课后部分习题参考答案

部分习题参考答案：

第一讲思考题

习题2.有人说“我在说谎”，他是否属于所有说谎人所组成的集合？试分析说明之。 解：设说谎人集合为A ,诚实人集合为B ，则这人既不属于A ,也不属于B 。 因为①如果属于A ，他现在说“我在说谎”，说明他是诚实人了，则不属于A ，故矛盾。 ②如果属于B ，他现在说“我在说谎”，说明他是说谎人了，则不属于B ，故又矛盾 从而可知这人既不属于A ,也不属于B 。这其实说的是罗素的“理发师悖论”，这也说明集合是不能够随便定义的！

习题4.证明长度为1的线段和长度为2的线段的基数相同。

证明1：设△ABC 的中位线为1l 和△ABC 底边2l ，且线段12,l l 的长度分别是为1和2，设A 是线段1l 上的点集，B 是线段2l 上的点集，如图所示，显然A~B ，故结论成立。

证明2：设长度为1的线段为区间A=(0,1)，长度为2的线段为B=(0,2)，建立A 到B 的一一映射：y=2x ，这样A~B ，即基数相等。

习题6.求集合{1,2,3,,100}M = 的所有子集的元素和之和（规定空集的元素和为0）。

解：由幂集()P M （即M 的所有子集组成的集合）的元素可知，要求幂集()P M 的元素和之和只要知道集合M 的每个元素在幂集中出现的次数即可求得，下面就来求各元素出现的次数：①幂集()P M 中的空集?，个元素出现的次数为0，②幂集()P M 中的单个元素集合如{1}，每个元素出现的次数为0

99C ，因为这时可以认为先从集合M 中任取一个元素确定下来，还需从集合M 中余下的99个元素中任取0个元素，故每个元素出现的次数为0

99C ；③幂集()P M 中的两个元素集合如{1,2}，每个元素出现的次数为1

99C ，因为这时可以认为先从集合M 中任取一个元素确定下来，还需从集合M 中余下的99个元素中任取1个元素，故每个元素出现的次数为1

99C ；以此类推……..，有④幂集()P M 中的100个元素集合如

{1,2,,100} ，每个元素出现的次数为99

99C ，因为这时可以认为先从集合M 中任取一个元

素确定下来，还需从集合M 中余下的99个元素中任取99个元素，故每个元素出现的次数为99

99C ；所以幂集()P M 的元素和之和为：

019999

999999(123100)()50502

S C C C =+++++++=?

习题7.证明：由直线上互不相交的开区间作为集A 的元素，则A 至多为可数集。 证明：因为任一开区间中必含有一个有理数，所以A 与有理数的子集对等，而可数集的非空子集为有限集或为可数集，即A 至多是可数集。

