10静电场中的导体和电介质习题解答课件

第十章 静电场中的导体和电介质

一 选择题

1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( )

20

200π4 . D )(π4 . C π4 . B π4 .A R)(a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势

??'±'±='='='q q q R R q V 0d π41π4d 00

εε 点电荷q 在球心处的电势为 a

q V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势a

q V V V 00π4ε='+=。 所以选（A ）

2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( )

00002 . D . C 2 . B 2 .A εd E=εE=E E σσεσεσ== 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且

高斯面内电荷为S 2σ，可得 0

εσ=E 。 所以选（C ）

3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d

)R

d (q R d q 11π4 D. 4πq C. π4 B. 0 A.000-εεε 解：球壳内表面上的感应电荷为-q ，球壳外表面上的电o R d +q ． 选择题3图

选择题2图

荷为零，所以有)π4π4000R

q d q

V εε-+=。 所以选（ D ）

4. 半径分别为R 和r 的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( )

A ． R ／r B. R 2 / r 2 C. r 2 / R 2 D. r / R 解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为Q 、q ，因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则

r q R Q 00π4π4εε= 即 r

R q Q = R

r r q R Q r R ==22 4/4/ππσσ 所以选（D ）

5. 一导体球外充满相对介质电常数为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为 ( )

A. ε0 E

B. ε0εr E

C. εr E

D. (ε0εr -ε0) E 解：根据有介质情况下的高斯定理??∑=?q S D d ，取导体球面为高斯面，则有

S S D ?=?σ，即E D r 0εεσ==。

所以选（B ）

6. 一空气平行板电容器，充电后测得板间电场强度为E 0，现断开电源，注满相对介质常数为εr 的煤油，待稳定后，煤油中的极化强度的大小应是（ ）

0r 00r

r 0r r 00r 01 . D 1 . C 1 . B .A )E (εεE ε)(εE ε)(εεE εε --- 解：断开电源后，不管是否注入电介质，极板间的自由电荷q 不变，D 0=D 即 E E r 000εεε= 得到 r 0/εE E =

又 P E D +=0ε

0r

r 0r 00000)1(E E E E D P εεεεεεε-=-=-= 所以选（B ）

7. 两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，两者的电容值相比较

( )

A. 实心球电容值大

B. 实心球电容值小

C. 两球电容量值相等

D. 大小关系无法确定

解：孤立导体球电容R C 0π4ε=，与导体球是否为空心或者实心无关。 所以选（C ）

8. 金属球A 与同心球壳B 组成电容器，球A 上带电荷q ，壳B 上带电荷Q ，测得球和壳间的电势差为U AB ，则该电容器的电容值为（ ）

A. q /U AB

B. Q /U AB

C. (q +Q )/ U AB

D. (q +Q )/(2 U AB )

解：根据电容的定义，应选（A ）。

9. 一空气平行板电容器，极板间距为d ，电容为c 。 若在两板中间平行地插入一块厚度为d / 3的金属板，则其电容值变为 ( )

A. C

B. ２C ／３

C. 3 C ／２

D. ２C 解：平行板电容器插入的金属板中的场强为零，

极板上电荷量不变，此时两极板间的电势差变为：

0 32)3(εσεσd d d d E U =-='= 其电容值变为： C d S S U Q C 2

3233d 2 00

===='εεσσ 所以选（C ）

10. 一平板电容器充电后保持与电源连接，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变？( )

A. 电容器的电容量

B. 两极板间的场强

C. 电容器储存的能量

D. 两极板间的电势差

解：平板电容器充电后保持与电源连接，则两极板间的电势差不变；平行板电容器的电容d

S C ε=，改变两极板间的距离d ，则电容C 发生变化；两极板间的场强d

U E =，U 不变，d 变化，则场强发生变化；电容器储存的能量2e 21CU W =，U 不变，d 变化，导致电容C 发生变化，则电容器储存的能量也要发生变化。 所以选（D ）

二 填空题

1. 一任意形状的带电导体，其电荷面密度分布为σ(x 、y 、z )，则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小E (x 、y 、z ) = ，其方向 。

