和]1,2[--上均为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]3,311[-- B ．]4,6[-- C ．]22,3[-- D ．]3,4[-- 7.函数],(,1 2n m x x x y ∈+-=的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．)2,1( B ．)2,1(- C ．)2,1[ D ．)2,1[- 8.已知函数a ax x x f +-=2)(2在区间)1,(-∞上有最小值，则函数x x f x g )()(=在区间),1(+∞上一定（ ）A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数 9.若函数2)(2-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 10.已知函数f (x)的值域为]9 4,83[，则函数)(21)()(x f x f x g -+=的值域为 1.已知函数)1(log 2-=ax y 在)2,1(上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]1,0( B ．]2,1[ C ．+∞,1[) D ．+∞,2[) 三角函数的单调性和最值问题 例1已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间． 解(I)1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 222sin(2)224 x x f x x x x x π-+=++=++=++ ∴当2242x k π ππ+=+,即()8x k k Z π π=+∈时, ()f x 取得最大值22+. 函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+ ∈. (II) ()22sin(2)4f x x π=++ 由题意得: 222()242k x k k Z πππππ- ≤+≤+∈ 即: 3()88 k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88 k k k Z ππππ- +∈. 例2 已知函数f (x )＝π2sin 24x ??-+ ???＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间π0,2 ?? ???? 上的最大值和最小值． (3)求f (x )在区间π0,2?????? 的单调区间和值域。 解：(1)f (x )＝2-sin 2x ·ππcos 2cos 2sin 44 x -?＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝π22sin 24x ??- ?? ?. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2 ＝π. (2)因为f (x )在区间3π0,8??????上是增函数，在区间3ππ,82?????? 上是减函数．又f (0)＝－2，3π228f ??= ???，π22f ??= ???，故函数f (x )在区间π0,2??????上的最大值为22，最小值为－2. 函数的单调性、极值与最值问题 典例9 (12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 审 题 路 线 图 求f ′(x ) ――――――→讨论f ′(x ) 的符号 f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2. 评分细则(1)函数求导正确给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分； (3)求出最大值给2分； (4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分； (5)通过分类讨论得出a的范围，给2分． 跟踪演练9(优质试题·天津)已知函数f(x)＝a x，g(x)＝log a x，其中a>1. (1)求函数h(x)＝f(x)－x ln a的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(x2， g(x2))处的切线平行，证明x1＋g(x2)＝－2ln ln a ln a； (3)证明当a≥1e e时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线． (1)解由已知得h(x)＝a x－x ln a， 则h′(x)＝a x ln a－ln a. 令h′(x)＝0，解得x＝0. 由a>1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： 所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)证明由f′(x)＝a x ln a，可得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处 的切线斜率为1x a ln a．由g′(x)＝ 1 x ln a，可得曲线y＝g(x)在点 1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性； 函数的单调性与最值练习题 学校:__＿____＿__＿姓名：___________班级:______＿__＿_考号:___＿＿＿＿_＿_＿ 一、选择题(每小题4分） 1.函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( ) A.1- B.0 C.１ Ｄ．2 2.已知212()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ） A.(1,)+∞ B.(2,)+∞ C.(,0)-∞ D ．(,1)-∞ 3.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ,总有 ()()0f a f b a b ->-成立, 则必有（ ） A.()f x 在R 上是增函数 B.()f x 在R 上是减函数 Ｃ．函数()f x 是先增加后减少 D.函数()f x 是先减少后增加 4．若在区间（-∞,1]上递减,则a 的取值范围为( ) A. [1,2) ? B. [1，2] ? Ｃ. ［1,＋∞)???D. [2,+∞） 5.函数y=x ２﹣2x ﹣1在闭区间［０，３]上的最大值与最小值的和是( ) Ａ.﹣1 Ｂ．0 C.1 Ｄ.2 6．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈,有 2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜1()3 f 的x 取值范围是( ） A.(12,23） B.［13，23） Ｃ. (13,23) D.［12,23 ) 7.已知（x)=???≥<+-)1(log )1(4)13(x x x a x a a 是（－∞,+∞）上的减函数，那么ａ的取值范围是( ) Ａ.(０，1) B ．（0，31 ） C.[71，31） D.[71,１） 8.函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ) Ａ.（-∞，－3） B ．(-∞，－1) C.(１，+∞) D ．(-3,-１) 9．已知函数()f x 是定义在[0,) +∞的增函数，则满足(21)f x -<1()3f 的x 取值范围是( ) (A ）(∞-,23） （B ）[13，23） (Ｃ）(12，∞+） (Ｄ)［12,23 ) 10．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A ．2x y = B.1y x = C.2y x = D ．tan y x = 第三节函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1 x D ．y ＝x |x | 解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12 B ．k <12 C ．k >－1 2 D ．k <－1 2 解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k <－1 2 . 3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x 1－x 的最大值是( ) A.4 5 B.54 C.3 4 D.43 解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2 －x ＋1＝? ????x －122＋34≥34 ，∴0<11－x 1－x ≤43. 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2 －2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m 函数的单调性与最值 【知识要点】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 (2)单调区间的定义 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝ f (x )的单调区间． （3）判断函数单调性的方法 ①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。 2．函数的最值 求函数最值的方法： ①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法； ②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。 