习题8.设(1,2,3,)i A i = 都是可数集，则1

i i A +∞

= 也是可数集。

证明：先设,1,2,3,i A i = 是互不相交的可数集，且,1,2,3,i A i = 中的元素都可排列

成一个无限序列123{,,,},1,2,3,i i i i A a a a i == ，则1

i i A +∞

= 中的元素可按如下的箭头方向

排列：

1111213141516{,,,}A a a a a a a =→→→

2212223242526{,,,,,,}A a a a a a a =

↓

3313233343536{,,,,,,}A a a a a a a =

4414243444546{,,,,,,}A a a a a a a =

↓

5515253545556{,,,,,,}A a a a a a a =

称p q h +=为元素(,1,2,)pq a p q = 的高度，按高度的大小编号，如上按箭头方向，这样

就可以将1

i i A +∞

= 中的所有元素排成一列，即

1

i

i A

+∞

= 11122131221314233241{,,,,,,,,,,}a a a a a a a a a a = ，故1

i i A +∞

= 可数集。

对一般情形可设1

111

,\,2n n n i i B A B A A n -===≥ ，则1

i i B +∞

= 为不交集列，且1

i i B +∞

==

1

i

i A

+∞

= ，从

而由前面证明可知1

i i A +∞

= 仍为可数集。

若不同的两个i A 与()j A i j ≠有公共元素，则应从该序列中删去重复的元素，但删去后，它

仍是一个无限集，因此1

i i A +∞

= 是一可数集。

习题9.可数集E 的外测度为零。

证明：因为E 是可数集，所以可设123{,,,}E r r r = ，对任给的0ε>，令

1

1

(,)2

2

i i i i i I r r ε

ε

++=-

+

，则区间的长度为1

1

,1,2,2

2

2

i i i i i i

I r r i ε

ε

ε

++=+-+

=

= ，

显然E 中的每一点都是

1

i

i I

+∞

= 的内点，因为区间(1,2,)i I i = 可以彼此相交，所以

*

1

2

i

i m E ε

ε+∞

=≤

=∑，而ε可以取任意小的正数，所以*

0m E =

第二讲思考题

1．尽管欧几里得的《几何原本》有严重的缺陷，但它却有巨大的历史意义，怎样理解它的历史意义？ 解：《几何原本》的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范．在这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设（定义、公设、公理）出发，运用逻辑推理的方法展开和叙述的．也就是说，从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科．

2.为什么说非欧几何学的诞生促进了几何学公理体系的建立？

解：罗氏几何的创立不仅解决了第五公设的独立性问题更重要的是：它扩大了对几何本身意义的认识．自从第一种非欧几何——罗氏几何的思想获得承认以后，几何学的发展便开始了繁荣的新时期．几何对象的推广，即抽象空间概念的形成在数学的近代阶段中起了巨大的作用．非欧几何在分析和代数方面的应用也胜过了欧氏几何．

数学发展的现代阶段的开端，特别是现代几何学的开端通常以罗氏几何的发现作为其标志之一．第五公设的试证导致发现非欧几何，这引起了几何学上的革命，也促进了几何基础问题的研究．非欧几何发现后，许多数学家参加了使几何基础的结构崭然一新的工作．例如，1866年，赫姆霍尔兹(Helmho1Lzl1821一1894年)提出运动概念作为基本概念，列入他的深奥的公理系统中．187l 年，德国数学家康托儿(Contor ，1845—1918年)和1872年德国数学家戴德金(Dedekind ，1831—1916年)拟成了(关于直线的)连续公理．1882年德国数学家巴士(M ．Pasch ，1843一1930年)拟成了顺序公理. 3．试述罗氏平行线的性质和欧氏平行线的性质有何异同？

解：欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样．欧氏几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”．罗氏几何讲“过直线外一点存在两条直线和已知直线平行”。

4．在欧氏几何公理体系中，证明三角形角边角合同定理，即在△ABC 和△A'B'C'中，若

'',''','''AB A B ABC A B C BAC B A C ≡∠≡∠∠≡∠,则'''A B C A B C ?≡?.

证明：只需证明''BC B C ≡即可，如下图所示，假设,''BC B C 不合同且''B C B C <，则可在''B C 内部取一点'D 使''B C B D ≡，在△ABC 和△A'B'D'中有：

'',''',''AB A B ABC A B D BC B D ≡∠≡∠≡,由公理5III 可得'''B A C B A D ∠≡∠这与已

知'''B A C B A C ∠≡∠矛盾，所以''BC B C ≡，故由三角形边角边合同定理（即课本例8）即'',''',''AB A B ABC A B C BC B C ≡∠≡∠≡，得'''A B C A B C ?≡?。

5．在欧氏几何公理体系中，试证明：每条直线上至少有5个点。

6．在欧氏几何公理休系中，试证明：在一条直线上的任意三个点中，总有一个点在另外两个点之间．

证明：设一直线上有三点A ，B ，C ，由公理3II 知，在三点A ，B ，C 里至多只有一个点位于其他两点之间，所以设点A 不位于点B 和点C 之间，且C 不位于点B 和点A 之间，下面证明点B 位于点A 和点C 之间。

由公理3I 可知直线AC 之外有点D ，由2II 可知在直线BD 上存在一点G ，使得D 位于B 和G 之间（如下图所示），由巴士公理得AD 交CG 于E 点，CG 交AG 于F 点，且E ，F 分别是CG 和AG 的内点；所以在A E G ?中，因为点F 是AG 的内点，由巴士公理可知点D 也是AE 的内点；同理在A E C ?中，因为点D 是AE 的内点，由巴士公理可知点B 也是AC 的内点,即点B 位于点A 和点C 之间。

7，在罗氏几何公理体系中，试证明：半圆上的圆周角小于直角．

证明：设半圆上的圆周角为A C B ∠（如下图所示），连结线段OC ，有等腰三角形A C O ?和等腰三角形B C O ?，且各个角的表示如图所示，则,αγβθ==，因为αφγπ++<，

