人教版八年级上册数学 期中精选试卷培优测试卷

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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．在ABC ?中，90,BAC AB AC ∠=?=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C

重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ?，使90DAF ∠=?，连接CF ． （1）观察猜想

如图1，当点D 在线段BC 上时， ①BC 与CF 的位置关系为__________；

②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC ???）

（2）数学思考

如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明； （3）拓展延伸

如图3，当点D 在线段BC 的延长线时，将DAF ?沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE CF 、，若4,22CD BC AC ==CE 的长．（提示：做

AH BC ⊥于H ，做EM BD ⊥于M ）

【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF ＋DC ；（2）C ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC ，证明详见解析；（3）32【解析】 【分析】

（1）①根据正方形的性质得，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC （SAS ）；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质可得到=CF BD ，

ACF ABD ∠=∠ ，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；

（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，证明ADH DEM △≌△ ，推出

3EM DH == ，2DM AH == ，推出3CM EM == ，即可解决问题． 【详解】

（1）①正方形ADEF 中，AD AF = ∵90BAC DAF ==?∠∠

∴BAD CAF ∠=∠ 在△DAB 与△FAC 中

AD AF BAD CAF AB AC =??

∠=∠??=?

∴()DAB FAC SAS △≌△ ∴B ACF ∠=∠

∴90ACB ACF +=?∠∠ ，即BC CF ⊥ ； ②∵DAB FAC △≌△ ∴=CF BD ∵BC BD CD =+ ∴BC CF CD =+

（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC 证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形 ∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF

在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =??

∠=∠??=?

∴△DAB ≌△FAC （SAS ） ∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝45° ∴∠ABD ＝180°－45°＝135° ∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°

∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°， ∴CF ⊥BC

∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ∴DC ＝CF ＋BC

（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ， ∵90BAC ∠=?

，AB AV ==

∴1

422

BC AH BH CH BC =====

=， ∴1

14

CD BC =

= ∴3DH CH CD =+= ∵四边形ADEF 是正方形 ∴90AD DE ADE ==?，∠

∵BC

CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥，， ∴四边形CMEN 是矩形 ∴NE CM EM CN ==，

∵90AHD ADC EMD ===?∠∠∠

∴90ADH EDM EDM DEM +=+=?∠∠∠∠ ∴ADH DEM =∠∠ 在△ADH 和△DEM 中

ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠??

∠=∠??=?

∴ADH DEM △≌△

∴32EM DH DM AH ====， ∴3CM EM == ∴2232CE EM CM =

-=

【点睛】

本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．

2．已知△ABC 中，AB =AC ，点P 是AB 上一动点，点Q 是AC 的延长线上一动点，且点P 从B 运动向A 、点Q 从C 运动向Q 移动的时间和速度相同，PQ 与BC 相交于点D ，若AB =82，BC =16．

（1）如图1，当点P 为AB 的中点时，求CD 的长；

（2）如图②，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为E ，当点P 、Q 在移动的过程中，设BE +CD =λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．

【答案】（1）4；（2）8

【解析】 【分析】

（1）过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，由点P 和点Q 同时出发，且速度相同，得出BP=CQ ，根据PF ∥AQ ，可知∠PFB=∠ACB ，∠DPF=∠CQD ，则可得出∠B=∠PFB ，证出BP=PF ，得出PF=CQ ，由AAS 证明△PFD ≌△QCD ，得出，再证出F 是BC 的中点，即可得出结果；

（2）过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，易知△PBF 为等腰三角形，可得BE=1

2

BF ，由（1）证明方法可得△PFD ≌△QCD 则有CD=1

2

CF ，即可得出BE +CD =8． 【详解】

解:（1）如图①，过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，

∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同， ∴BP=CQ ， ∵PF ∥AQ ，

∴∠PFB=∠ACB ，∠DPF=∠CQD ， 又∵AB=AC ， ∴∠B=∠ACB ， ∴∠B=∠PFB ， ∴BP=PF ，

∴PF=CQ ，又∠PDF=∠QDC ， ∴△PFD ≌△QCD ， ∴DF=CD=

1

2

CF ， 又因P 是AB 的中点，PF ∥AQ ， ∴F 是BC 的中点，即FC=1

2

BC=8， ∴CD=

1

2

CF=4； （2）8BE CD λ+==为定值． 如图②，点P 在线段AB 上， 过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，