解：E (x 、y 、z )= σ(x 、y 、z )/ε0，其方向与导体表面垂直朝外(σ>0)或与导体表面垂直朝里(σ<0)。

d /3 选择题9题

2. 如图所示，一无限大均匀带电平面附近设置一与之平行的无限大平面导体板。已知带电面的电荷面密度为σ ，则导体板两侧面

的感应电荷密度分别为σ1 和σ2 = 。

解：由静电平衡条件和电荷守恒定律可得：

02220

2010=-+εσεσεσ；21σσ-=。由此可解得：21σσ-= ；2

2σσ=。 3. 半径为R 1和R 2的两个同轴金属圆筒(R 1< R 2)，其间充满着相对介电常数为εr 的均匀介质，设两筒上单位长度带电量分别为λ 和-λ ，则介质中的电位移矢量的大小D = ，电场强度的大小E = 。

解：根据有介质情况下的高斯定理，选同轴圆柱面为高斯面，则有D = λ /（2πr ），

电场强度大小E = D /εr ε0=λ /（2πεr ε0 r ）。

4. 平行板电容器的两极板A 、B 的面积均为S ，相距为d ，在两板中间左右两半分别插入相对介电常数为εr1和εr2的电介质，则电容器的电容为 。

解：该电容器相当于是两个面积为S /2的电容器的并联，电容值分别为：

d S C 211r 01εε=，d

S C 212r 02εε=， )(22r 1r 021εεε+=+=∴d

S C C C 5. 半径为R 的金属球A ，接电源充电后断开电源，这时它储存的电场能量为5×10-5J,今将该球与远处一个半径是R 的导体球B 用细导线连接，则A 球储存的电场能量变为 。

解：金属球A 原先储存的能量J 1052152

-?==C

Q W ,当它与同样的金属球B 连接，则金属球A 上的电荷变为原来的1/2，则能量J 1025.1)2/(2152

-?=='C

Q W 6. 三个完全相同的金属球A 、B 、C ，其中A 球带电量为Q ，而B 、C 球均不带电，先使A 球同B 球接触，分开后A 球再和C 球接触，最后三个球分别孤立地放置，则A 、B 两球所储存的电场能量W e A 、W e B ，与A 球原先所储存的电场能量W e0比较，W e A 是W e0的 倍，W e B 是W e0的 倍。

解：初始A 球的电场能量C

Q W 20e 21=，先使A 球同B 球接触，则

σ σ 1 2 填充题2图

Q Q Q B A 2

1==，0e 2e 41)2/(21W C Q W B ==， 分开后，A 球再和C 球接触，则

Q Q Q C A 4

1=='，0e 2e 161)4/(21W C Q W A == 7. 一空气平行板电容器，其电容值为C 0，充电后将电源断开，其储存的电场能量为W 0，今在两极板间充满相对介电常数为εr 的各向同性均匀电介质，则此时电容值C = ，储存的电场能量W e = 。

解：初始时电容0

00U Q C =，充电后将电源断开，Q 0不变，由r 0/εεD E =，当两极板间充满电介质时，两极板电势差r

0r 00r 0εεεεεU S d Q d D Ed U ====，0r 0C U

Q C ε==∴ r 0r 20202121εεW C Q C Q W ===。 8. 一平行板电容器，极板面积为S ，间距为d ，接在电源上并保持电压恒定为U 。若将极板距离拉开一倍，那么电容器中静电能的增量为 ，电源对电场做功为 ，外力对极板做功为 。

解：初始时，电容器的静电能2000002121U d

S U Q W e ε==，将极板距离拉开一倍，电容值变为00212C d S C ==ε，极板间电压不变，00002

121Q U C CU Q ===∴，此时电容器的静电能200e 0e 412121U d

S W QU W ε=== ∴电容器中静电能的增量 200e e e 41U d

S W W W ε-=-=? 电源对电场做功200021)21(U d

S Q Q U q U W ε-=-=?= 由能量守恒，电源和外力做功的和等于电容器中静电能的改变，所以外力做的功

d

SU U d S U d S W W W 4242

02020e εεε=+-=-?=' 9. 平板电容器两板间的空间（体积为V ）被相对介电常数为εr 的绝缘体充填，极板上电荷的面密度为σ，则将绝缘体从电容器中取出过程中外力所做的功为 。（摩擦不计）