βωθπ++<，所以2αφγβωθπ+++++<，

即222()2αφγβωθγθπγθππ+++++=++=++<， 所以有1(2)2

2

π

γθππ+<

-=

，故2

A C

B π

γθ+=∠<

8．试证明：在罗氏几何公理体系中，若两条平行直线被第三条直线所截，则在平行方向一侧截得的两个同侧内角之和小于两直角． 证明：图形如下所示，因为ABC 三点构成三角形，

9．在罗氏几何公理体系中，试证明：三角形两边中点的连线小于第三边的一半．

第三讲思考题

1.写出集合{,}X a b =的所有拓扑．

解：有4种不同的拓扑，分别是三个等价类：第一类1个，平庸拓扑1{,}X τ=?；第二类1个，离散拓扑2{{},{},,}a b X τ=?；第三类2个，

3{{},,}a X τ=?，4{{},,}b X τ=? 2．讨论n 元素集X 上可能赋予多少种不同的拓扑？

解：当2n =时，由习题1可得结果为4种不同的拓扑。

当3n =时，设},,{c b a X =，则在X 上可赋予29种不同的拓扑，为9个等价类拓扑．分别为：第一类平庸拓扑1个1{,}X τ=?；

第二类离散拓扑1个2{{},{},{},{,},{,},{,},,}a b c a b b c c a X τ=?； 第三类3个拓扑3{{},,}a X τ=?等；

第四类6个拓扑

4{{},{,},,}

a a

b X

τ=?等；

第五类3个拓扑

5{{},{,},,}

a b c X

τ=?等；

第六类3个拓扑

6{{},{,},{,},,}

a a

b a

c X

τ=?等；

第七类3个拓扑

7{{},{},{,},,}

a b a b X

τ=?等；

第八类6个拓扑

8{{},{},{,},{,},,}

a b a b a c X

τ=?等；

第九类3个拓扑

9{{,},,}

a b X

τ=?等。

当4

n=时，设{,,,}

X a b c d

=，则在X上可赋予240种不同的拓扑，为16个等价类

拓扑．分别为：第一类平庸拓扑1个

1{,} X

τ=?；第二类离散拓扑1个

2{{},{},{},{},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,,},{,,},{,,},,}

a b c d a b a c a d b c b d c d a b c a b d b c d X

τ=?

