中考数学知识点过关培优 易错 难题训练∶旋转附答案解析

一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（探索发现）

如图，ABC ?是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将ACD ?绕点A 逆时针旋转

60?得到AEF ?，连接CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形. 小明是这样想的：

（1）请参考小明的思路写出证明过程；

（2）直接写出线段CD ，CF ，AC 之间的数量关系：______________； （理解运用）

如图，在ABC ?中，AD BC ⊥于点D .将ABD ?绕点A 逆时针旋转90?得到AEF ?，延长FE 与BC ，交于点G .

（3）判断四边形ADGF 的形状，并说明理由； （拓展迁移）

（4）在（3）的前提下，如图，将AFE ?沿AE 折叠得到AME ?，连接MB ，若

6AD =，2BD =，求MB 的长.

【答案】（1）详见解析；（2）CD CF AC +=；（3）四边形ADGF 是正方形；（4）

13【解析】 【分析】

（1）根据旋转得：△ACE 是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE ，则四边形ABCE 是菱形； （2）先证明C 、F 、E 在同一直线上，再证明△BAD ≌△CAF （SAS ），则∠ADB=∠AFC ，

BD=CF ，可得AC=CF+CD ；

（3）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；

（4）证明△BAM ≌△EAD （SAS ），根据BM=DE 及勾股定理可得结论． 【详解】

（1）证明：∵ABC ?是等边三角形， ∴AB BC AC ==.

∵ACD ?绕点A 逆时针旋转60?得到AEF ?， ∴60CAE =?，AC AE =. ∴ACE ?是等边三角形. ∴AC AE CE ==. ∴AB BC CE AE ===. ∴四边形ABCE 是菱形.

（2）线段DC ，CF ，AC 之间的数量关系：CD CF AC +=. （3）四边形ADGF 是正方形.理由如下： ∵Rt ABD ?绕点A 逆时针旋转90?得到AEF ?， ∴AF AD =，90DAF ∠=?. ∵AD BC ⊥，

∴90ADC DAF F ∠=∠=∠=?. ∴四边形ADGF 是矩形. ∵AF AD =，

∴四边形ADGF 是正方形. （4）如图，连接DE .

∵四边形ADGF 是正方形， ∴6DG FG AD AF ====.

∵ABD ?绕点A 逆时针旋转90?得到AEF ?，

∴BAD EAF ∠=∠，2BD EF ==，∴624EG FG EF =-=-=. ∵将AFE ?沿AE 折叠得到AME ?， ∴MAE FAE ∠=∠，AF AM =. ∴BAD EAM ∠=∠.

∴BAD DAM EAM DAM ∠+∠=∠+∠，即BAM DAE ∠=∠. ∵AF AD =，

∴AM AD =.

在BAM ?和EAD ?中，AM AD BAM DAE AB AE =??

∠=∠??=?

，

∴()BAM EAD SAS ???. ∴

222246213BM DE EG DG ==+=+=.

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．

2．如图1，在锐角△ABC 中，∠ABC=45°，高线AD 、BE 相交于点F ． （1）判断BF 与AC 的数量关系并说明理由；

（2）如图2，将△ACD 沿线段AD 对折，点C 落在BD 上的点M ，AM 与BE 相交于点N ，当DE ∥AM 时，判断NE 与AC 的数量关系并说明理由．

【答案】（1）BF=AC ，理由见解析；（2）NE=1

2

AC ，理由见解析. 【解析】

试题分析：（1）如图1，证明△ADC ≌△BDF （AAS ），可得BF=AC ；

（2）如图2，由折叠得：MD=DC ，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC ，由线段垂直平分线的性质得：AB=BC ，则∠ABE=∠CBE ，结合（1）得：△BDF ≌△ADM ，则∠DBF=∠MAD ，最后证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN ，所以EN=1

2

AC ． 试题解析：

（1）BF=AC ，理由是： 如图1，∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， ∴∠ADB=∠AEF=90°， ∵∠ABC=45°，

∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴AD=BD ， ∵∠AFE=∠BFD ， ∴∠DAC=∠EBC ，