解：当平板电容器充满相对介电常数为εr 电介质时，场强r

0r 01εεσεε==D E ，抽出后场强0

02εσε==D E

此时具有的静电能 ??????===V V E V w W e r

0221r 0e 121d 21d εεσεε 当电介质取出后静电能 ??????===V V E V w W 0

2220e 2e 21d 21d εσε 由能量守恒，在此过程中若不计摩擦，外力做功的等于静电能的增量

)11(22121r

02r 0202e εεσεεσεσ-=-=V V V W

三 计算题

1. 如图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ，设无限远处为电势零点，试求：(1)球壳内外表面上的电荷；(2)球心处由球壳内表面上电荷产生的电势；(3)球心处的总电势。

解：（1）由静电感应，金属球壳的内表面上有感应电

荷-q ，外表面上带电荷q +Q 。 （2）不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的距离都是a ，所以由这些电荷在O

点产生的电势为

a

q a q

V q 00π4π4d εε-==?- （3）球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和电荷q 在O 点产生的电势的代数和 b Q b a r q b

q Q a q r q V V V V q Q q q 000000π4)111(π4 π4π44πεεεεε++-=++-=++=+-

2. 一导体球半径为R 1，其外部是一个同心的厚导体球壳，球壳内、外半径分别为R 2和R 3。此系统带电后内球电势为U ， 外球壳所带总电量为Q 。求此系统各处的电势和电场分布。

解：设内球带电q 1，则

)(411

121310R q R q R q Q U +-+=πε 由此得 2

1313221321014R R R R R R Q R R U R R R q +--=πε 1R r <： U U =， 0=E

b a q r Q 计算题1图

21R r R <<： )(

41121310r q R q R q Q U +-+=πε 2014r

q E πε= 32R r R <<： 3

1041R q Q U +=πε， 0=E 3R r >： r q Q U 014πε+= 2014r q Q E πε+= 3. 在一半径为R 1=6.0cm 的金属球A 外面套有一个同心的金属球壳B 。已知球壳B 的内、外半径分别为R 2=8.0cm ，R 3=10.0cm 。设A 球带有总电量Q A =3×10-8C ，球壳B 带有总电量Q B =2×10-8C 。求：（1）球壳B 内、外表面上所带的电量以及球A 和球壳B 的电势；（2）将球壳B 接地然后断开，再把金属球A 接地。求金属球A 和球壳B 内、外表面上所带的电量以及球A 和球壳B 的电势。 解：（1）C Q Q A B 8103-?-=-=内

C Q Q Q B A B 8105-?=+=外

V R Q Q R Q R Q U B A A A A 3321

01063.541?=???? ??++-=πε V R Q Q U B A B 330105.441?=+=πε

（2）B 球接地后断开，则B 球的带电量为C Q B

8103-?-='，然后内球接地，则内球电势0='A U ，设此时内球带电量为A q '则有

0444302010='+'+'-+'=

'R q Q R q R q U A B A A A πεπεπε 解得：C R R R R Q q B A 83

2131012.2-?=+-'-=' C q q A B 81012.2-?-='-='内； C q Q q A B B 81088.0-?-='+'='外 V R q Q U A B B

2301092.74?-='+'='πε 4. 电荷以相同的面密度σ 分布在半径为r 1=10cm 和r 2=20cm 的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为V 0=300V 。（1） 求电荷面密度σ ；

（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？

解：（1）球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即

)() 4 4( 41)( 41210

222121021100r r r r r r r q r q V r +=+=+=επππεπεσσσ

92

1001085.8-=+=×εr r V σ C/m 2 （2）设外球面上放电后电荷面密度为σ′，则应有0) (1 210

0='+=r r V σσε 即 σσ2

1 r r -='，所以外球面上应变成带负电，共应放掉电荷： 92002122

122221067.64)(4)1(4) (4 -==+=+='-=×πεπππr V r r r r r r r q σσσσ C 5. 有两块平行板，面积各为100 cm 2 板上带有8.9×10-7C 等值异号电荷，两板间充以介电物质，已知介质内部场强为1.4×106Vm -1,求：(1)介质的相对介电常数；(2)介质表面上的极化面电荷Q'。

