(完整)古典概型、几何概型复习知识点和综合习题,推荐文档
知识点一：变量间的相关系数
1.两变量之间的关系
(1)相关关系——非确定性关系
(2)函数关系——确定性关系
∧∧∧
2. 回归直线方程：y =b x +a
?n n
x y
?∧∑(x i -x)( y i-y) ∑
i i -
nxy
b = i=1 = i=1 ,
?n n 2 2
?∑(x i -x)2
∑x i
-nx
?i=1 ∧ ∧i=1
?
例题分析
a =y -
b x
例 1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系：
x （百万元）
2 4 5 6 8
y （百万元）30 40 60 50 70
（1
针对练习
1、对变量 x, y 有观测数据理力争（x1，y1）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量 u ，v 有观测数据（u1，v1）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（）
（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关（B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关（D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
2.在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）
）
A. y =x +6
B. y =x + 42
C. y =-2x + 60
D. y =-3x + 78
知识点二：概率
一、随机事件概率：
事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。
确定性事件: 必然事件（概率为 1）和不可能事件（概率为 0）
（1）必然事件：在条件 S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件 S 的必然事件；
（2）不可能事件：在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件 S 的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件；
（4）随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件 S 的随机事件；
随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件A
在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件 A 发生的概率为P(A)≈m
n
说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一
② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况
③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率
④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果
⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
二、概率的基本性质：
基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件 A 与事件 B 互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件；
（4）当事件 A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件 A 与B 为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1—P(B)
概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件 A ，有0 ≤P(A)≤ 1
② 用Ω和Φ分别表示必然事件和不可能事件,则有P(Ω)= 1, P(Φ)= 0
③如果事件A和B互斥,则有: P(A +B)=P(A)+P(B)（概率加法公式）
互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件
对立事件：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件，事件A 的对立事件记为：A
互斥事件和对立事件的区别：
①若A , B 为互斥事件, 则 A , B 中最多有一个发生, 可能都不发生，但不可能同时发生，从
集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集
②对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只
有一个发生，可能都不发生
③ 对立事件一定是互斥事件
④从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是
全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集
⑤两个对立事件的概率之和一定是 1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于 1
⑥ 若事件A, B 是互斥事件，则有P(A +B)=P(A)+P(B)
⑦一般地，如果A1, A2 ,..., A n P(A)= 1 -P(A
三、概率的概型：两两互斥，则有P(A1+A2+ ... +A n)=P(A1)+P(A2)+ ... +P(A n)⑧
古典概型：① 所有基本事件有限个；②每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型。
1
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是，如果
n
某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为
③古典概型的解题步骤；
1、求出总的基本事件数；P(A)=m
n
A包含的基本事件数
2、求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）= 总的基本事件个数
几何概型：1、基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=
构成事件A的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基
本事件出现的可能性相等．
几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多
说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域 D 内随机地取点，指的是该点落在区域 D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的面积成正比，而与其形状无关。
例题分析
例 2：从含有两件正品 a,b 和一件次品 c 的 3 件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率 . （1） 每次取出不放回； （2） 每次取出后放回.
