电磁场与电磁波第三版课后答案第3章解读
第三章习题解答
3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和-q，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。
解由点电荷q和-q共同产生的电通密度为
qR+R-
D=[3-3]=
4πRR
+-
q4π
{
err+ez(z-a)[r+(z-a)]
2
232
-
err+ez(z+a)[r+(z+a)]
2
232
Φ=
则球赤道平面上电通密度的通量
?D dS=?D e
S
S
zz=0
dS=
]2πrdr=
q4π
a
题3.1 图
?
[
02
(-a)(r+a)qa
a
-
a(r+a)2
2
32
(r+a)
=0
-1)q=-0.293q
3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有
总电荷量为-Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通Ze?1r?过实验得到球体内的电通量密度表达式为D0=er 2-3?，试证明之。
4π?rra?
Ze
解位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1=er 2
4πr
Ze3Ze
=-原子内电子云的电荷体密度为ρ=-33
4πra4πra
电子云在原子内产生的电通量密度则为
D2=er
ρ4πr
4πr
32
=-er
Zer4πra
3
题3. 3图(a)
故原子内总的电通量密度为 D=D1+D2=er 2-3?
4π?rra?
3
3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为ρ0Cm, 两
圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c(c 解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为±ρ0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为ρ0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为 -ρ0的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场 的叠加。 在r>b区域中，由高斯定律?E dS= S q ε0 22 ，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P E1'=er' -πaρ02πε0r' 2 产生的电场分别为 E1=er πbρ0 2πε0r 2 = ρ0br 2ε0r =- ρ0ar' 2 2ε0r' 2 ＝ ＋ 题3. 3图(b) 点P处总的电场为 E=E1+E1'= ρ 2ε0 ( brr - 2r' ) 在r E2=er πrρ 2πε0r = ρr 2ε0 '=er' E2 -πaρ2πε0r' =- ρar' 2ε0r' '=点P处总的电场为 E=E2+E2 ρ0 2ε0 (r- ar'r' ) 在r' E3=er πrρ0 2πε0r = ρ0r 2ε0 '=er' E3 -πr'ρ02πε0r' =- ρ0r' 2ε0 '=点P处总的电场为 E=E3+E3 ρ0 (r-r')= ρ0 2ε0 c 3.4 半径为a的球中充满密度ρ(r)的体电荷，已知电位移分布为 ?r3+Ar2 ? Dr=?a5+Aa4 ?2?r (r≤a)(r≥a) 其中A为常数，试求电荷密度ρ(r)。 1 解：由? D=ρ，有ρ(r)=? D=故在r 1 d rdr (rDr) d rdr [r(r+Ar)]=ε0(5r+4Ar) 23 1d rdrr 3.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q 为 [r (a+Aa) 54 ]=0 4 的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E=er(ra)，设球内介质为 真空。计算：（1）球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。 解（1）由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 ρ=ε0? E=ε0[ dr (rE)]=ε0[ a 1drdr (r ra 44 )]=6ε0 ra 34 （2）球体内的总电量Q为 Q= ?ρdτ=?6ε τ r 34 a 4πrdr=4πε0a 球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷-Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为σ= 2Q4πa =2ε0 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r=a和r=b(b>a)，圆柱表面分别带有密度为σ1和σ2的面电荷。（1）计算各处的电位移D0；（2）欲使r>b区域内D0=0，则σ1和σ2应具有什么关系？ ?D0 dS=q，当r S D02=er当a aσ1r aσ1+bσ2 r 当b aσ1+bσ2 r =0，则得到 σ1σ2 ba 3.7 计算在电场强度E=exy+eyx的电场中把带电量为-2μC的点电荷从点 P1(2,1-,1移到点)P2(8,2,-1)时电场所做的功：（1）沿曲线x=2y2；（2）沿连接该两点 的直线。 解（1）W= ?F dl=q?E dl=q?E C C C x dx+Eydy= 2 2 2 q?ydx+xdy=q?yd(2y)+2ydy= C 2 1 -6 q?6ydy=14q=-28?10 1 2 (J) （2）连接点P1(2,1,-1)到点P2(8,2,-1)直线方程为 x-2y-1 =x-8y-2 即 x-6y+4=0 故 2 W= 2 q?ydx+xdy=q?yd(6y-4)+(6y-4)dy= C 1 q?(12y-4)dy=14q=-28?10 1 (J) （1）计算线电荷平分面上3.8 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为ρl0。任意点的电位?；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E=-??核对。 解（1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点 P的电位为 L2 ?(r,0)= ? -Ldz' = L2Lρρl0 4πε0 ln(z'+ -L2 = r ρl0 4πε0 ln = -Lρl0 题3.8图 2πε0 ln r （2）根据对称性，可得两个对称线电荷元ρl0dz'在点P的电场为 dE=erdEr=er ' θ=er ρl0rdz' 2πε0(r+z') 2 2 32 故长为L的线电荷在点P的电场为 LE=er ?dE =er ? ρl0rdz' 2πε0(r+z')