解：（1）由电介质中的高斯定理得σ=D =25C/m 109.8-?=S

Q 2.70r ==E

D εε （2）C 107.7)1(9r 0-?=-=?='='

E S P S S Q εεσ

6. 半径为R 的导体球，带有正电荷Q ，球外有一同心均匀电介质球壳，球壳的内外半径分别为a 和b ，相对介电常数为εr 。求：（1）介质内外的D 和E ；

（2）介质内的极化强度矢量P 和介质表面的极化电荷面密度。

解：（1）由电介质中的高斯定理得：R r <， 0=D

R r >， 2

π4r Q D = 又由r

0εεD E =，得： R r <， 0=E a r R <<， 2

0π4r Q E ε= b r a <<， 2r 0π4r

Q E εε= b r >， 2

0π4r Q E ε= D 和E 的方向均沿径向向外。

（2）介质内的极化强度矢量P 的大小

2r 0r 0r 0e 0π4)1()1(r Q

E E P εεεεεεχε-=-==

n e P ?='σ

介质下表面极化电荷面密度 2r 0r 0π4)1(a Q a

εεεεσ--=' 介质上表面的极化电荷面密度 2r 0r 0π4)1(b Q b εεεεσ-='

7. 两同心导体球壳中间充满相对介电常数为εr 的均匀电介质，其余为真空，内球壳半径为R 1，带电量为Q 1；外球壳半径为R 2，带电量为Q 2，如图所示。求图中距球心O 分别为r 1、r 2、r 3的a 、b 、c 三点的场强和电势。 解：分别取半径为r 1、r 2、r 3的高斯球面，利用高斯定理得： E a =0

,42

2r 01r Q E b εεπ=沿径向方向向外 ,422

021r Q Q E c επ+= 沿径向方向向外 11R r <，???++-=+==∞∞ππ22112

02121r 014)11(4d d d R c R R b r a R Q Q R R Q r E r E r E U εεε 221R r R <<，???++-=+==∞∞ππ2222202122r

014)11(4d d d R c R r b r b R Q Q R r Q r E r E r E U εεε 23R r >，??+=+==∞

∞ππ3330212

0214d 4d r r c c r Q Q r r Q Q r E U εε 8. 一空气平行板电容器，两极板面积均为S ，板间距离为d ，在两极板间平行地插入一面积也是S ，厚度为t 的金

属片，试求：(1)电容C 等于多少？(2)金属片在两极板间放置的位置对电容值有无影响？

解：设极板上分别带电量+q 和-q ；金属片与A 板距离为d 1，与B 板距离为d 2；金属片与A 板间场强为 E 1 =q / (ε0 S )

金属板与B 板间场强为 E 2 =q / (ε0 S )

金属片内部场强为 0='E

则两极板间的电势差为

U A -U B =E 1d 1+E 2d 2 =( q /ε0S )(d 1+d 2) = (q /ε0S ) (d - t )

由此得 C =q /(U A -U B ) =ε0S /（d - t ）

因C 值仅与d 、t 有关，与d 1、d 2无关，故金属片的安放仅置对电容值无影响。

9. 为了测量电介质材料的相对电容率，将一块厚为1.5cm 的平板材料慢慢地插进一电容器的距离为2.0cm 的两平行板之间。在插入过程中，电容器的电荷保持不变。插入之后，两板间的电势差减小为原来的60%，问电介质的相对电容计算题7图 r 2

r 3

b O R 1 r 1 c

R 2 Q 1 a Q 2

B

率为多少？

解：加入电介质后，电容器极板上的电荷保持不变，则空气中的场强保持不

变，空气中的场强d

U E =，而电介质中的场强r εεd U E E r =='，两极板间的电势差为

d E d d E U ''+'-=')(

由此得

1.2)(r ='

+-''=d U d U U d U ε 10. 假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为R 的导体球带电。（1）当球上已带有电荷q 时，再将一个电荷元d q 从无限远处移到球上的过程中，外力作多少功？（2）使球上电荷从零开始增加到Q 的过程中，外力共作多少功？

解：（1）令无限远处电势为零，则带电量为q 的导体球，其电势为

R

q V 0π4ε= 将d q 从无限远处搬到球上过程中外力作的功等于该电荷远在球上所具有电势能

q R

q W W d 4d d 0e πε== （2）带电球体的电荷从零增加到Q 的过程，外力作功为

?