解：(1) 每次取出不放回的所有结果有（a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),其中左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品，共有 6 个基本事件，其中恰有臆
见次品的事件有 4 个，所以每次取出不放回，取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为 4 2
6 3
（2）每次取出后放回的所有结果：（a,a),（a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b), (c,c) 共有 9 个基本事件, 其中恰有臆见次品的事件有 4 个,所以每次取出后放回，取出的两件
产品中恰有一件是次品的概率为 4
9
针对练习
1、一箱内有十张标有 0 到 9 的卡片，从中任选一张，则取到卡片上的数字不小于 6 的概率是(
)
A. 1 3
B. 3 5
C. 2 5
D. 1 4 2．从数字 1，2，3，4，5 中任取三个数字，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数大于 400 的概率是( )．
A ．2/5
B 、2/3
C ．2/7
D ．3/4
3．同时掷两枚骰子，所得点数之和为 5 的概率为(
)．
A ．1/4
B ．1/9
C ．1/6
D ．1/12
4．在所有的两位数(10~99)中，任取一个数，则这个数能被 2 或 3 整除的概率是(
)．
A ．5/6
B ．4/5
C ．2/3
D ．1/2
巩固练习
1、下列事件 (1)物体在重力作用下会自由下落; (2)方程 x 2 +2x+3=0 有两个不相等的实根; (3) 某传呼台每天某一时段内收到传呼次数不超过 10 次; (4)下周日会下雨，其中随机事件的个数为 ( ) A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
2. 从装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的
两个事件是( )．
A. 至少有 1 个白球，都是白球
B ．至少有 1 个白球，至少有 1 个红球
C．恰有1 个白球，恰有2 个白球D．至少有 1 个白球，都是红球3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40％，甲不输的概率为90％，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )．
A．60％B．30％C．10％D．50％4．根据多年气象统计资料，某地6 月1 日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为( )．
A．0.65 B．0.55 C．0.35 D．0.75
5、若连掷两次骰子，分别得到的点数是 m、n，将 m、n 作为点 P 的坐标，则点 P 落在区域
| x - 2 | + | y - 2 |≤ 2 内的概率是
11
36
二、填空题：
1 1
B. 6
C. 4
D.
36
6.对于①“一定发生的”，②“很可能发生的”，③“可能发生的”，④“不可能发生的”，⑤“不太可能发生的”这 5 种生活现象，发生的概率由小到大排列为 (填序号)
。
7.在 10000 张有奖明信片中，设有一等奖 5 个，二等奖 10 个，三等奖 l00 个，从中
随意买 l 张．
(1)P(获一等奖)=，P(获二等奖)= ，P(获三等奖)=
． (2)P(中奖)=，P(不中奖)= ．
8.同时抛掷两枚骰子，则至少有一个 5 点或 6 点的概率是．
三、解答题：
9.由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表：
(1)至多有2 人排队的概率是多少? (2)至少有2 人排队的概率是多少?
10.袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取 1 个．有放回地抽取 3 次，求：
(1)3 个全是红球的概率．(2)3 个颜色全相同的概率．
(3)3 个颜色不全相同的概率．(4)3 个颜色全不相同的概率．
A.
11.某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：
(1)求年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率；
(2)求年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率．
12.抽签口试，共有 10 张不同的考签．每个考生抽 1 张考签，抽过的考签不再放回．考生王某会答其中 3 张，他是第 5 个抽签者，求王某抽到会答考签的概率．
提高题
13、已知一元二次方程x2+ax+b2=0,
（1）若 a 是从区间[0，3]任取的一个整数，b 是从区间[0，2]
任取的一个整数，求上述方程有实数根的概率。
（2)若a 是从区间[0，3]任取的一个实数，b 是从区间[0，2]任取的一个实数，求上述方程有实数根的概率。
四、作业布置。
1、一年按 365 天计算，两名学生的生日相同的概率是多少?
古典概型和几何概型
一选择题（每小题 5 分，共计 60 分。请把选择答案填在答题卡上。）
1. 同时向上抛100 个铜板，落地时100 个铜板朝上的面都相同，你认为对这100 个铜板下面情况更可能正确的是
Ａ．这100 个铜板两面是一样的 Ｂ．这100 个铜板两面是不同的Ｃ．这100 个铜板中有50 个两面是一样的，另外50 个两面是不相同的Ｄ．这100 个铜板中有20 个两面是一样的，另外80 个两面是不相同的
2. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42 ， 摸出白球的概率是0.28 ，那么摸出黒球的概率是 A ． 0.42 B ． 0.28 C ． 0.3 D ． 0.7
3. 从装有2 个红球和2 个黒球的口袋内任取2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A. 至少有一个红球与都是黒球 B ．至少有一个黒球与都是黒球C ．至少有一个黒球与至少有1个红球 D ．恰有1个黒球与恰有2 个黒球
4. 在40 根纤维中，有12 根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是
A. 30 40
B. 12
40 C. 12 30 D. 以上都不对 5. 先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是
A.
