2020年江苏省镇江市中考数学试卷和答案解析

2020年江苏省镇江市中考数学试卷

和答案解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）下列计算正确的是（）

A．a3+a3＝a6B．（a3）2＝a6C．a6÷a2＝a3D．（ab）3＝ab3解析：根据同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算法则进行计算即可．参考答案：解：a3+a3＝2a3，因此选项A不正确；

（a3）2＝a3×2＝a6，因此选项B正确；

a6÷a2＝a6﹣2＝a4，因此选项C不正确；

（ab）3＝a3b3，因此选项D不正确；

故选：B．

点拨：本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．

2．（3分）如图，将棱长为6的正方体截去一个棱长为3的正方体后，得到一个新的几何体，这个几何体的主视图是（）

A．B．C．D．

解析：根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．

参考答案：解：从正面看是一个正方形，正方形的右上角是一个小正方形，

故选：A．

点拨：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．

3．（3分）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（）

A．第一B．第二C．第三D．第四

解析：根据一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，可以得到k＞0，与y轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．

参考答案：解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，

∴k＞0，该函数过点（0，3），

∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，

故选：D．

点拨：本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．

4．（3分）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC ＝106°，则∠CAB等于（）

A．10°B．14°C．16°D．26°

解析：连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．

参考答案：解：连接BD，如图，

∵AB是半圆的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，

∴∠CAB＝∠BDC＝16°．

故选：C．

点拨：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

5．（3分）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（）

A．B．4C．﹣D．﹣

解析：根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n 作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以

解决．

参考答案：解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，

∴a＝0，

∴n＝m2+4，

∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，

∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，

故选：C．

点拨：本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

6．（3分）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E（9，2），则cosB的值等于（）

A．B．C．D．

解析：由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC 的长，由锐角三角函数可求解．

参考答案：解：∵AM∥BN，PQ∥AB，

∴四边形ABQP是平行四边形，

∴AP＝BQ＝x，

由图②可得当x＝9时，y＝2，

此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，

∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，

∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，∴BC＝CD＝BD＝，AC⊥BD，

∴cosB＝＝＝，

故选：D．

点拨：本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识，理解函数图象上的点的具体含

义是本题的关键．

二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）

7．（2分）的倒数等于．

解析：根据倒数的意义求解即可．

参考答案：解：∵×＝1，

∴的倒数是，

故答案为：．

点拨：本题考查倒数的意义，理解乘积为1的两个数是互为倒数是正确求解的关键．

8．（2分）使有意义的x的取值范围是x≥2．

解析：当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．

参考答案：解：根据二次根式的意义，得

x﹣2≥0，解得x≥2．

点拨：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

9．（2分）分解因式：9x2﹣1＝（3x+1）（3x﹣1）．

解析：符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式分解即可．参考答案：解：9x2﹣1，

＝（3x）2﹣12，

＝（3x+1）（3x﹣1）．

点拨：本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反是解题的关键．

10．（2分）2020年我国将完成脱贫攻坚目标任务．从2012年底到2019年底，我国贫困人口减少了93480000人，用科学记数法把93480000表示为9.348×107．

解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值是易错点，由于93480000有8位，所以可以确定n＝8﹣1＝7．

参考答案：解：93480000＝9.348×107．

故答案为：9.348×107．

点拨：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．

11．（2分）一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1＝0，x2＝2．解析：利用因式分解法求解可得．

参考答案：解：∵x2﹣2x＝0，

∴x（x﹣2）＝0，

∴x＝0或x﹣2＝0，

解得x1＝0，x2＝2．

点拨：本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．12．（2分）一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球

除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于．

解析：用红球的个数除以球的总个数即可得．

参考答案：解：∵袋子中共有5+1＝6个小球，其中红球有5个，∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于，

故答案为：．

点拨：本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．13．（2分）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于30π．

解析：利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积．

参考答案：解：圆锥侧面积＝×2π×5×6＝30π．

故答案为30π．

点拨：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．（2分）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转72°后能与原来的图案互相重合．

解析：直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角．

参考答案：解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，

∠AOE＝＝72°．

故答案为：72．

点拨：此题主要考查了旋转图形，正确掌握旋转图形的性质是解题关键．

15．（2分）根据数值转换机的示意图，输出的值为．

解析：利用代入法和负整数指数幂的计算方法进行计算即可．

参考答案：解：当x＝﹣3时，31+x＝3﹣2＝，

故答案为：．

点拨：本题考查代数式求值，用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算，求出的结果即为代数式的值．

16．（2分）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为135°．

解析：由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2+∠BCP ＝45°＝∠1+∠BCP，由三角形内角和定理可求解．

参考答案：解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝∠BAC＝45°，

∴∠2+∠BCP＝45°，

∵∠1＝∠2，

∴∠1+∠BCP＝45°，

∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，

∴∠BPC＝135°，

故答案为：135．

点拨：本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．

17．（2分）在从小到大排列的五个数x，3，6，8，12中再加入一个数，若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则x的值为1．

解析：原来五个数的中位数是6，如果再加入一个数，变成了偶数个数，则中位数是中间两位数的平均数，由此可知加入的一个数是6，再根据平均数的公式得到关于x的方程，解方程即可求解．参考答案：解：从小到大排列的五个数x，3，6，8，12的中位数是6，