?===Q R Q R q q W W 002

0 8 4d d πεπε 11. 半径为2.0厘米的导体球外套有一个与它同心的导体球壳，壳的内外半径分别为4.0厘米和5.0厘米，球与壳间是真空，壳外也是真空。当内球带电荷为3.0×10-8库仑时，试求：（1）这个系统的静电能；（2）如果用导线把壳与球连在一起，结果如何？

解：（1）设内球带电量为Q ，球半径为r 1 ,导体球壳内外半径分别r 2、r 3 由高斯定理，球壳内外空间场强均为20π4r

Q E ε= 外球壳的电势 V 104.5π4d π43302023?===

?∞r Q r r Q V r εε 内球的电势 V 10215.1)111(π4d π4d π443

21020201213?=+-=+=??∞r r r Q r r Q r r Q

V r r r εεε ∴系统的静电能 1122e 2

121V Q V Q W += Q 2 = 0 Q 1 = Q J 108.12

1411e -==×∴V Q W （2）用导线把壳与球连接在一起，此时 Q 1 = 0 Q 2 = Q ，球壳以内为一

等势体

3

021π4r Q V V ε== J 101.82

1215222e -===×∴QV V Q W 12. 一平行板电容器的极板面积为S =1m 2，两极板夹着一块d =5mm 厚同样面积的玻璃板，已知玻璃的相对介电常数为εr =5，电容器充电到电压U =12V 以后切断电源，求把玻璃板从电容器中抽出来外力需做多少功。

解：玻璃板抽了前后电容器能量的变化即外力作的功，抽出玻璃板前后的电容值分别为

C =(ε0εr S )/d ，C ' = (ε0S )/d

撤电源后再抽玻璃板，板上电荷不变，但电压改变，即Q =CU =C 'U ' 由此得U '=(CU )/C '=εr U

抽玻璃板前后电容器的能量分别为

2r 02e )/(2

121U d S CU W εε== 22r 02e )/(2

121U d S U C W εε=''=' 外力作功 J 105.2)1)(/(2

1 6r 2r 0e e -=-=-'=×εεεd SU W W W 13. 一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a ，外筒半径为b ，长都是L ，中间充满相对介电常数为εr 的各向同性场匀介质，内外筒分别带有电荷Q ，设L >>b ，即可忽各边缘效应。求：(1)圆柱形电容器的电容；(2)电容器贮存的能量。

解：由高斯定理，两筒之间的场强

Lr Q E r επε02= 两筒间的电势差

?

==b a r a b L Q r E U ln 2d .0επε )l n (20a

b L U Q C r επε电容∴== 电容器贮存能量 a b L Q CU W r ln 421022επε== 14. 同轴电缆由导体芯线和同轴的圆筒形导体外壳构成，中计算题13图

R 1 εr

R 2 计算题14图

间充以各向同性均匀电介质，其横截面如图所示。芯线半径R 1=6.0mm ，外壳内半径R 2=15mm ，介质的相对介电常数εr =3.0，今在电缆芯线与外壳间加电压U =380V ，求：(1)单位长度电缆芯线上的带电量λ；(2)电介质中电场的平均能量密度e w 。

解：由介质中的高斯定理得到介质中的电位移

r

D π2λ= 芯线强度 r

D E r επεε02λ== 芯线和外壳间的电势差 1

2012ln 2d .21R R r E U r R R επελ==? )c/m (109.6)

/ln(2812012-==×επελ∴R R U r （2）介质中任一点电场能量密度

2022

e 821r E D w r εεπαλ=?= 长度为l 的电缆介质中电场的能量 1

202e e ln 4d 2.2

1R R l r r w l W r R R επελπ==? 223e 21e 222021ln(/) 2.210(J/m )4()r W R R l w V R R l

λ-?===-?∴×πεε