1 8 B. 3 8 C. 5 8 D. 7 8 6. 设 A , B 为两个事件，且 P (A )= 0.3 ，则当（ ）时一定有 P (B )= 0.7 A. A 与 B 互斥 B ． A 与 B 对立 Ｃ． A ? B Ｄ． A 不包含 B
7. 在第 1、3、4、5、8 路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第 4 路或第 8 路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于
A. 1 2
B.
2 3 C. 3 5 D. 2 5 8. 某小组共有 10 名学生，其中女生 3 名，现选举 2 名代表，至少有 1 名女生当选的概率为
A. 7 15
B. 8 15
C. 3 5
D.1 9. 从全体 3 位数的正整数中任取一数，则此数以 2 为底的对数也是正整数的概率为
A. 1 225
B.
300
C.
450 D. 以 上
全不对
10. 取一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 1 m 的概率是.
A. 1 2
B. 1 3
C. 1 4
D. 不确定
11. 已知地铁列车每 10 min 一班，在车站停 1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是
A. 1 10
B. 1
9
C. 1 11
D. 1 8
12. 在 1 万 km 2 的海域中有 40 km 2 的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油
层面的概率是.
A. 1 251
B.
249
C.
250
D.
252
C
M
C '
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A C D
B D B D B B B A C
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 5 分，共 20 分、
13. 在一个边长为 3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则 所投的点落入小正方形内的概率是 . 14. 在 20 瓶墨水中，有 5 瓶已经变质不能使用，从这 20 瓶墨水中任意选出 1 瓶，取出的墨水是变质墨水的概率为 . 15. 从 1，2，3，4，5 五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，则三个数字完全不同的概
率是 . 16. 从 1，2，3，…，9 这 9 个数字中任取 2 个数字.（1）2 个数字都是奇数的概率为 ；（2）2 个数字之和为偶数的概率为 .
13) 4 9 14) 1
4 15) 12 2
5 16) 5 4 18 9
三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 2 个大题，共 20 分） 17. 在等腰 Rt △ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M ，求 AM 的长小于 AC 的长的概率. .
A
B
18. 抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现 7 点的概率；（2）出现两个 4 点的概率.
17)解：在 AB 上截取 AC ′=AC ，于是P （AM ＜AC ）=P （AM ＜ AC ' ）
= AC ' = AC = 2 .
AB AB 2 答：AM 的长小于 AC 的长的概率为 2
.
2
解：作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集 S={（x ，y ） |x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤6，1≤y ≤6}中的元素 一一对应.因为 S 中点的总数是 6×6=36（个） ，所以基本事件总数 n=36. （1） 记“点数之和出现 7 点”的事件为 A ，
从图中可看到事件
A 包含的基本事件数共 6 个：（6，1）， （5，2），（4，3）， （3，4），（2，5），（1，6），所以
P （A ）= 6 = 1 .
36 6
（2） 记“出现两个 4 点”的事件为 B ，则从图中可看到事件 B 包含的
基本事件数只有 1 个：（4，4）.所以 P （B ）= 1
.