易知△PBF 为等腰三角形， ∵PE ⊥BF ∴BE=

12BF ∵易得△PFD ≌△QCD ∴CD=

12

CF ∴()1111

82222

BE CD BF CF BF CF BC λ+==+=+== 【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，熟悉相关性质定理是解题的关键．

3．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图

（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：

①如图（2），把一块三角尺XYZ 放置在△ABC 上使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若∠A ＝40°，则∠ABX+∠ACX ＝ °．

②如图（3），DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若∠DAE ＝40°，∠DBE ＝130°，求∠DCE 的度数．

【答案】（1）∠BDC ＝∠BAC+∠B+∠C ，理由见解析；（2）①50；②∠DCE ＝85°．

【解析】

【分析】

（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝

∠BAC+∠B+∠C；

（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根据∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；

（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根据∠DCE＝

∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度数即可.

【详解】

（1）如图，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：

过点A、D作射线AF，

∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，

∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，

即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；

（2）①如图（2），∵∠X＝90°，

由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，

∵∠A＝40°，

∴∠ABX+∠ACX＝50°，

故答案为：50；

②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，

∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，

∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，

∴∠ADC＝1

2

∠ADB，∠AEC＝

1

2

∠AEB，

∴∠ADC+∠AEC＝1

(ADB AEB)

2

∠+∠＝45°，

∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．

【点睛】

本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.

4．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直

线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE=BD+CE ．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，求证:△DEF 是等边三角形．

【答案】(1)见解析；（2）成立，理由见解析；(3)见解析 【解析】 【分析】

（1）因为DE=DA+AE ，故通过证BDA AEC ?△△，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE.

（2）成立，仍然通过证明BDA AEC ?△△，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD.

（3）由BDA AEC ?△△得BD=AE ，=BDA AEC ∠∠，ABF 与ACF 均等边三角形，得==60BA AC ?∠F ∠F ，FB=FA ，所以=BA BA AC AC ∠F ＋∠D ∠F ＋∠E ，即

FBD FAB ?∠∠，所以BDF AEF ?△△，所以FD=FE ，BFD AFE ?∠∠，再根据

FE=?

=60

∠E＋∠D，即=60

∠D，故BFD FA BFA=?

∠＋∠D∠，得=60

AF FA=?

△是等边三角形.

DFE

【详解】

证明：(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m

∴∠BDA＝∠CEA=90°，∵∠BAC＝90°

∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°

∴∠CAE=∠ABD，又AB=AC ，∴△ADB≌△CEA

∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD= BD+CE

(2)∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α

∴∠DBA=∠CAE ，∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC

∴△ADB≌△CEA，∴AE=BD，AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE

（3）由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA =∠CAE

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE

∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°

∴△DEF为等边三角形.

【点睛】

利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.

5．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE⊥AC，连结

DF 交射线 AC 于点 G

(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；

(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。

(3)聪明的斯扬同学通过测量发现，当点 D 在线段 AB 上时，EG 的长始终等于 AC 的一半，他想当点D 运动到图 2 的情况时，EG 的长是否发生变化?若改变，说明理由；若不变，求出 EG 的长。

【答案】（1）4

3

；（2）见详解；（3）不变.

【解析】

【分析】

（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．当DF⊥AB时，通过解直角△BDF求得x的值，易得t 的值；

（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，构建全等三角形：△DHG≌△FCG，结合全等三角形的对应边相等的性质和图中相关线段间的和差关系求得DG=GF；

（3）过F作FH⊥AC，可证△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再证△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解题．

【详解】

解：（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．

当DF⊥AB时，∵∠B=60°，

∴∠DFB=30°，

∴BF=2BD，即4+x=2（4-x），

解得x=4

3

，

故t=4

3

；

（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，则∠DHG=∠FCG．

∵△ABC是等边三角形，

∴△ADH是等边三角形，

∴AD=DH．

又AD=CF，

∴DH=FC．

∵在△DHG与△FCG中，

DGH FGC

DHG FCG

DH FC

∠∠

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△DHG≌△FCG（AAS），

∴DG=GF；

（3）如图2，过F作FH⊥AC，

在△ADE和△CFH中，

90

AED FHC

A FCH

AD CF

∠∠?

