中考数学精选试题及答案

（09潍坊）20．已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．

（1）求

的值；（2）若AB a FB EC ==，，求AC 的长．

(07云南省昆明市) 25．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． (1)求点B 的坐标；

(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．

(注意：本题中的结果均保留根号)

解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，由已知可得： OB ＝OA=2，∠BOD ＝60°

在Rt △OBD 中，∠ODB ＝90°，∠OBD ＝30° ∴OD ＝1，DB 3 ∴点B 的坐标是（13

（2）设所求抛物线的解析式为2

y ax bx c =++，由已知可得：

03420c a b c a b c =??

++=??-+=?

解得：3a b c =

23=0 ∴所求抛物线解析式为2323y x x =+ （备注：a 、b 的值各得1分）

（3）存在

由2323y x =

+ 配方后得：2331)y x =+ ∴抛物线的对称轴为1x =-

（也可用顶点坐标公式求出）

∵点C 在对称轴1x =-上，△BOC 的周长＝OB+BC+CO ；

F E C D

∵OB=2，要使△BOC 的周长最小，必须BC+CO 最小， ∵点O 与点A 关于直线1x =-对称，有CO=CA △BOC 的周长＝OB+BC+CO ＝OB+BC+CA

∴当A 、C 、B 三点共线，即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时△BOC 的周长最小。

设直线AB 的解析式为y kx b =+，则有：3

k b k b ?+=??

-+=??

解得：323

k b =

=， ∴直线AB 的解析式为32333

y x =+ 当1x =-时，3

y =

∴所求点C 的坐标为（－1，3

）

（4）法一：过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于D 点

所求三角形被分成了以底为线段PD ，高的和为3的两个三角形，

设P ()x y ，（-2﹤x ﹤0），232333y x x =

+，易得233322

PAB S x x -+△＝- ∴当1

x =-时，△PAB 得面积有最大值，最大面积为938。

此时312313()34324

y =?+?-=- ∴点P 的坐标为13()24

--，法二：设P ()x y ，（200x y <<<－，），则232333

y x x =+ ① 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ， PG ⊥x 轴于点G ，过点A 作AF ⊥PQ 轴于点F ，过点

B 作BE ⊥PQ 轴于点E ，则PQ=x -，PG=y -，由题意可得：

PAB AFP BEP AFEB S S S S △△△梯形＝－－

＝

111

()222AF BE FE AF FP PE BE +?-?-? =111

(3)(12)()(2)(1)(3)222y y y x x y -+-+--+--- ＝33

32y x -+

+ ②

将①代入②，化简得：222

PAB S x x -△＝-

＝21)228

x -

++ ∴当1

x =-时，△PAB

得面积有最大值，最大面积为

8。

此时11(

)34324

y =?+-=- ∴点P 的坐标为1(24

--，

1、一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？

2、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．

第3题图第4题图

3、如图所示，圆O 是ABC △的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连结BD DC 、．（1）求证：BD DC DI ==；

（2）若圆O 的半径为10cm ，120BAC ∠=°，求BDC △的面积．

4、在四边形ABCD 中，AB BC DC BC AB a DC b BC a b ===+⊥，⊥，，，，且a b ≤．取AD 的中点P ，连结PB PC 、．（1）试判断三角形PBC 的形状；

（2）在线段BC 上，是否存在点M ，使AM MD ⊥．若存在，请求出BM 的长；若不存在，请说明理由．

5、如图，在矩形ABCD 中，BC =20cm ，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ =x cm(0x ≠)，则AP =2x cm ，CM =3x cm

，

A 6cm 3cm

1cm

第2题图

P D B A

DN =x 2cm ．

（1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边,以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．

6、如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．

(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；

(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点

C (-2，0)和点

D (-4，0)是x 轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；

② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周

长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

7、如图，抛物线2

3y ax bx =+-与x 轴交于A

B ，两点，与y 轴交于

C 点，且经过点(23)a -，

，对称轴是直线1x =，顶点是M ．

第6题图

A B D C P Q M N 第5题图

(1)、求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使

以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D

，重合），经过A B E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由；

（4）当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出

结论）．

8、如图8，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；

（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；

（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．

9、如图，已知直线1

y x =

+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2

y x bx c =

++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P 在轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

C 图8

⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

10、如图10，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设

平移的距离为)40<

1、用树状图分析（图略）P （1个男婴，2个女婴）3

=． 2、10，2

2916n +2

3664n +

3、（1）证明：AI Q 平分BAC ∠BAD DAC BD DC ∴∠=∠∴=，

BI Q 平分ABC ABI CBI ∠∴∠=∠，

BAD DAC DBC DAC ∠=∠∠=∠Q ， BAD DBC ∴∠=∠，又DBI DBC CBI DIB ABI BAD ∠=∠+∠∠=∠+∠， DBI DIB BDI ∴∠=∠∴，△为等腰三角形BD ID BD DC DI ∴=∴==，（2）易证BDC △为正三角形．又知10cm OB =，

B x y M

C D

O A 图10（1）