36
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。
古典概型与几何概型-高中数学同步典型例题及训练解析版
古典概型与几何概型 高考频度：★★★★☆难易程度：★★★☆☆ 典例在线 （1）甲盒子装有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，乙盒子装有分别标有数字2，5的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2张卡片上的数字为相邻数字的概率为 A．B． C．D． （2）某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课，每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7:50~8:30，课间休息10分钟．某同学请假后返校，若他在8:50~9:30之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是 A．B． C．D． （3）一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全，即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10，飞行才是安全的．假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等，那么蜜蜂飞行安全的概率是 A．B．
C．D． 【参考答案】（1）B；（2）A；（3）C． （2）由题意得第二节课上课的时间为8:40~9:20，该同学到达教室的时间总长度为40，其中在8:50~9:10进入教室时，听第二节课的时间不少于10分钟，其时间长度为20，故所求概率为，故选A．（3）记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A，则它在与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10的区域d内飞行时是安全的，故区域d为棱长为10的正方体，所以，故选C． 【解题必备】（1）求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件．基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．求古典概型的基本步骤：①算出所有基本事件的个数； ②求出事件包含的所有基本事件数；③代入公式，求出 ． （2）对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率．解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事
几何概型的经典题型及标准答案
几何概型的经典题型及答案
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3 几何概型的常见题型及典例分析 一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点： （1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二．常见题型 （一）、与长度有关的几何概型 例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2 cos x π的值介于0到 2 1 之间的概率为( ). A.31 B.π 2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的
4 区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2 x π的值介于 0到21之间,需使 223x πππ-≤≤-或322 x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2 ， 由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1 之间的概率为 3 1232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 例2、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间 再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？ 思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型． 解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三 等分，由于中间长度为30×3 1 =10米， ∴3 1 3010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解． 例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。 思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。也就是说，样本空间所对应的区域G 是一维空 间（即直线）上的线段MN ，而有利场合所对 应的区域G A 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。 [解法1].设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条弦， K K K1图1-2图1-1 O O M N E F M N E F E1F1
几何概型例题分析及习题(含答案)
几何概型例题分析及练习题 (含答案) [例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等 另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。 解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴 影部分167 6045602 22=-=P [例2] 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概 率。 解：R AC AB 2||||= =. ∴ 2 1 2== = ? R R BCD P ππ圆周 [例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过 2 1 的概率。 解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件 组所对应的几何区域可表示为 }10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为 2 1。 事件“三段的长度都不超过 21 ”所对应的几何区域可表示为 Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}2 1 1,21,21<--< 下午3：00张三在基地正东30km 内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km 内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。 解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即2522≤+y x 故192 251200 25 41 2 π π= =P [例5] 在区间]1,1[-上任取两数b a ,，运用随机模拟方法求二次方程02 =++b ax x 两根均 为正数的概率。 ??? ??>=?>-=+≥-=?000 42 1212b x x a x x b a 解：（1）利用计算器产生 0至1区间两组随机数11,b a （2）变换 121-*=a a ，121-*=b b （3）从中数出满足条件 2 4 1a b ≤且0b 的数m （4）n m P = （n 为总组数） [例6] 在单位圆的圆周上随机取三点A 、B 、C ，求?ABC 是锐角三角形的概率。 解法1：记?ABC 的三内角分别为αβ,，παβ--，事件A 表示“?ABC 是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合 Ω=<<<+<{(,)|,,}αβαβπαβπ00。 因为?ABC 是锐角三角形的条件是 02 << αβπ ,且αβπ +> 2 所以事件A 构成集合 A =+> << {(,)|,,}αβαβπ αβπ 2 02 由图2可知，所求概率为 P A A ()=的面积的面积 Ω==12212 1 422() ππ。 