?

?

∠∠

?

?

?

＝＝

＝

＝

，

∴△ADE≌△CFH（AAS），

∴DE=FH，AE=CH，

∴AC=EH，

在△GDE和△GFH中，

DEG FHG

DGE FGH

DE FH

∠∠

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

∴△GDE≌△GFH（AAS），

∴EG=GH，

∴EG=

1

2

EH=

1

2

AC．

【点睛】

本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△GDE≌△GFH是解题的关键．

二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．

（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；

（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；

（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．

【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．

【解析】

【分析】

（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；

（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；

（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．

【详解】

解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，

由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5

（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．

②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．

③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．

（3）不存在这样的点P．

作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，

作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，

由图可以看出两线交于第一象限．

∴不存在这样的点P．

【点睛】

本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．

7．如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90o，D、E 分别在 BC、AC 边上，连接 AD、BE 相

交于点 F，且∠CAD＝1

2

∠ABE．

(1)求证：BF＝AC；

(2)如图2，连接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度数；

(3)如图3，在⑵的条件下，若 AE＝3，求 BF 的长.

【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4.

【解析】

【分析】

（1）设∠CAD=x，则∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，进而得到∠BAF =∠AFB，即可得到结论；

(2)由∠AEB=90°-2x，进而得到∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，由BF＝AB，可得：

∠EFD=∠BFA=90°-x，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC，即可求解；

(3)设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ，根据勾股定理列出方程，即可求解. 【详解】 （1）设∠CAD=x ，

∵∠CAD ＝

1

2

∠ABE ，∠BAC ＝90o， ∴∠ABE=2x ，∠BAF=90°-x ， ∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°， ∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x ， ∴∠BAF =∠AFB ， ∴BF ＝AB ； ∵AB ＝AC ， ∴BF ＝AC ；

（2）由（1）可知：∠CAD=x ，∠ABE=2x ，∠BAC ＝90o， ∴∠AEB=90°-2x ， ∵EF ＝EC ， ∴∠EFC=∠ECF ，

∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x ， ∴∠EFC=（90°-2x ）÷2=45°-x ， ∵BF ＝AB ,

∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x ， ∴∠EFD=∠BFA=90°-x ，

∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x ）-(45°-x)=45°； （3）由（2）可知：EF ＝EC ， ∴设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ， ∴AB=BF=AC=3+x ， ∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ， ∵∠BAC ＝90o， ∴222AB AE BE +=， ∴2

2

2

(3)3(32)x x ++=+，

解得：11x =，23x =-（不合题意，舍去） ∴BF=3+x=3+1=4. 【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理，用代数式表示角度和边长，把几何问题转化为代数和方程问题，是解题的关键.

8．如图，在等边三角形ABC 的外侧作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，其中BD 交直线AP 于点E ． （1）依题意补全图形；

（2）若∠PAC ＝20°，求∠AEB 的度数；

（3）连结CE ，写出AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE ＋AE ＝BE ． 【解析】 【分析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）根据轴对称的性质可得AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC ＝AB ，∠BAC ＝60°，即可得AB ＝AD ，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D 的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB 的度数； （3）CE ＋AE ＝BE ，如图，在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，设∠EAC ＝∠DAE ＝x ，类比（2）的方法求得∠AEB ＝60°，从而得到△AME 为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS 即可判定△AEC ≌△AMB ，根据全等三角形的性质可得CE ＝BM ，由此即可证得CE ＋AE ＝BE ． 【详解】 (1)如图：

（2）在等边△ABC 中， AC ＝AB ，∠BAC ＝60°

由对称可知：AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD ， ∴AB ＝AD ∴∠ABD ＝∠D ∵∠PAC ＝20° ∴∠PAD ＝20°

∴∠BAD ＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°

()

1

180402

D BAD ??∴∠=

-∠=. ∴∠AEB ＝∠D +∠PAD ＝60°

（3）CE＋AE＝BE．

在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，

在等边△ABC中，

AC＝AB，∠BAC＝60°

由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，

设∠EAC＝∠DAE＝x．

∵AD＝AC＝AB，

∴()

1

180260

2

D BAC x x

??