第三类4个拓扑

3{{},,}

a X

τ=?等；1

414

C?=

第四类12个拓扑

4{{},{,},,}

a a

b X

τ=?等；1

4312

C?=

第五类4个拓扑

5{{},{,,},,}

a b c d X

τ=?等；1

414

C?=

第六类12个拓扑

6{{},{,,},,}

a a

b

c X

τ=?等；1

4312

C?=

第七类6个拓扑

7{{},{},{,},,}

a b a b X

τ=?等；2

416

C?=

第八类4个拓扑

8{{},{},{},{,,},{,},{,},{,},,}

a b c a b c a b a c b c X

τ=?等；3

414

C?=

第九类12个拓扑

9{{},{,},{,,},,}

a b c a b c X

τ=?等；12

4312

C C

?=

第十类12个拓扑

10{{},{,},{,,},{,,},,}

a a

b a b

c a b

d X

τ=?等；1

4312

C?=

第十一类6个拓扑

11{{},{},{,},{,,},{,,},,}

a b a b a b c a b d X

τ=?等；2

416

C?=

第十二类4个拓扑

12{{},{,,},{,,},{,},{,,},{,},{,},,}

a a

b

c a b

d a b a c d a c a d X

τ=?等；

1 414

C?=

第十三类12个拓扑

13{{,},{,,},,}

a b a b c X

τ=?等；2

4212

C?=

第十四类24个拓扑

14{{},{,},{,,},,}

a a

b a b

c X

τ=?等；1

43224

C??=

第十五类12个拓扑16{{},{,},{,},{,},{,,},,}a a b a c b c a b c X τ=?等；1

4312C ?=

第十六类6个拓扑17{{,},{,,},{,,},,}a b a b c a b d X τ=?等；2416C ?=. 3．开区间(,)22

ππ

-

是否与欧氏空间R 同胚．

解:作映射:(,)22

f R ππ

-→，使(,),()arctan 22

x f x x ππ

?∈-

=，则f 是连续的满单

射，且其逆映射1

f -也是连续映射，即f 是拓扑变换，所以开区间(,)22

ππ

-

与欧氏空间R

是同胚的。

4．设12,X X 都是连通空间X 的开子集，1212,X X X X X =≠? 且连通．证明：1X 和

2X 都是连通的．

补充定理：设Y 是拓扑空间X 的一个子集，,A B Y ?。则A 和B 是子空间Y 中的一个分离当且仅当它们是拓扑空间X 中的一个分离。

证明：假设1X 是不连通的，则有开集11,U V ，使得111X U V = ，

1111,,U V U V ≠?≠?=? ，即11,U V 是1X 的一个分离，则由补充定理有11,U V 也是X 的

一个分离，所以X 也是不连通的，这与已知X 是连通的矛盾，故假设不成立，所以1X 是连通的；同理有2X 也是连通的。

5．能否用17个三角形面围成一个凸多面体？为什么？

解：假设可以围成一个凸多面体，设每个顶点处相交的棱数为(3)r r ≥，面数为17f =，顶点数31751v r

r

?==，棱数317512

2

e ?=

=

则有欧拉公式有51512172

v e f r

=-+=

-

+，

即102 4.921

r =≈，即r Z +

?，所以假设不成立，即用17个三角形面不能围成一个凸多面

体。

6．检验下列各图，判断它们能否一笔画：

解：其中能一笔画的图形有：（a ）、（d ）、（e ）、（f ）、（g ）；

不能一笔画的图形有：（b ）、（c ）。

7．设5个选手进行乒乓球比赛，每人至少打3盘，证明：5人中一定有人不止打3盘。如果选手有6个，结论如何？

解：因为每打一盘要两名选手，所以每两名选手比赛一盘就用一条线段来表示，设5个选手分别为：A ，B ，C ，D ，E ，则它们之间的比赛情况可用下图一来表示，从图中可看出A ，B ，C ， E 四名选手刚好一人打3盘，但是 D 选手此时只有打两盘，若D 选手也要至少打3盘，则D 就得和A ，B ，C ， E 四名选手中的一个选手在打一盘，这样A ，B ，C ， E 四名选手中就一定有一人不止打3盘。

如果选手有6个则可以刚好每人打3盘，其具体比赛情况可由图二来表示。

8．覆盖在球体表面的一张地图中，如果去掉两个指数都为3的顶点及这两个项点之间的一条边界，那么图中顶点数v ，区域数f ，和边界数e 各有什么变化？v e f -+有什么变化？

解：若去掉如图1所示的图形中A 、B 两个顶点，那么图中顶点数2v -，区域数2f -和边界数5e -。v e f -+的增加1。

若去掉如图2或图3所示的图形中A 、B 两个顶点，那么图中顶点数2v -，区域数3f -和边界数5e -。v e f -+的值不变。

9．设一张岛屿地图中有v 个项点、f 个国家和e 条边界，那么v e f -+的值是多少？ 解：因为我们把国家和海洋都看作区域，并且将地图画在一个球面上，所以由v e f -+这个数与图形的选择无关可得它的值即2v e f -+=

10．从两个同心圆周中的一个到另一个作几条“隔档”，问这样的地图最少着几种颜色（外面的区域不着色），

解：若地图为图1所示则由定理3可知要着三种颜色。

若地图为图2所示则由定理1可知要着二种颜色。

若地图为图3所示则由定理4可知可以用三种或更少的颜色来着色。

11一个正八面体（见图3-14(c)）有8个三角形的面，每个顶点处都有4个面相交，给每个面染色使任何两个相邻面都有不同颜色，问最少需要几种颜色?

解：已知正八面体每个顶点处都有4个面相交，所以每个顶点的指数都为4，即为偶数而正八面体与球面同胚，且顶点的指数是拓扑不不变的，所以对应于球面上的每个顶点的指数也是偶数4，由定理2可知在球面上的网络图只要着两色即可，故正八面体也只要着两色即可。

第四讲思考题

1.设G 为群，对任意的a G ∈，成立2

a e =，此处e 为单位元，证明G 为交换群． 解：,a

b G ?∈，由已知有：2

()()()ab ab ab e ==，2

2

()()ab ba ab a aea a e ====， 所以有()()()()ab ab ab ba =，由群的消去律得ab ba =，故G 为交换群。 2.设Z 为整数集，在集合S Z Z =?上定义