【复习回顾】 一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质： (1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a - 时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题: ①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? ①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？ ②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？ ③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 函数的基本性质——单调性与最大(小)值 【教学目标】 1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性 【教学重难点】 教学重点：函数的单调性的概念。 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教学过程】 一、复习引入。 1 分别画函数2x y =和3x y =的图象。2 x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2． 2．引入：从函数2x y = 的图象（图1）看到： 图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当 1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ， 2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。 1．增函数与减函数。 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是 增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2 x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增 函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。 2．单调性与单调区间。 若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集； （2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ， （3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或) (1x f ≥ )(2x f ，”即可； （4）定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。 第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称 函数y＝f(x)在区间M上是增 函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y ＝f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数， 性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1 f （x ） 的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ． ()()1212 f x f x x x -->0 B ．f(a) 函数的单调性与最值 基础梳理 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义 增函数减函数 一般地，设函数 f ( x) 的定义域为 I . 如果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2 定义当x1＜x2时，都有 f ( x1 ) 当x1＜x2时，都有 f ( x1) ＜f ( x2) ，那么就 ＞f ( x2 ) ，那么就说函数f 说函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数 ( x ) 在区间 D上是减函数 图象 描述 自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义 若函数 f ( x) 在区间 D上是增函数或减函数，则称函数 f ( x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，区间 D 叫做 f ( x) 的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数 y＝f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈ I ，都①对于任意 x∈I ，都有 条件有 f ( x) ≤ M； f ( x) ≥ M； .②存在 x0∈ I ，使得②存在 x0∈ I ，使得 f ( x0 ) f ( x0 ) ＝ M M ＝ . 结论M为最大值M为最小值注意： 一个防范 1 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝x分别在 ( －∞， 0) ，(0 ，＋∞ ) 内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即 ( －∞，0) ∪(0 ，＋∞ ) 内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为 ( －∞，0) 和(0 ，＋∞ ) ，不能用“∪”连 接．两种形式 设任意 x1，x2∈[ a， b] 且 x1＜x2，那么 f x1－f x2 f x1－f x2 ①＞ 0? f ( x) 在 [ a，b] 上是增函数；＜0? f ( x) x1－x2x1－x2 在 [ a，b] 上是减函数． ②( x1－ x2 )[ f ( x1) －f ( x2)] ＞0? f ( x) 在[ a，b] 上是增函数；( x1－x2)[ f ( x1) －f ( x2)] ＜0? f ( x) 在 [ a，b] 上是减函 数．两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最 值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大 ( 小 ) 值． 四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论． (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函 数． (3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性． 单调性与最大（小）值同步练习 一、选择题 1、下列函数中，在 (0 ，2) 上为增函数的是 ( ) 函数的单调性与最值 一、知识梳理 1．增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1 函数的单调性及最值之二 一、例题讲解 例1.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??-- ???，内是减函数，求a 的取值范围． 例2、已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++ （1）如3a b ==-，求()f x 的单调区间； （1）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明: βα-＜6. 例3.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??-- ???，内是减函数，求a 的取值范围． 例4.已知a 是实数，函数())f x x a =-。 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；Ⅱ）设)(a g 为()f x 在区间[]2,0上的最小值。 （i ）写出)(a g 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g 。 二、课后作业 1.(2009年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ( ) A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 2.（2009天津重点学校二模）已知函数=y )(x f 是定义在R 上的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时不等式0)()('<+x xf x f 成立， 若)3(33.03.0f a =，),3(log )3(log ππf b = )9 1(log )91(log 33f c =，则c b a ,,的大小关系是 （ ）A ．c b a >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 3.（2009浙江文）若函数2()()a f x x a x =+∈R ，则下列结论正确的是 （ ） A.a ?∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B.a ?∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数 C.a ?∈R ，()f x 是偶函数 D.a ?∈R ，()f x 是奇函数 4.