平面向量数量积运算的解题方法和策略
平面向量数量积运算的解题方法与策略
平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法
上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。
1.利用数量积运算公式求解
在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,
即(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a ·b ＋b ２
上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中
可以直接应用.
例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ·b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.
解析：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a ·b ＋b ２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３
∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a ·b ＋b ２＝2２－2×（－3）
×５２＝35，
∴｜a －b ｜＝35．
例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).
解析：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a ·b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜·｜b ｜ｃｏ
ｓθ＋｜b ｜
２ ∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，
∴ｃｏｓθ＝40
23，∴θ≈５５° 例3 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ，且｜xa +yb ｜=1.
分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.
解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y )
又（xa +yb ）⊥a ?(xa +yb )·a ＝０?3(3x +4y )+4(4x +3y )=0
即25x +24y ＝０ ①
又｜xa +yb ｜=1?｜xa +yb ｜２＝１?（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１
整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ②
由①②有24xy +25y ２＝１ ③
将①变形代入③可得：y =±7
5 再代回①得：???
????=-=???????-==75
3524753524y x y x 和
2. 利用定义直接求解.
例4 若向量,a b 满足a b =2=，,a b 的夹角为45°，则a a a b ?+?=______.
解析：根据数量积的定义得a a a b ?+?22445cos 22220+=?+?=，
例5 设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
解析：∵0))(72(2121<++e t e e e t ，故071522<++t t ，
解之2
17-<<-t ． 另有λλt t ==7,2，解之14,214-=-
=λt ， ∴)2
1,214()214,7(--?--∈t ． 例 6 如图, 已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最
大的是（ ）
（A ）1213PP PP ? （B ）1214PP PP ?
（C ）1215PP PP ? （D ）1216PP PP ?
解析：选项中均有向量12PP ，根据数量积的几何意义，要找
121(3,4,5,6)i PP PP i ?=的最大值,只需求1(3,4,5,6)i PP i =在12PP 方向上
的投影最大即可，画图可知只有13PP 在12PP 方向上的投影最大，故最大
选A.
3. 利用数量积的定义、性质、运算律求解
例7 判断正误，并简要说明理由.
①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ
≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任
意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ
２.
分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；
对于②：应有０·ａ＝0；
对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜ｃｏｓθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，
这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；
对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；
对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；
对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.
则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），
∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ
若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
4. 借助零向量. 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理
使用向量的移项以及平方等变形，求解数量积.
例8 已知△ABC 中，===,,，若a c c b b a ?=?=?，求证：△ABC
为正三角形.
证明：a c c b ?=? ， ∴0)(=-， 又∵0=++c b a ， )(+-=， 故0))((=-+- ， 知a =b ， 同理可知b=c ， 故a =b=c ， 得证．
例9 已知平面上三点A 、B 、C 满足3,4,5AB BC CA ===则AB BC BC CA CA AB
?+?+?的值等于 。 解析：注意到∵0AB BC CA ++=，两边平方得 2222220AB BC CA AB BC BC CA CA AB +++++=所以AB BC BC CA CA AB ?+?+?=?25
5. 借助平行向量与垂直向量.即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直条件关
系或平行向量关系的向量数量积，借助a b ⊥，则0a b ?=等解决问题.
例10 已知向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ）， c ＝（2，y ）且a ∥b ，a ⊥c ．求|b －c |
的值． 解析：∵ a ∥b ，∴ 3x ＋8＝0． ∴x ＝38-
． ∴ b ＝（2， 3
8-） ． ∵ a ⊥c ， ∴ 6－4y ＝0． ∴ y ＝23． ∴ c ＝（2， 2
3）． 而b －c ＝（2，38-）－（2，2
3）＝（0，－256）， ∴ |b －c |＝256． 例11 如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP ·
CQ 的值最大？，并求出这个最大值.
解析：∵AB ⊥AC ∴AB ·AC =0又∵AP =－
AQ ，BP =AP －AB ,CQ =AQ －AC ,
A B
C
∴BP ·CQ =(AP －AB )·(AQ －AC )=AP ·AQ －AP ·AC －AB ·AQ +AB ·AC =－a 2－AP ·AC +AB ·AP =－a 2+AP (AB －AC )=－a 2+21PQ ·BC . ∴当cos θ=1,，即θ=0（PQ 与BC 方向相同）时，BP ·CQ 最大，最大值为0. 例12 四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB
（1）若DA BC //，试求x 与y 满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有BD AC ⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。
解析： ),(y x BC =
)2,4()2,4()(+---=-+-=++-=-=y x y x CD BC AB AD DA
（1）DA BC // 则有0)4()2(=--?-+-?x y y x 化简得：02=+y x
（2）)1,6(++=+=y x BC AB AC , )3,2(--=+=y x CD BC BD
又BD AC ⊥ 则 0)3()1()2()6(=-?++-?+y y x x
化简有：015242
2=--++y x y x 联立?
??=--++=+015240222y x y x y x 解得???=-=36y x 或???-==1
2y x
DA BC // BD AC ⊥ 则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形
当???=-=3
6y x 时,)0,8()4,0(-==BD AC 此时1621=??=BD AC S ABCD 当???-==1
2y x 时, )4,0()0,8(-==BD AC 此时1621=??=BD AC S ABCD 6. 借助向量的拆分将待求向量的数量积转化为题目中能求解的数量积.
例13 如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°
，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC =·_______ .
解析：直接利用定义求AD BC ·较困难，题目中给出了12021BAC AB AC ∠===，，°，
可以利用定义直接求出AB AC ·，这样问题就转化为能否将向量AD BC ,都用AB AC ,形式表示.由2DC BD =得2()AC AD AD AB -=-即1233AD AC AB =+，BC AC AB =- ∴AD BC =2211283333AC AC AB AB +?-=-. 7. 建立坐标系，利用坐标运算求解数量积
例14 已知O 为Rt △ABC 的内切圆的圆心，AB=5,BC=4,CA=3下列结论正确的是（ ）
A. OA OB OB OC OC OA ?
B. OA OB OB OC OC OA ?>?>?
C. OA OB OB OC OC OA ?=?=?
D. OA OB OB OC OC OA ?
解析：建立如图直角坐标系：设A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)，
∵O 为Rt △ABC 的内切圆的圆心∴O(1,1)，
∴(1,2)OA =-，(3,1)OB =-，(1,1)OC =--
∴5OA OB ?=-，1OA OC ?=，2OB OC ?=-故选 A
例15 如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，
2DC BD =，则AD
BC =·_______. 解析：建立以AB 为x 轴，过点A 作AB 的垂线为y 轴的直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(2,0)，C(13,22-)，由定比分点坐标公式得D(73,66)，所以53(,)22
BC =-，AD =(73,66
), 即AD BC =·5733826263-?+?=-.