在△ADC和△BDF中，

∵

DAC DBF

ADC BDF AD BD

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BF=AC；

（2）NE=1

2

AC，理由是：

如图2，由折叠得：MD=DC，

∵DE∥AM，

∴AE=EC，

∵BE⊥AC，

∴AB=BC，

∴∠ABE=∠CBE，

由（1）得：△ADC≌△BDF，

∵△ADC≌△ADM，

∴△BDF≌△ADM，

∴∠DBF=∠MAD，

∵∠DBA=∠BAD=45°，

∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，即∠ABE=∠BAN，

∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，

∴∠ANE=∠NAE=45°，

∴AE=EN，

∴EN=1

2 AC．

3．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM 上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．

（1）如图1，猜想：△CDE的形状是三角形．

（2）请证明（1）中的猜想

（3）设OD=m，

①当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．

②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）3；②当m=2或14时，以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形．

【解析】

【分析】

（1）由旋转的性质猜想结论；

（2）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；

（3）①当6＜m＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到

C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；

②存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；

b）当0≤m＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m；

c）当6＜m＜10时，此时不存在；

d）当m＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m=14．

【详解】

（1）等边；

（2）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE 是等边三角形．

（3）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得：BE=AD，

∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，

∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD3，∴△BDE的最小周长=CD3；

②存在，分四种情况讨论：

a）∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；

b）当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°．

∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°．

∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴m=2；

c）当6＜m＜10时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；

d）当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，

∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14，∴m=14．

综上所述：当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

4．如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y 轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．

（Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标；

（Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值．

【答案】（1）（1，2）；（2）S=3

2

t+8（0≤t≤8）；（3）当t=0时，BC+AC有最小值

【解析】

试题分析：（I）过M作MG⊥OF于G，分别求OG和MG的长即可；

（II）如图1，同理可求得AG和OG的长，证明△AMG≌△CAF，得：AG=CF=1

2

t，

AF=MG=2，分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取

值范围；

（III ）证明△ABO ∽△CAF ，根据勾股定理表示AC 和BC 的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t =0时，值最小．

试题解析：解：（I ）如图1，过M 作MG ⊥OF 于G ，∴MG ∥OB ，当t =2时，OA =2．∵M 是AB 的中点，∴G 是AO 的中点，∴OG =1

2

OA =1，MG 是△AOB 的中位线，∴MG =

12OB =1

2

×4=2，∴M （1，2）； （II ）如图1，同理得：OG =AG =

1

2

t ．∵∠BAC =90°，∴∠BAO +∠CAF =90°．∵∠CAF +∠ACF =90°，∴∠BAO =∠ACF ．∵∠MGA =∠AFC =90°，MA =AC ，∴△AMG ≌△CAF ，∴AG =CF =12t ，AF =MG =2，∴EC =4﹣1

2

t ，BE =OF =t +2，∴S △BCE =12EC ?BE =12（4﹣12t ）（t +2）=﹣14t 2+3

2

t +4； S △ABC =

12?AB ?AC =12?216t +?

21162t +=14t 2+4，∴S =S △BEC +S △ABC =3

2

t +8． 当A 与O 重合，C 与F 重合，如图2，此时t =0，当C 与E 重合时，如图3，AG =EF ，即

12t =4，t =8，∴S 与t 之间的函数关系式为：S =3

2

t +8（0≤t ≤8）； （III ）如图1，易得△ABO ∽△CAF ，∴AB AC =OB AF =OA FC =2，∴AF =2，CF =1

2

t ，由勾股定理得：AC =

2

2

AF CF +=22

122t +

（）=2

144

t +，BC =22BE EC +=2

21242t t ++-

（）（）=21

544

t +（）

，∴BC +AC =（ 5+1）2

144

t +，∴当t =0时，BC +AC 有最小值．

点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转）、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

5．已知Rt△DAB中，∠ADB=90°，扇形DEF中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE，将Rt△ADB的边与扇形DEF的半径DE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF绕点D按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）