∵再加入一个数，这六个数的中位数与原来五个数的中位数相等，∴加入的一个数是6，

∵这六个数的平均数与原来五个数的平均数相等，

∴（x+3+6+8+12）＝（x+3+6+6+8+12），

解得x＝1．

故答案为：1．

点拨：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和平均数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而错误，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．

18．（2分）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于．

解析：取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．

参考答案：解：取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，

∵将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，

∴B1C1＝BC＝3，PN＝5，

∵点P、Q分别是AB、A1C1的中点，

∴NQ＝B1C1＝，

∴5﹣≤PQ≤5+，

即≤PQ≤，

∴PQ的最小值等于，

故答案为：．

点拨：本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．

三、解答题（本大题共10小题，共78分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）

19．（8分）（1）计算：4sin60°﹣+（﹣1）0；

（2）化简（x+1）÷（1+）．

解析：（1）先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得；

（2）先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．

参考答案：解：（1）原式＝4×﹣2+1

＝2﹣2+1

＝1；

（2）原式＝（x+1）÷（+）

＝（x+1）÷

＝（x+1）?

＝x．

点拨：本题主要考查分式和实数的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

20．（10分）（1）解方程：＝+1；

（2）解不等式组：

解析：（1）解分式方程的步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验；

（2）先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出其解集，然后根据是否存在公共部分求解即可．

参考答案：解：（1）＝+1，

2x＝1+x+3，

2x﹣x＝1+3，

x＝4，

经检验，x＝4是原方程的解，

∴此方程的解是x＝4；

（2），

①4x﹣x＞﹣2﹣7，

3x＞﹣9，

x＞﹣3；

②3x﹣6＜4+x，

3x﹣x＜4+6，

2x＜10，

x＜5，

∴不等式组的解集是﹣3＜x＜5．

点拨：本题主要考查了解分式方程以及解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的步骤以及不等式的性质是解答本题的关键．21．（6分）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．

（1）求证：∠D＝∠2；

（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．

解析：（1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2；（2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC

＝78°．

参考答案：证明：（1）在△BEF和△CDA中，

，

∴△BEF≌△CDA（SAS），

∴∠D＝∠2；

（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，

∴∠D＝∠2＝78°，

∵EF∥AC，

∴∠2＝∠BAC＝78°．

点拨：本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明△BEF≌△CDA是本题的关键．

22．（6分）教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例为19.4%．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：小时）进行了调查，将数据整理后绘制成下表：

平均每天的睡眠时间分组5≤t＜66≤t＜77≤t＜88≤t＜99小时及

以上

频数15m24n

该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全

国的这项数据，达到了22%．

（1）求表格中n的值；

（2）该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是多少．

解析：（1）根据频率＝求解可得；

（2）先根据频数的和是50及n的值求出m的值，再用总人数乘以样本中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数所占比例即可得．

参考答案：解：（1）n＝50×22%＝11；

（2）m＝50﹣1﹣5﹣24﹣11＝9，

所以估计该校平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是400×＝72（人）．

点拨：本题主要考查加权平均数、样本估计总体及频数（率）分布表，解题的关键是掌握频率＝、频数的和是50．23．（6分）智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“”有刚毅的含义，符号“”有愉快的含义．符号中的“”表示“阴”，“”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．（1）所有这些三行符号共有8种；

（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率．

解析：（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数即可；（2）根据（1）列举的结果数和概率公式即可得出答案．

参考答案：解：（1）根据题意画图如下：

共有8种等可能的情况数，

故答案为：8；

（2）根据第（1）问一个阴、两个阳的共有3种，

则有一个阴和两个阳的三行符号”的概率是．

点拨：此题考查的是用列举法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

24．（6分）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C 在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73．）

解析：延长FH，交CD于点M，交AB于点N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，设BN＝NH ＝x，则根据tan∠BFN＝就可以求出x的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长．

参考答案：解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，

∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，

则BN＝NH，

设BN＝NH＝x，

∵HF＝6，∠BFN＝30°，

∴tan∠BFN＝＝，

即tan30°＝，

解得x＝8.19，

根据题意可知：

DM＝MH＝MN+NH，

∵MN＝AC＝10，

则DM＝10+8.19＝18.19，

∴CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.19+1.6＝19.79≈19.8（m）．

答：建筑物CD的高度约为19.8m．

点拨：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．

25．（6分）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y ＝﹣的图象交于点A（n，2）和点B．

（1）n＝﹣4，k＝﹣；

（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．

解析：（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求得n，再把求得的A点坐标代入正比例函数解析式求得k；

（2）可设点C（0，b），只要求出b的值就行，求值一般的方法是

相似和勾股定理，此题用相似，只需证明△ACD∽△CBE即可；（3）在x轴上找到点P1，P2，使AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，则点P 在P1的左边，在P2的右边就符合要求了．

参考答案：解：（1）把A（n，2）代入反比例函数y＝﹣中，得n＝﹣4，

∴A（﹣4，2），

把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k＝﹣，故答案为：﹣4；﹣；

（2）过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，

∵A（﹣4，2），

∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），

设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝E，CE＝b+2，

∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°，

∴∠ACO＝∠CBE，

∵∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴△ACD∽△CBE，