九年级二次函数代几综合(一)(教师版)

二次函数代几综合（一）

1.（粮道街中学12月月考）已知二次函数y＝x2＋bx－3（b为常数）的图象经过点A(－1，0)

(1) 若直线y＝3x＋n与该抛物线交于点A和点B，求点B的坐标

(2) P(m，t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为Q

①当点Q落在该抛物线上时，求m的值

②当点Q落在第二象限内，QA的平方取得最小值时，求m的值

二次函数代几综合问题考察的分类大致有：线段问题、角度问题、面积问题、特殊图形存在性问题（较少出现）。

中考的压轴题都是二次函数的代几综合，需要引起重视！

知识点一（线段问题）

【知识梳理】

1、 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．.

② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

2、抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3、二次函数与不等式

解不等式步骤：（1）检验二次项系数是否为正；（2）判断一元二次方程的判别式是否>0,<0,=0；（3）解出一元二次方程的根；（4）写出一元二次不等式的解集

当0>a 时，不等式02>++c bx ax 或02<++c bx ax ，也可以用二次函数图象来求解。

【例题精讲】

1.（元调24题）如图，抛物线y ＝(x ＋m )2＋m ，与直线y ＝－x 相交于E 、C 两点（点E 在点C 的左边），抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）．△ABC 的外接圆⊙H 与直线y ＝－x 相交于点D 。 (1) 若抛物线与y 轴的交点坐标为(0，2)，求m 的值； (2) 求证：⊙H 与直线y ＝1相切； (3) 若DE ＝2EC ，求⊙H 的半径。

2.（2017元调24题）已知抛物线y ＝2

1x 2

＋mx －2m －2与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于点C 。

（1）当m ＝1时，求点A 和点B 的坐标；

（2）抛物线上有一点D (－1，n )，若△ACD 的面积为5，求m 的值； （3）P 为抛物线上A 、B 之间一点（不包括A 、B ），PM ⊥x 轴于点M ，求

PM

BM

AM ?的值。

3.（2018元调）已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，一次函数y＝kx＋b的图象l 经过抛物线上的点C(m，n)。

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若m＝3，直线l与抛物线只有一个公共点，求k的值；

(3) 若k＝－2m＋2，直线l与抛物线的对称轴相交于点D，点P在对称轴上．当PD＝PC时，求点P的坐标。

【课堂练习】

1.(2018新观察元调交流卷一）已知抛物线y ＝x 2

(1) 在抛物线上有一点A (1，1)，过点A 的直线l 与抛物线只有一个公共点，直接写出直线l 的解析式 (2) 如图，抛物线有两点F 、G ，连接FG 交y 轴于M ，过G 作x 轴的垂线，垂足为H ，连接HM 、OF ，求证：OF ∥MH

(3) 将抛物线y ＝x 2沿直线x y 4

3

移动，新抛物线的顶点C ，与直线的另一个交点为B ，与y 轴的交点为D ，作直线x ＝4与直线CD 、BD 交于点N 、E ，求EN 的长。

（1）y=2x-1

（2）设F （a ，a2），G （b ，b2），所以直线FG 的解析式为y=（a+b ）x-ab ，M （0，-ab ），H （b ，0），所以直线MH 的解析式为y=ax-ab ，直线OF 的解析式为y=ax ，所以OF ∥MH （3）设新抛物线的解析式为y=（x -4m ）2+3m ，联立y=（x -4m ）2+3m 与x y 43

得X C =4m ，X B =4m+4

3，D （0，16m 2+3m ），所以直线BD 的解析式为y=（

4

3

-4m ）x+16m 2+3m ，直线CD 的解析式为 y=-4mx+16m 2+3m ，当x=4时，y E =-13m+16m 2+3，y N =-13m+16m 2，所以EN=3

2.（2018年七一华源12月月考）如图，抛物线与x 轴交于点A 、B (3，0)，与y 轴交于点C ，其顶点D 的坐标为(1，－4)，P 为抛物线上x 轴下方一点。 (1) 求抛物线的解析式；

(2) 若∠PCB ＝∠ACB ，求点P 的坐标；

(3) 过点P 的直线交抛物线于点E ，F 为抛物线上点E 的对称点，直线EP 、FP 分别交对称轴于点M 、N ，试探究DM 与DN 的数量关系，并说明理由。

3.（2018年华一寄元调模拟卷）已知抛物线3)22

1(1)x m (2

--++=x m y ，（1）无论m 取何值，抛物线必经过第三象限一定点，则该定点的坐标为 .（不影响后两问解答）

（2）当m=0，不与坐标轴平行的直线l 1与抛物线有且只有一个交点P （2，a ），求直线l 1的解析式 （3）在（2）的条件下，直线y=kx+b ，交抛物线于M 、N 两点，（M 在N 的右侧），PQ ∥y 轴交MN 于点Q ，若MQ=NQ ，求K 的值

解：（1）y =m （x 2+12x ）+x 2－2x －3，x 2+12x =0，即x =0或x =1

2

时，y 的值与m 无关，当x =0时，y =－3；当x =－

12时，y =－74，∴该定点为（－12，－7

4

）·····3分 （2）m =0时，y =x 2－2x －3，∵P （2，a ），∴22－2×2－3=a ，∴P （2，－3），设1l 的解析式为y =kx +b ，∴2k +b =－3，∴b =－2k －3，∴1l ：y =kx －2k －3，联立2

23

23

y kx k y x x =--??=--?得x 2－（2+k ）x +2k =0，∵△=0，∴[－2（2+k ）]2 －4×1×2k =0，∴k =2，1l ：y =2x －7 ·····7分

（3）过点Q 作直线l //x 轴，过M 作ME ⊥l 于点E ，过N 作NF ⊥l 于点F ，∵MQ =NQ ，

∴△MQE ≌△NQF ，∴QE =QF ，∴E x －Q x =Q x －F x ，即M x －P x =P x －N x ，∴M x +N x =2P x =2×2=4，联立2

23y kx b

y x x =+??=--?