（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB时，求α；

（2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′．

【答案】（1）15°；（2）见解析．

【解析】

试题分析：（1）∵∠ADB=90°，DA=DB，∴∠BAD=45°，∵DF′∥AB，

∴∠ADF′=∠BAD=45°，∴α=45°﹣30°=15°；

（2）∵α=120°，∴∠ADE′=120°，∴∠ADF′=120°+30°=150°，∠BDE′=360°﹣90°﹣

120°=150°，∴∠ADF′=∠BDE′，在△ADF′和△BDE′中，，

∴△ADF′≌△BDE′，∴AF′=BE′．

考点：①旋转性质；②全等三角形的判定和性质．

6．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．

（1）若CA=CB，CE=CD

①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；

②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算的值．

【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②见解析；（2）125．

【解析】

试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD，BE⊥AD；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，根据∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠BCE，然后结合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，则AD=BE，∠CAD=∠CBF，根据∠BFC=∠AFG，

∠BFC+∠CBE=90°得出∠AFG+∠CAD=90°，从而说明垂直；首先根据题意得出

△ACD∽△BCE，然后说明∠AGE=∠BGD=90°，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案．

试题解析：（1）①解：BE=AD，BE⊥AD

②BE=AD，BE⊥AD仍然成立

证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．

∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=BC CD=CE ∴△ACD≌△BCE

∴AD=BE ∠CAD=∠CBF ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°

∴∠AGF=90°∴BE⊥AD

（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．

∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ∴△ACD∽△BCE

∴∠CAD=∠CBE ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°

∴∠AGF=90°∴BE⊥AD ∴∠AGE=∠BGD=90°

∴，．∴．∵，，

∴

考点：三角形全等与相似、勾股定理．

7．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。 （1）概念理解:

如图1,在ABC ?中,6AC = ,3BC =.30ACB ∠=?,试判断ABC ?是否是“等高底”三角形，请说明理由. （2）问题探究:

如图2, ABC ?是“等高底”三角形,BC 是“等底”，作ABC ?关于BC 所在直线的对称图形得到A BC '?,连结AA '交直线BC 于点D .若点B 是123,12z ai z i =-=+的重心,求AC

BC

的值. （3）应用拓展:

如图3,已知12l l //,1l 与2l 之间的距离为2.“等高底”ABC ?的“等底” BC 在直线1l 上,点A 在直线2l 上,有一边的长是BC 的2倍.将ABC ?绕点C 按顺时针方向旋转45?得到

A B C ?'',A C '所在直线交2l 于点D .求CD 的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）13

2

AC BC =

（3）CD 210322 【解析】

分析：（1）过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ，可以得到AD =BC =3，即可得到结论； （2）根据 ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，得到AD =BC ， 再由 ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称， 得到 ∠ADC =90°，由重心的性质，得到BC =2BD ．设BD =x ，则AD =BC =2x ， CD =3x ，由勾股定理得AC 13，即可得到结论；

（3）分两种情况讨论即可：①当AB 2BC 时，再分两种情况讨论； ②当AC 2BC 时，再分两种情况讨论即可． 详解：（1）是．理由如下：

如图1，过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ， ∴ΔADC 为直角三角形，∠ADC =90°． ∵ ∠ACB =30°，AC =6，∴ AD =1

2

AC =3， ∴ AD =BC =3，

即ΔABC 是“等高底”三角形．

（2）如图2， ∵ ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，∴AD =BC ， ∵ ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称， ∴ ∠ADC =90°． ∵点B 是ΔAA ′C 的重心， ∴ BC =2BD ． 设BD =x ，则AD =BC =2x ，∴CD =3x ， ∴由勾股定理得AC =13x ， ∴

1313

22

AC x BC x ==

．

（3）①当AB =2BC 时，

Ⅰ．如图3，作AE ⊥l 1于点E ， DF ⊥AC 于点F ． ∵“等高底” ΔABC 的“等底”为BC ，l 1//l 2， l 1与l 2之间的距离为2， AB =2BC ， ∴BC =AE =2，AB =22， ∴BE =2，即EC =4，∴AC = 25．

∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ' B ' C ，∴∠CDF =45°． 设DF =CF =x ．