（2007年福建理11文）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x > 时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时 （ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 5.（ 08年湖北卷）若21()ln(2)2 f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值 范围是 （ ） A . [1,)-+∞ B . (1,)-+∞ C . (,1]-∞- D . (,1)-∞- 6（2009辽宁卷文）若函数2()1 x a f x x +=+在1x =处取极值，则a = 7.（2009江苏卷）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . 第二节函数的单调性与最值 1．函数的单调性 理解函数的单调性及其几何意义． 2．函数的最值 理解函数的最大值、最小值及其几何意义． 知识点一函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为 I .如果对于定义域 I 内某个区间 A 上的任意两个 自变量的值 x1 2 ， x 定义 当 x1 f x1－ f x2 ①>0? f(x)在 [a， b]上是增函数； x1－ x2 f x1－ f x2 <0? f(x) 在[a， b] 上是减函数． x1－ x2 ②(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2 )]>0 ? f(x)在 [a， b]上是增函数； (x1－ x2 )[f(x1)－ f(x2)]<0? f(x)在[ a，b]上是减函数． 2．复合函数y＝ f[ g(x)] 的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝ f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝ f[g(x)] 必为减函数． [ 自测练习 ] 1．下列函数中，在区间(0，＋∞ )上单调递减的是 ( ) 1 A ． f(x)＝x B ． f(x)＝ (x－ 1) 2 C．f(x)＝ e x D ．f(x)＝ ln( x＋1) 2．函数 f(x)＝ log5(2x＋ 1)的单调增区间是________． － x2－ ax－ 5， x≤ 1， 3．已知函数 f(x)＝ a 在 R 上为增函数，则 a 的取值范围是 () x， x>1 A ． [－ 3,0) B ． [－3，－ 2] C．( －∞，－ 2] D ．(－∞， 0) 知识点二函数的最值 前提设函数 y＝ f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 对于任意 x∈ I ，都有 f(x) ≤M 对于任意 x∈ I，都有 f(x)≥ M 条件 存在 x0∈I ，使得 f( x0)＝ M 存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝ M 结论M 为最大值M 为最小值 易误提醒在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性． 必备方法求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等 式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 函数专题：单调性与最值 一、增函数 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： y 的值有什么变化？ ○ 2 能否看出函数的最大、最小值？ ○ 3 函数图象是否具有某种对称性？ 2、从上面的观察分析，能得出什么结论？ 不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。 3.增函数的概念 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 【针对性练习】 下图是借助计算机作出函数y =－x 2 +2 | x | + 3的图象，请指出它的的单调区间． 2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1 第三讲 函数的基本性质------单调性 【教学目标】 1.理解函数的单调性； 2.会写出函数的单调区间,能运用函数的图象研究函数的单调性及性质； 3.会证明函数的单调性． 4.会求函数在给定区间上的最大(小)值； 【知识梳理】 1. 函数的单调性定义 设函数的定义域为I ： 如果对于定义域I 内 ，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数； 如果对于定义域I 内 ，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数. 2.函数的单调性：如果函数)(x f y =在区间D 上是 ，那么就说函数)(x f 在区间D 上具有 ； 区间D 叫做函数的 . 3. 函数单调性的几何意义： 在函数图像上，沿着ｘ轴的正方向看，在区间M 中，图像是上升（下降）的就说)(x f 在上M 是 （ ）.（如下图） 4.证明函数单调性的方法及步骤 (1)定义法 取值：任取1x ，2x A ∈，且21x x <； 作差：)()(21x f x f -； 变形定号：将)()(21x f x f -通过因式分解、通分、有理化、配方等手段变形到能判断其符号； 下结论：若0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <，则)(x f y =是增函数；若 0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f >，则)(x f y =是减函数。 (2)图象法：通过观察函数图象判断其单调性； 若在某区间上沿x 轴正方向从左到右是逐渐上升（下降）的，则函数)(x f y =在该区间上是增（减）函数 5.单调性法求最值 这是求最值的重要方法，特别是当函数图象作不出来时，单调性几乎成为首选方法． （2） ) （1） 高中数学-函数的单调性与最值练习 1．(·菏泽一模)给定函数①y ＝x 1 2；②y ＝log 12 (x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1 ，其中在区 间(0，1)上递减的函数序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 解析：选B.①y ＝x 1 2在区间(0，1)上递增；②y ＝log 12 (x ＋1)在区间(0，1)上递减；③y ＝|x －1|＝? ????x －1，x ≥1，1－x ，x <1在区间(0，1)上递减；④y ＝2x ＋1 在区间(0，1)上递增．故选B. 2．若函数f (x )＝x 2 －2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1 解析：选B.因为f (x )＝(x －1)2 ＋m －1在[3，＋∞)上为增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的 最小值为1，所以f (3)＝1，即22 ＋m －1＝1，m ＝－2. 3．(·北京海淀区模拟)下列函数y ＝f (x )的图像中，满足f ? ?? ??14>f (3)>f (2)的只可能是( ) 解析：选D.因为f ? ????14>f (3)>f (2)，所以函数y ＝f (x )有增有减，排除A ，B.在C 中，f ? ????14 函数的单调性与最值 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－ f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数.( ) (2)函数y ＝1 x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( ) (3)对于函数y ＝f (x )，若f (1) 【例1】 (1)函数y ＝log 12(－x 2 ＋x ＋6)的单调增区间为( ) A.? ????12，3 B.? ????－2，12 C.(－2，3) D.? ???? 12，＋∞ (2)(一题多解)试讨论函数f (x )＝ax x －1 (a ≠0)在(－1，1)上的单调性. 【训练1】 (1)设函数f (x )＝???1，x >0， 0，x ＝0，－1，x <0， g (x )＝x 2 f (x －1)，则函数 g (x )的递减 区间是________. 考点二 求函数的最值 【例2】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12 B.14 C.2 D.4 (2)(一题多解)(2020·惠州一中月考)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝???a ，a ≤b ，b ，a >b . 设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是______. 【训练2】 (1)定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ，2x －3，6－x }，则M 的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 (2)设函数f (x )＝???x 2，x ≤1， x ＋6 x －6，x >1， 则f (x )的最小值是________. 考点三 函数单调性的应用 多维探究 角度1 利用单调性比较大小高中数学函数的单调性与最值练习题
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