求极限的几种常用方法

求极限的几种常用方法

一、 约去零因子求极限

例如求极限

，本例中当 时， ，表明 与1无限接近，但 ,所以 这

一因子可以约去。

二、 分子分母同除求极限

求极限

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。?

三、 分子(母)有理化求极限

例:求极限 ??

分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 例：求极限

30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=

()

x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim

30+++-→ =

300

sin tan lim sin 1tan 11lim

x x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2

130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。

四、 应用两个重要极限求极限

两个重要的极限

在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。

例：求极限

第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑

，最后凑指数部分。

五、利用无穷小量的性质求极限

无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

例：求

因为,,所以

六、用等价无穷小量代换求极限

常见等价无穷小有：

当时,，

，

等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应作为首选。

例：

例：求极限

?

七、利用函数的连续性求极限

这种方法适合求复合函数的极限。如果在点处连续，而在点处连续，那么复合函数在点处连续。

也就说，极限号与可以互换顺序。

例：求

令

因为在点处连续

所以

八、用洛必达法则求极限

洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛

必达法则。洛必达法则只说明当也存在等于时，那么存在且等于。如果

不存在时，并不能断定也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论。例：求极限

九、用对数恒等式求极限

对于型未定义式，也可以用公式

因为

十、利用两个准则求极限

夹逼准则：若一正数。当时，有，则有. 利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。

例

求的极限。

因为单调递减，所以存在最大项和最小项

又因为

所以

单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例，证明下列极限存在，并求其极限。

,

,

证明：从这个数列看n y显然是增加的。用归纳法可证。又因为,

所以得.因为前面证明是单调增加的。两端除以得

因为则，从而

即是有界的。根据定理有极限且极限唯一。

令

则

则，因为n y>.解方程得

所以