∵l 1//l 2，∴∠ACE =∠DAF ，∴1

2

DF AE AF CE ==，即AF =2x ． ∴AC =3x =25，可得x =

2

53，∴CD =2x =2103

．

Ⅱ．如图4，此时ΔABC 是等腰直角三角形， ∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ' B ' C ， ∴ ΔACD 是等腰直角三角形， ∴ CD 2AC =22

②当AC =2BC 时，

Ⅰ．如图5，此时△ABC 是等腰直角三角形． ∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ′ B ′C ， ∴A ′C ⊥l 1，∴CD =AB =BC =2．

Ⅱ．如图6，作AE ⊥l 1于点E ，则AE =BC ， ∴AC =2BC =2AE ，∴∠ACE =45°，

∴ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ′ B ′C 时， 点A ′在直线l 1上，

∴A ′C ∥l 2，即直线A ′ C 与l 2无交点．

综上所述：CD 2

103

，222． 点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解．

8．已知O 为直线MN 上一点，OP ⊥MN ，在等腰Rt △ABO 中，90BAO ∠=?，AC ∥OP 交OM 于C ，D 为OB 的中点，DE ⊥DC 交MN 于E ．

(1) 如图1，若点B 在OP 上，则①AC OE (填“＜”，“＝”或“＞”)；②线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式是 ；

(2) 将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α(045α?<

(3) 将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α()，请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式 ；

【答案】（1）①=；②AC2+CO2=CD2；（2）（1）中的结论②不成立，理由见解析；（3）画图见解析；OC-CA=2CD.

【解析】

试题分析：（1）①如图1，证明AC=OC和OC=OE可得结论；②根据勾股定理可得：

AC2+CO2=CD2；（2）如图2，（1）中的结论②不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明A、D、O、C四点共圆，得∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，再证明

△ACO≌△EOF，得OE=AC，AO=EF，根据勾股定理得：AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，由直角三角形中最长边为斜边可得结论；（3）如图3，连接AD，则AD=OD证明△ACD≌△OED，根据△CDE是等腰直角三角形，得CE2=2CD2，等量代换可得结论（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，开方后是：OC﹣AC=CD．

试题解析：（1）①AC=OE，

理由：如图1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，∴∠ABO=∠AOB=45°，

∵OP⊥MN，∴∠COP=90°，∴∠AOC=45°，

∵AC∥OP，∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，∴AC=OC，

连接AD，

∵BD=OD，∴AD=OD，AD⊥OB，∴AD∥OC，∴四边形ADOC是正方形，∴∠DCO=45°，∴AC=OD，∴∠DEO=45°，∴CD=DE，∴OC=OE，

∴AC=OE；

②在Rt△CDO中，

∵CD2=OC2+OD2，∴CD2=AC2+OC2；

故答案为AC2+CO2=CD2；

（2）如图2，（1）中的结论②不成立，

理由是：

连接AD，延长CD交OP于F，连接EF，

∵AB=AO，D为OB的中点，∴AD⊥OB，∴∠ADO=90°，

∵∠CDE=90°，∴∠ADO=∠CDE，∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO，即∠ADC=∠EDO，∵∠ADO=∠ACO=90°，∴∠ADO+∠ACO=180°，∴A、D、O、C四点共圆，

∴∠ACD=∠AOB，

同理得：∠EFO=∠EDO，∴∠EFO=∠AOC，

∵△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠DCO=45°，∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，

∴OC=OF，∵∠ACO=∠EOF=90°，∴△ACO≌△EOF，∴OE=AC，AO=EF，

∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，

Rt△DEF中，EF＞DE=DC，∴AC2+OC2＞DC2，

所以（1）中的结论②不成立；

（3）如图3，结论：OC﹣CA=CD，

理由是：连接AD，则AD=OD，

同理：∠ADC=∠EDO，

∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，∴∠CAB=∠AOC，

∵∠DAB=∠AOD=45°，∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC，

即∠DAC=∠DOE，∴△ACD≌△OED，∴AC=OE，CD=DE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE2=2CD2，∴（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，∴OC﹣AC=CD，

故答案为OC﹣AC=CD．

考点：几何变换的综合题