()()()()()(),,,,,,,a b c d a b c d a b c d ac bd ad bc +=++?=++

证明：S 在这两个运算下成为一个有单位元素的环．

证明：首先（S ，+）是一个加法交换群。因为1）运算时结合的：

即[(,)(,)](,)(,)(,)[(,)(,)]a b c d e f a c e b d f a b c d e f ++=++++=++。

2）运算有单位元(0,0)：即(,)(0,0)(0,0)(,)(,)a b a b a b +=+=。 3）运算有逆元：(,)(,)(,)(0,0)a b a b a a b b +--=--=。

且(,)(,)(,)(,)(,)a b c d a c b d c d a b +=++=+，所以(,)S +是一个交换群。 其次，乘法有结合律：

再次，乘法对加法满足分配律：

(,)[(,)(,)](,)a b c d e f ac ae bd bf ad af bc be ?+=++++++； [(,)(,)](,)(,)c d e f a b ca ea db fb da fa cb eb +?=++++++。

所以(,,)S +?是一个环，又因为有单位元(1,0)：即(,)(1,0)(1,0)(,)(,)a b a b a b ?=?=。 故综上结论得证。

3.设p 为素教，证朋：模p 剩余类环p Z 是具有p 个元素的域．

证明：因为p 为素教所以由模p 剩余类环p Z 的定义可知p Z 中至少有两个元素，p Z 有单位元[1]，即[]x ?∈p Z 有：[1][][][1][]x x x ?=?=，且[],[]x y ?∈p Z 有：

[][][][][][]x y xy yx y x ?===?，所以模p 剩余类环p Z 是具有p 个元素的域．

4.证明：所有的绝对值1的复数在乘法下构成一个群．

证明：1）运算时结合的：设复数,,a b c ，有()()1ab c a b c a bc ===。 2）运算有单位元1：设复数a ，有111a a a a ===。 3）运算有逆元：设复数a ，有1111aa a a a a ---===。 所以结论成立。

5.证明：任一2阶群与乘法群｛1，-1｝同构．

证明：设2阶群{,}G a b =，其二元运算为“ ”，由群的定义有：a b a = 或a b b = ，不妨令a b b = 即a 是单位元，定义:{1,1}f G →-为：()1,()1f a f b ==-，则f 是双射且有()()11(1)()()f a b f b f a f b ==-=?-=? ，即()()()f a b f a f b =? ，所以由同构的定义可知结论成立。 6.解三次方程3

210x x +-=.

解：因为2,1p q ==-，所以

2

3

2

3

(1)2

594

27

4

27108

q

p

-+

=

+

=

，

由3

12

2

q u =-

+

=

+

3

33

27

p

u v =-

，233p v u

u

∴=-

=-

，故有

1u =

1v =-

；

11)2

2

u i =

-

+

，

11)2

2

v =-

--

；

11)2

2

u =

-

-

，

11)2

2

v =-

-+

；

所以方程的根为：

1x =

211))2

2

2

2

x i i =

-

+

-

--

；

311))2

2

2

2

x =

-

-

-

-+

。

7.解三次方程323510x x x -+-=

解：因为2

2

(3)5233a

p b -=-

+=-

+=，3

3

22(3)(3)51227

3

27

3

a

ab q c --=

-

+=

-

-=。

所以

2

3

2

3

2

2

354

27

4

27

27

q

p

+

=

+

=

，3

12

q u =-

+

=-+，3

33

27

p

u v =-

，

233p v u

u

∴=-

=-

，故有：1u =

，1v =-

21)2

2

u =

-

+

，

221)2

2

v =-

-

-

；

31)2

2

u =

-

-

，

31)2

2

v =-

-

+

。

所以：1y =

；

211))2

2

2

2

y =

-

+

---

；

311))2

2

2

2

y =

-

-

-

-+

。

即方程的根为：111313

3

a x y y -=-

=-

=+；

222311))13

3

2

2

2

2

a x y y i -=-

=-

=

-

+

-

--

+；

333311))13

3

2

2

2

2

a x y y -=-

=-

=

-

-

-

-+

+。

8.解四次分程42

3530x x x +--=．

解：因为3,5,3q r s ==-=-，所以由2

2

3

2

402

16

64

q q s r

z z z -+

+

-

=有

3

2

3212502

16

64

z z z +

+

-

=，在有三次方程的求解这个方程的三个根：123,,z z z ，于是有：

u v w =

==

x =即是所给四次方程的根。