解法2：如图3所示建立平面直角坐标系，A 、B 、C 1、C 2为单位圆与坐标轴的交点，当?ABC 为锐角三角形，记为事件A 。则当C 点在劣弧C C 12上运动时，?ABC 即为锐角三 练习 1.写出下列随机试验的样本空间 (1)把一枚硬币连续抛掷两次.观察正、反面出现的情况； (2)盒子中有5个白球，2个红球，从中随机取出2个，观察取出两球的颜色； (3)设10件同一种产品中有3件次品，每次从中任意抽取1件，取后不放回，一直到3件次品都被取出为止，记录可能抽取的次数；(4)在一批同型号的灯泡中，任意抽取1只，测试它的使用寿命. 解：(1)U={正正正反反正反反} (2)U={白白白红红白红红} (3)U={1，4，5，6，7，8，9，10} (4)U={t>0} 2.判断下列事件是不是随机事件 (1)一批产品有正品，有次品，从中任意抽出1件是正品； (2)明天降雨； (3)十字路口汽车的流量； (4)在北京地区，将水加热列100℃，变成蒸汽； (5y掷一枚均匀的骰子，出现1点. 解：(1)(2)(3)(5)都是随机事件，(4)不是随机事件。 3.设A,B为2个事件,试用文字表示下列各个事件的含义 (1)A+B；(2)AB；(3)A－B；(4)A－AB；(5)AB； (6)AB AB . 解：(1)A ，B 至少有一个发生；(2) A ，B 都发生；(3) A 发生而B 不发生；(4) A 发生而B 不发生；(5)A ，B 都不发生；(6)A ，B 中恰有一个发生（或只有一个发生）。 4.设A,B,C 为3个事件,试用A,B,C 分别表示下列各事件 (1)A ，B ，C 中至少有1个发生； (2)A ，B ，C 中只有1个发生； (3)A ，B ，C 中至多有1个发生； (4)A ，B ，C 中至少有2个发生； (5)A ，B ，C 中不多于2个发生； (6)A ，B ，C 中只有C 发生. 解： (1)A B C, (2)AB C A B C A B C, (3)AB C ABC A B C A B C, (4)ABC ABC ABC ABC AB BC AC, (5)ABC A B C, (6)A B C ++?+??+???++??+??+++++++??或或 练习 1.下表是某地区10年来新生婴儿性别统计情况： 出生年份 1990 1991 1992 1993 1094 1995 1996 1997 1998 1999 总计 男 3 011 2 531 3 031 2 989 2 848 2 939 3 066 2 955 2 967 2 97 4 29 311 女 2 989 2 352 2 944 2 837 2 784 2 854 2 909 2 832 2 878 2 888 28 概率论例题 例1.设某班车起点站上车人数X 服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，并且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p )1p 0(<<,且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数。试求（1）（X,Y ）的联合概率分布律；（2）求Y 的分布律（列）。 解：X 可能的取值是0，1，2，…..，k ，…，n ，... P{X =k }= ! k e k λ λ- Y 可能的取值是0，1，2，…，r ，…，k P{x =k, y =r }=P{x=k}P{y=r/x=k}= ! k e k λ λ-r k r r k q p C - r=0,1,2,…,k 当r>k 时，P{x=k, y=r}=0, Y 的边缘分布 P{Y = r }=∑+∞ ===0 },{k r y k x P =∑+∞ ====0 }/{}{k k x r y P k x P =∑ +∞ =--r k r k r r k k q p C e k λλ! =∑+∞ =--+--r k r k r q r r k k k k p e )(!) 1()1(! 1) (λλλ =∑+∞=---r k r k r rq r k r p e )()! (1!1)(λλ =rq r e r p e --!1)(λλ=rp r e r p -!)(λ r = 0, 1, 2, … , 验证Y 的分布律 ∑+∞ ==0 }{r r y P = 1 ？ 例2. 解 因为η只取非负值，所以当0y ≤时， 2()() () F y P y P y ηηξ=<=< = 当 0y >时 2()()()) F y P y P y y y ηηξξ=<=<=< 2 2 2 2 12()t t t dt dt dt ξ--=== 2 20 u u y y e - -= =? ? 所以 20 ,0()0,0u y y F y y η-?>?=??≤?? 1 y --? 几何概型的常见题型及典例分析 一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或 体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点： （1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限 多个； （2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应 的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无 限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二．常见题型 （一）、与长度有关的几何概型 例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos x π的值介于0到2 1之间的概率为( ). A.31 B.π 2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是 区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的 发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的 区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1 [-上随机取一个数x,即[1,1] x∈-时,要使cos 2 x π 的值介于 0到 2 1 之间,需使 223 x πππ -≤≤-或 322 x πππ ≤≤ ∴ 2 1 3 x -≤≤-或 2 1 3 x ≤≤，区间长度为 3 2 ， 由几何概型知使cos 2 x π 的值介于0到 2 1 之间的概率为 3 1 2 3 2 = = = 度 所有结果构成的区间长 符合条件的区间长度 P. 故选A. 例2、如图,A,B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间 再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的 概率是多少？ 思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限 多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型． 解记 E：“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三 等分，由于中间长度为30× 3 1 =10米， ∴ 3 1 30 10 ) (= = E P. 方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型 就可以用几何概型来求解． 例3、在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交 点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R的概率。 思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以， 题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能 地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。 也就是说，样本空间所对应的区域G是一维空 间（即直线）上的线段MN，而有利场合所对 应的区域G A 是长度不小于R的平行弦的中点K 所在的区间。 [解法1].