∠=-∠-=-

∴∠AEB＝60－x＋x＝60°．

∴△AME为等边三角形．

∴AM=AE，∠MAE=60°，

∴∠BAC=∠MAE=60°，

即可得∠BAM=∠CAE.

在△AMB和△AEC中，

AB AC

BAM CAE

AM AE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△AMB≌△AEC.

∴CE＝BM.

∴CE＋AE＝BE．

【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE 上，再证明CE＝BM即可得结论．

9．（1）操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线段，把原三角形分割成两个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数

（2）拓展，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，请把△ABC分割成三个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数.

（3）思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.

【解析】

【分析】

（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可；（2）分别作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP时，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP，PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况，根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】

（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，

如图1，∵∠ABC=23°，∠BAC=90°，

∴∠C=90°-23°=67°，

∵MN垂直平分AB，

∴BD=AD，

∴△ABD是等腰三角形，

∴∠BAD=∠ABC=23°，

∴∠ADC=2∠ABC=46°，

∵∠BAC=90°，

∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°，

∴∠DAC=∠C，

∴△DAC是等腰三角形，

同理：图2中，∠ADC=46°，∠DAC=88°，∠C=46°，△ABD和△ACD是等腰三角形，图3中，∠BCD=23°，∠ADC=46°，∠ACD=46°，△BCD和△ACD是等腰三角形.

（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC，

∵点O是三角形垂直平分线的交点，

∴OA=OB=OC，

∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形，

∵AB=AC，∠BAC=45°，

∴∠ABC=∠ACB=67.5°，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴∠BAD=∠CAD=22.5°，

∴∠OBA=∠OAB=22.5°，∠OCA=∠OAC=22.5°，

∴∠OBC=∠OCB=45°.

（3）①如图，当PB=PA，PB=PQ，PQ=CQ时，

∵∠A=30°，PB=PQ，

∴∠ABP=∠A=30°，

∴∠APB=120°，

∵PB=PQ，PQ=CQ，

∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ，

∴∠PBQ=2∠C，

∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，

解得：∠C=40°.

②如图，当PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ时，∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，

∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，

∴180°-4∠C+∠C=120°，

解得：∠C=20°，

③如图，当PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP时，

∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=1

2

（180°-∠C），

∴∠PBQ=1

4

（180°-∠C），

∴1

4

（180°-∠C）+∠C=120°，

解得：∠C=100°.

④如图，当PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP时，∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,

又∵∠C+∠PBQ=120°，

∴∠C=80°；

⑤如图，当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，∵∠A=30°，

∴∠APB=1

2

（180°-30°）=75°，

∵BP=BQ，PQ=CQ，

∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，

∴∠BQP=2∠C，

∴∠PBQ=180°-4∠C，

∴∠C+180°-4∠C=75°，

解得：∠C=35°.

⑥如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QC时，

∴∠PQC=2∠PBC，∠PQC=1

2

（180°-∠C），

∴∠PBC=1

4

（180°-∠C），

∴1

4

（180°-∠C）+∠C=75°，

解得：∠C=40°.

⑦如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QP时，∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，∴∠C=50°；

⑧当AB=AP，BP=PQ，PQ=CQ时，

∵AB=BP，∠A=30°，

∴∠ABP=∠APB=75°，

又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，

且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，∴3∠C=75°，

∴∠C=25°；

⑨当AB=BP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，

∴∠BPA=∠A=30°，

∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，

∴2∠C+∠C=30°，

解得：∠C=10°.

⑩当AB=BP，BQ=PQ，PQ=CQ时，∴∠PQC=∠C=2∠PBQ，

∴1

2

∠C+∠C=30°，

解得：∠C=20°.

综上所述：∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.

【点睛】

本题考查复杂作图及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.

10．已知ABC为等边三角形，E为射线AC上一点，D为射线CB上一点，AD DE

=.（1）如图1，当点E在AC的延长线上且CD CE

=时，AD是ABC的中线吗？请说明理由；

（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，写出,,

AB BD AE之间的数量关系，请说明理由；

（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，点E在线段AC上时，请直接写出