《圆锥曲线》单元测试题

《圆锥曲线》单元测试题

班级姓名学号分数

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的．)

1、若双曲线x2

a2－

y2

b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为() B．5 D．2

2、圆锥曲线y2

9＋

x2

a＋8

＝1的离心率e＝

1

2，则a的值为()

A．4B．－5

4C．4或－

5

4D．以上均不正确

3、以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为()

－1 B．2－3

4、已知双曲线x2

a21－

y2

b2＝1与椭圆

x2

a22＋

y2

b2＝1的离心率互为倒数，其中a1>0，a2>b>0，那么以

a1、a2、b为边长的三角形是()

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

5、设椭圆x2

m2＋

y2

n2＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y

2＝8x的焦点相同，离心率为

1

2，则此椭

圆的方程为()

＋y2

16＝1 ＋

y2

12＝1 ＋

y2

64＝1 ＋

y2

48＝1

6、已知椭圆E：x2

m＋

y2

4＝1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1

被椭圆E截得的弦长不可能相等的是()

A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0 C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝0

7、过双曲线M：x2－y2

b2＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线

分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是()

8、设直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x2＋y2

4＝1的交点为A、

B，点P为椭圆上的动点，则使△P AB的面积为1

2的点P的个数为()

A．1B．2C．3D．4

9、设F1、F2分别是椭圆x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，与直线y＝b相切的⊙F2交椭圆于

点E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为()

－1

10、如图所示，从双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引 圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于

P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则

|MO |－ |MT |与b －a 的大小关系为( )

A ．|MO |－|MT |>b －a

B ．|MO |－|MT |＝b －a

C ．|MO |－|MT |

D ．不确定

11、已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线 C 挡住，则实数a 的取值范围是( )

A ．(4，＋∞)

B ．(－∞，4]

C ．(10，＋∞)

D ．(－∞，10]

12、点P 在曲线C ：x 24

＋y 2＝1上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线l ：x ＝4于 B 点，满足|P A |＝|PB |或|P A |＝|AB |，则称点P 为“H 点”，那么下列结论正确的是( )

A ．曲线C 上的所有点都是“H 点”

B ．曲线

C 上仅有有限个点是“H 点”

C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点”

D ．曲线C 上有无穷多个点是“H 点” 题

号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答

案 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上．)

13．已知点A (1,0)，B (2,0)．若动点M 满足AB →·BM →＋2|AM →|＝0，则点M 的轨迹方程为________．

14．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22

＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直 线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为______．

15．设双曲线x 2

－y 2

3＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，P 是直线x ＝4上的动点，若∠F 1PF 2＝θ， 则θ的最大值为________．

16．直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22

＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面 积的最大值为________．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，

证明过程或

演算步骤．)

17、已知A (－2,0)、B (2,0)，点C 、点D 满足|AC →|＝2，

AD →＝12(AB →＋AC →)． (1)求点D 的轨迹E 的方程；

(2)过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆G 于M 、N 两点，

线段MN 的中点到y 轴的 距离为45

，且直线l 与轨迹E 相切，求椭圆G 的方程． 18、设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22

，过原点O 斜率为1的直线与椭圆C 相交于 M ，N 两点，椭圆右焦点F 到直线l 的距离为 2.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设P 是椭圆上异于M ，N 外的一点，当直线PM ，PN 的斜率存在且不为零时，记直 线PM 的斜率为k 1，直线PN 的斜率为k 2，试探究k 1·k 2是否为定值？若是，求出定值； 若不是，说明理由．

19、过点M (1,1)作直线与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，该抛物线在A 、B 两点处的两条切 线交于点P .

(1)求点P 的轨迹方程；

(2)求△ABP 的面积的最小值．

20、已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2＋3y 2＝4上，对

角线BD 所在直线的斜率为1.

(1)当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程；

(2)当∠ABC ＝60°时，求菱形ABCD 面积的最大值．

21、如图，在由圆O ：x 2＋y 2

＝1和椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1) 构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为63

， 直线l 与圆O 相切于点M ，与椭圆C 相交于两点A ，

B .

(1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在直线l ，使得OA →·OB →＝12

OM →2，若存在，求此时直线l 的方程；若不存在， 请说明理由．

22、已知椭圆的两个焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，过F 1且与坐标轴不平行的直线l 1与椭圆 相交于M ，N 两点，如果△MNF 2的周长等于8.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m,0)，

使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

《圆锥曲线》单元测试题答案

一、 选择题：

二、 填空题：

13、x 22＋y 2＝1 14、 －12

15、 30° 16、 三、 解答题：

17、[解析] (1)设C 、D 点坐标分别为C (x 0，y 0)，D (x ，y )，则AC →＝(x 0＋2，y 0)，AB →＝(4,0)， 则AB →＋AC →＝

(x 0＋6，y 0)，故AD →＝12

(AB →＋AC →)＝????x 02＋3，y 02. 又AD →＝(x ＋2，y )，故??? x 02＋3＝x ＋2，y 02＝y .