设EF与E 1 F 1 是长度等于R的两条弦， K K K1 图1-2 图1-1 O O E F E F E1F1 概率论与数理统计练习题集及答案 一、选择题： 1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为（ ） （A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++ （C ）321321321A A A A A A A A A ++ （D ）321A A A 2．掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于8的概率为（ ） （A ） 365 （B ）364 （C ）363 （D ）36 2 3．设随机事件A 与B 互不相容，且0)(,0)(>>B P A P ，则（ ） （A ）)(1)(B P A P -= （B ）)()()(B P A P AB P = （C ）1)(=+B A P （D ）1)(=AB P 4．随机变量X 的概率密度为???<≥=-00 )(2x x ce x f x ，则=EX （ ） （A ）21 （B ）1 （C ）2 （D ）4 1 5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是（ ） （A ）+∞<<∞-+=x x x F ,11)(2 1 （B ）?????≤>+=0 001)(2 x x x x x F （C ）+∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 （D ） +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 21 43)(4π 6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度 )(y f Y 为（ ） （A ）)2(2y f X - （B ）)2(y f X - （C ）)2 (21y f X -- （D ）)2 (2 1y f X - 7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表 h g p f e d x c b a x p y y y X Y Y j X i 61818121321，且X 与Y 相互独立，则=h （ ） （A ）81 （B ）8 3 （C ）4 1 （D ）3 1 8．设随机变量]5,1[~U X ，随机变量)4,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则=-)2(Y XY E （ ） （A ）3 （B ）6 （C ）10 （D ）12 9．设X 与Y 为任意二个随机变量，方差均存在且为正，若 EY EX EXY ?=，则下列结论不正确的是（ ） （A ）X 与Y 相互独立 （B ）X 与Y 不相关 （C ）0),cov(=Y X （D ）DY DX Y X D +=+)( 答案： 1. B 2. A 3.D 4.A 5.B 6. D 7. D 8. C 9. A 1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为（ C ） （A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++ 概率论习题 一、填空题 1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 . 2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率 . 3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 . 4、已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB = 5、已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P AB === 则(|).P B A B ?= 6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为 .. 7、设()0.4,()0.7,P A P A B =?= 若,A B 独立，则().P B = 8、设,A B 为两事件，11 ()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B = 9、设123,,A A A 相互独立，且2 (),1,2,3,3 i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概 率是. 10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 . 11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。那么(|)P C AB = 。 12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相 表示为互不相容事件的和是 。15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。 二、选择题 1、下面四个结论成立的是（ ） .()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A --=-?=??=? ?-=-?=若且则 E D O B A C 3.3 几何概型 重难点：掌握几何概型中概率的计算公式并能将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题． 考纲要求：①了解几何概型的意义，并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题． ②了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 经典例题：如图，60AOB ∠= ，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ， 试求：(1)AOC ?为钝角三角形的概率； (2)AOC ?为锐角三角形的概率． 当堂练习： 1．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（ ） A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.68 2．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2 与49 cm 2 之间的概率为（ ） A ． 310 B ． 15 C ． 25 D ． 45 3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为（ ） A ．1 B ． 216 C ． 3 D ． 14 4．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（ ） A ． 34 B ． 38 C ． 14 D ． 18 5．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则 求两人会面的概率为（ ） A ．13 B ． 49 C ． 59 D ． 710 6如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（ ） A ．2 π B ． 1 π C ． 23 D ． 13 几何概型 课题1：题型讲解 几何概型中事件A 的概率计算公式: 积等） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等） 的区域长度（面积或体构成事件）（A A P = .其次 要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 1.几何概型的两个特征： (1)试验结果有无限多； (2)每个结果的出现是等可能的． 事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关． 2..解决几何概型的求概率问题 关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 3.用几何概型解简单试验问题的方法 (1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解． (2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D. (3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d. (4)利用几何概型概率公式计算． 4.