得x 2－（k +2）x －3－b =0，∴M x +N x =k +2，∴k +2=4，∴k =2·····12分

1.（2018年黄陂12月月考）已知抛物线线22

112425C x mx m m =-+-++：y 的顶点P 在定直线l 上运动。

（1） 求直线l 的解析式；

（2）抛物线线1C 与直线l 的另一交点为,Q 求△POQ 的面积；[来源:学,科,网]

（3）将抛物线线1C 平移，得到新抛物线2C ，2C 的顶点为原点，点(1,2)A --为抛物线2C 上一点，过点A 作直线m 与抛物线2C 有且只有一个交点，A 、C 两点关于y 轴对称，E 、F 两点在抛物线上，EF ∥AB,EC 、CF 交x 轴于M 、N ，求OM ON -的值

E

F 图2

A C

B P

O

x

y

M

Q N

2.（2018年硚口区模拟卷二）已知抛物线的顶点H(2，0)，经过点A(1，1)，与y轴交于点C

(1) 求抛物线的解析式

(2) 如图1，在线段OC（端点除外）上是否存在一点N，直线NA交抛物线于另一点B，满足BC＝BN？若存在，请求带你N的坐标；若不存在，请说明理由

(3) 如图2，过点P(－3，0)作直线交抛物线于点F、G，FM⊥x轴于M，GN⊥x轴于N，求PM·PN的值

1.（2017年新观察元调复习交流卷1）如图1，已知抛物线4

3

412++=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，以B 为直角顶点作等腰直角三角形ABP ，且P 在第三象限 (1) 求点P 的坐标

(2) 若点Q 为抛物线上的动点，且S △PAQ ＝5，求点Q 的横坐标n 的值

(3) 如图2，直线AC 交抛物线于C ，交y 轴于M ，连CP 交抛物线于E ，连AE 交y 轴于N ，求OM ·ON 的值

（2）如图1中，设点k 的坐标为（0，m ），△APK 的面积为8，过点K 作PA 的平行线交抛物线于Q 1、Q 2．则△Q 1AP 为8，△Q 2AP 的面积为8．

2.（2018年六初元调模拟卷）抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 与y 轴交于点10,2C ?? ???

，其顶点A 在x 轴上．

（1）求抛物线的解析式； （2）若直线BC 的解析式为：11

22

y x =

+，交抛物线于点B ，点P 为BC 上一动点，PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥AB 于点N ，当PM·PN 的值最大时，求点P 的坐标；

（3）将抛物线平移，平移后的抛物线顶点与坐标原点重合，点P 为y 轴负半轴一动点，过点P 的直线与平移后的抛物线只有唯一的公共点Q （点Q 在第一象限），连接QC 并延长，交抛物线于另一点T ，若PC ＝2CT 时，求点P 的坐标． （1）211

22

y x x =

-+； （2）作PQ ∥x 轴交AB 于Q ，B （3，2），A （1，0），∠BAM ＝45°，设11,22P t t ??+

???

， AB ：y ＝x －1，1311,2222Q t t ??

++ ???

，213222PN t t ??=+-

??? ()2132132212222282PM PN t t t t ????

=++-=-+ ? ?

????

，t ＝1，P （1，1）； （3）设PQ ：y ＝kx ＋b ，与2

12

y x =

， Δ＝0，k 2

＋2b ＝0，22k b =-，2

,2k Q k ?? ???

，2122k PC =+，22221112222k QC k k ??=+-=+ ???，PC ＝QC ，CT

／QC ＝1／2，设QT ：12y mx ==

，与2

12

y x =， 21122k mk =+，122k m k =-，1x k =-，Q ＝k ，2

k k

=，k 2＝2，P （0，－1）．

3.（2018年外国语学校期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2－(1＋3m)x＋3恒过定点P，

C(0，3)

(1) 直接写出点P的坐标

(2) 如图1，当m＝1时，抛物线C1与x轴交于D点，与y轴交于C点，将直线CD沿y轴向上平移交抛物线于M、N，交y轴于Q点，求证：QM－QN是定值；

(3) 如图2，若m＝2，抛物线C1的顶点为G，A(5，0)、B(0，－5)，平移线段AB至A′B′（点A的对应点为A′，点B的对应点为B′），使直线A′B′经过点G，求点A′到直线OB′距离最大时A′、B′两点的坐标。

4.（2018年第八十一中学10月月考）如图,已知抛物线2

12

y x bx c =++与x 轴交于A (－4，0) 和B (1，0)两点，与y 轴交于C 点． (1)求此抛物线的解析式；

(2)设E 是线段AB 上的动点，作EF //AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标；

(3)若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作PH ⊥AC 于H ，当P 点运动到什么位置时，线段PH 的值最大，并求此时P 点的坐标．

5.（2018年武昌元调）如图，已知抛物线254y ax ax =+-交x 轴于点A 、点B ，交y 轴于点C ， 且S △ABC =

6. （1）求A B 、两点的坐标；

（2）求△ABC 的外接圆与抛物线的对称轴的交点坐标；

（3）点E 为抛物线上的一动点（点E 异于A ，且E 在对称轴右侧），直线AE 交对称轴于N ，直线BE 交对

称轴于M ，对称轴交x 轴于H ，试确定MH 、NH 的数量关系并说明理由。