解得?????

x 0＝2x －2，y 0＝2y . 代入|AC →|＝?x 0＋2?2＋y 20＝2得x 2＋y 2＝1，即为所求点D 的轨迹E 的方程．

(2)易知直线l 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为

y ＝k (x ＋2)①

又设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

a 2－4

＝1 (a 2>4)② 因为直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，故

|2k |k 2＋1

＝1，解得k 2＝13.将①代入②整理得(a 2k 2＋a 2－4)x 2＋4a 2k 2x ＋4a 2k 2－a 4＋4a 2＝0，

而k 2＝13，即(a 2－3)x 2＋a 2x －34a 4＋4a 2＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－a 2

a 2－3

. 由题意有a 2a 2－3

＝2×45，求得a 2＝8.经检验，此时Δ>0.故所求的椭圆方程为x 28＋y 24＝1. 18、[解析] (1)设椭圆的焦距为2c (c >0)，焦点F (c,0)，直线l ：x －y ＝0， F 到l 的距离为|c |2＝2，解得c ＝2， 又∵e ＝c a ＝22

，∴a ＝22，∴b ＝2.

∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24

＝1. (2)由????? x 28＋y 24＝1，y ＝x ，

解得x ＝y ＝263，或x ＝y ＝－263， 不妨设M ????263，263，N ????－263

，－263，P (x ，y )， ∴k PM ·k PN ＝y －263x －263·y ＋263x ＋263

＝y 2－83x 2－83， 由x 28＋y 24＝1，即x 2＝8－2y 2，代入化简得k 1·k 2＝k PM ·k PN ＝－12

为定值． 19、[解析] (1)设直线AB 方程为y ＝k (x －1)＋1，

代入x 2＝2y 中得，x 2－2kx ＋2k －2＝0

其中Δ＝(－2k )2－4(2k －2)＝4[(k －1)2＋1]>0

记A ????x 1，x 212，B ?

???x 2，x 2

22，则 x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝2k －2.

对y ＝x 2

2

求导得，y ′＝x 则切线P A 的方程为y ＝x 1(x －x 1)＋x 212

， 即y ＝x 1x －x 212

① 同理，切线PB 的方程为y ＝x 2x －x 222

② 由①、②两式得点P 的坐标为????x 1＋x 22，x 1x 22， 于是得P (k ，k －1)，设P (x ，y )，则?????

x ＝k y ＝k －1， 消去参数k ，得点P 的轨迹方程为x －y －1＝0.

(2)由(1)知

|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|

＝?1＋k 2?[?x 1＋x 2?2－4x 1x 2]

＝2?1＋k 2??k 2－2k ＋2?.

点P 到直线AB 的距离

d ＝|k ?k －1?＋1－?k －1?|1＋k 2＝k 2－2k ＋21＋k 2

△ABC 的面积

S ＝12|AB |·d ＝(k 2－2k ＋2)32＝[(k －1)2＋1]32

. 当k ＝1时，S 有最小值1.

20、[解析] (1)由题意得直线BD 的方程为y ＝x ＋1.

因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .

于是可设直线AC 的方程为y ＝－x ＋n .

由?????

x 2＋3y 2＝4，y ＝－x ＋n 得4x 2－6nx ＋3n 2－4＝0. 因为A ，C 在椭圆上，所以Δ＝－12n 2＋64>0， 解得－433

. 设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则

x 1＋x 2＝3n 2，x 1x 2＝3n 2－44

， y 1＝－x 1＋n ，y 2＝－x 2＋n .

所以y 1＋y 2＝n 2

，所以AC 的中点坐标为????3n 4，n 4. 由四边形ABCD 为菱形可知，点????3n 4，n 4在直线y ＝x ＋1上，所以n 4＝3n 4

＋1， 解得n ＝－2.

所以直线AC 的方程为y ＝－x －2，

即x ＋y ＋2＝0.

(2)因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，

所以|AB |＝|BC |＝|CA |.

所以菱形ABCD 的面积S ＝

32|AC |2. 由(1)可得|AC |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝－3n 2＋162

， 所以S ＝34(－3n 2＋16)????－433

21、[解析] (1)∵e ＝c a ＝63，c 2＝a 2－1，∴23＝a 2－1a

2， 解得：a 2

＝3，所以所求椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)假设存在直线l ，使得OA →·OB →＝12

OM →2 易得当直线l 垂直于x 轴时，不符合题意，故设直线l 方程为y ＝kx ＋b ， 由直线l 与圆O 相切可得，b 2＝k 2＋1①

把直线y ＝kx ＋b 代入椭圆C ：x 23

＋y 2＝1中，整理得： (1＋3k 2)x 2＋6kbx ＋3b 2－3＝0

则x 1＋x 2＝－6kb 1＋3k 2，x 1·x 2＝3b 2－31＋3k 2

， OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝x 1·x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝(1＋k 2)x 1·x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2

＝(1＋k 2

)3b 2－31＋3k 2＋6k 2b 21＋3k 2＋b 2＝4b 2－3k 2－31＋3k 2＝12② 由①②两式得k 2＝1，b 2＝2，

故存在直线l ，其方程为y ＝±x ±2.

22、[解析] (1)由题意知c ＝3，4a ＝8，∴a ＝2，b ＝1，

∴椭圆的方程为x 24

＋y 2＝1. (2)当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，

由?????

x 24＋y 2＝1y ＝k ?x －1?

消去y 得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)

则由韦达定理得x 1＋x 2＝8k 2

4k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1

， 则PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)，

∴PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2

＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2

＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)

＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2????4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1 ＝?4m 2－8m ＋1?k 2＋?m 2－4?4k 2＋1

要使上式为定值须4m 2－8m ＋1m 2－4

＝41，解得m ＝178， ∴PE →·QE →为定值3364

， 当直线l 的斜率不存在时P ????1，32，Q ?

???1，－32， 由E ????178，0可得PE →＝????98，－32，QE →＝???

?98，32， ∴PE →·QE →＝8164－34＝3364， 综上所述当E ????178，0时，PE →·QE →为定值3364.