均匀随机数 在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的rand （）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a ～b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x= rand( )，然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生[a ，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a ～b 之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的． 5.均匀随机数的应用 (1)用随机模拟法估计几何概率； (2)用随机模拟法计算不规则图形的面积． 6.几何概型与古典概型的比较： 一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关，即试验结果具有无限性，另一方面，二者的试验结果都具有等可能性。 古典概型与几何概型 【知识网络】 1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事 件发生的概率。 2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义； 了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 【典型例题】 [例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ） A ． 4 9 B ．2 9 C ．23 D ．13 （2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的 点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ） A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 12 1 D ． 2 1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率为 （ ） A ． 5 6 B ． 12 C ．13 D ． 16 （4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3 S ”的概率为 ． （5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ． [例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。 [例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离 去．求两人能会面的概率． 《概率论与数理统计》 同步练习册 学号＿＿＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿＿ 专业＿＿＿＿＿＿＿＿ 班级＿＿＿＿＿＿＿＿ 广东省电子技术学校继续教育部 二O一O年四月 练习一 一、选择题 1．设A ，B ，C 表示三个随机事件，则A B C 表示 （A ）A ，B ，C 中至少有一个发生； （B ）A ，B ，C 都同时发生； （C ）A ，B ，C 中至少有两个发生； （D ）A ，B ，C 都不发生。 2． 已知事件A ，B 相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.8，则P （A B ）＝ (A) 0.65 ; (B) 1.3; (C)0.9; (D)0.3。 3．设X ～B （n ，p ），则有 （A ）E （2X －1）＝2np ； （B ）E （2X ＋1）＝4np ＋1； （C ）D （2X ＋1）＝4np （1－p ）＋1； （D ）D （2X －1）＝4np （1－p ）。 4．X 的概率函数表（分布律）是 xi －1 0 1 pi 1/ 4 a 5/12 则a ＝（ ） （A ）1/3； （B ）0； （C ）5/12； （D ）1/4。 5．常见随机变量的分布中，数学期望和方差一定相等的分布是 （A ）二项分布； （B ）标准正态分布； （C ）指数分布； （D ）泊松分布。 二、填空题 6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2 高中数学例题：与面积有关的几何概型问题例1．如图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率． 【思路点拨】以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件． 【答案】1 6 【解析】记B={射线OA落在∠xOT内}． ∵∠xOT=60°，∴601 () 3606 P B==． 【总结升华】此题的关键是搞清过点O可以在平面内任意作射线OA，而且是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的．例2．过半径为1的圆内一条直径上的任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率． 【思路点拨】如图所示，ABCD是圆内接等边三角形，过 直径BE上任一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD时就是ABCD的边长，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|． 【答案】1 2 【解析】记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，由几何 概型概率公式得 1 21 2 () 22 P A ? ==． 即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是12 ． 举一反三： 【变式1】如图，在一个边长为3 cm 的大正方形内部画一个边长为2 cm 的小正方形，问在大正方形内随机投点，求所 投的点落入小正方形内的概率． 【答案】49 【解析】 记A={所投点落人小正方形内}， S 小正方形=22=4（cm 。）， S 大正方形=32=9（cm 。）， ∴4()9S P A S ==小正方形大正方形． 【变式2】在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率． 【答案】34 【解析】 由题意知射线CM 在∠ACB 内是等可能分 布的． 如图所示，在线段AB 上取AC ＇=AC ，连接CC ＇，则 ∠ACC ＇=67.5°，设事件D={AM ＜AC}，则事件D 的度量为∠ACC ＇，而随机事件总的度量为∠ACB ． ∴'67.53()904 ACC P D ACB ∠?= ==∠?． ∴AM ＜AC 的概率为34． 新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件，确定性事件: 必然事件和不可 能事件 ? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 ， 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型：一般地，一个几何区域D 中随机地取一 点，记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确 定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型、古典概型常考经典题（史上最全面） 1．在长为2的线段AB 上任意取一点C ，则以线段AC 为半径的圆的面积小于π的概率为( ) A .14 B.12 C .34 D.π4 2．已知正棱锥S-ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得 V P-ABC ＜12V S- ABC 的概率是( ) A .34 B.78 C .12 D.14 3.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( ) A .12 B.32 C .13 D.14 4．在区间???? ??－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1， 2 ]的概率是( ) A .12 B.34 C .38 D.58 5．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m)y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的 面积小于98的概率为________． 6.如图，正四棱锥S-ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面 ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率 为________． 7．平面区域A 1＝{}(x ，y )|x 2＋y 2＜4，x ，y ∈R ，A 2＝{(x ，y )||x | ＋|y |≤3，x ，y ∈R}．在A 2内随机取一点，则该点不在A 1内的概率为________． 8．在边长为4的等边三角形OAB 及其内部任取一点P ，使得 OA ―→·OP ―→≤4的概率为( ) A.12 B.14 C.13 D.18 9．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为35，则AD AB ＝________. 10．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告． 11．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若 此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14 ，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________． 12.在面积为S 的ABC ? 的边AB 上任取一点P ，则PBC ?的面积大于4S 的概率为 . 13．在ABC ?中，060,2,6ABC AB BC ∠===，在BC 上任取一点D ，则使ABD ?为钝角三角形的概率为（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23 14.从区间[0,1]上随机抽取2n 个数1212,,,,,,,n n x x x y y y L L ，构成n 个数对 11(,)x y ，22(,)x y ，[来源:学+,(,)n n x y L ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________. A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．m n 15. 在等腰Rt △ABC 中， (1)在斜边A B 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率. （2）过直角顶点C 在ACB ∠内作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM 几何概型 考纲解读 1.根据随机数的意义，用模拟方法估计生活中的概率问题；2.根据几何概型的意义，运用几何度量求概率；3.根据几何概型，估计几何度量． [基础梳理] 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点 (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝ 构成事件A 的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) . [三基自测] 1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) 答案：A 2．已知A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，0≤y ≤2}，B ＝{}(x ，y )|1－x 2≤y .若在区域A 中随机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域B 中的概率为( ) A ．1－π 8 B.π4 C.π 4－1 D.π8 答案：A 3．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则 X ≤1的概率为( ) A.4 5 B.35 C.25 D.15 答案：B 4．(必修3·3.3例1改编)在[0,60]上任取一个数，则x ≥50的概率为________． 答案：16 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)求在半径为r 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆内接等腰直角三角形内的概率． 答案：1π 考点一 与长度型有关的几何概型|方法突破 命题点1 与线段长度有关的几何概型 [例1] (2018·长春模拟)已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________． [解析] 设长方体的长为x ，宽为(12－x )， 由4x (12－x )>128，得x 2－12x ＋32<0， ∴4 知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系 (1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 ∧∧∧ 2. 回归直线方程：y =b x +a ?n n x y ?∧∑(x i -x)( y i-y) ∑ i i - nxy b = i=1 = i=1 , ?n n 2 2 ?∑(x i -x)2 ∑x i -nx ?i=1 ∧ ∧i=1 ? 例题分析 a =y - b x 例 1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系： x （百万元） 2 4 5 6 8 y （百万元）30 40 60 50 70 （1 针对练习 1、对变量 x, y 有观测数据理力争（x1，y1）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量 u ，v 有观测数据（u1，v1）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（） （A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关（B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关（D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2.在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（） （1）（2）（3）（4） A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3） ） A. y =x +6 B. y =x + 42 C. y =-2x + 60 D. y =-3x + 78 知识点二：概率 一、随机事件概率： 事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。 确定性事件: 必然事件（概率为 1）和不可能事件（概率为 0） （1）必然事件：在条件 S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件 S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件 S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件； （4）随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件 S 的随机事件； 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件 A 发生的概率为P(A)≈m n 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 二、概率的基本性质： 基本概念： （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件 A 与事件 B 互斥； （3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件； （4）当事件 A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件 A 与B 为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1—P(B) 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件 A ，有0 ≤P(A)≤ 1 ② 用Ω和Φ分别表示必然事件和不可能事件,则有P(Ω)= 1, P(Φ)= 0概率论及数理统计 练习题及答案
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